Gerberto e il de Mensura Fistularum Costantino Sigismondi

Gerberto e il de Mensura Fistularum Costantino Sigismondi sigismondi@icra. it 16 maggio 2006 Giornata Gerbertiana Istituto Nazareth

Musica e Quadrivio • La musica sta all’aritmetica come l’astronomia sta alla geometria

Teoria musicale nei secoli • Tradizione pitagorica ripresa nel periodo ellenistico: su incarico di Aristotele (384 -322 a. C. ) Aristosseno scrisse la storia della musica andata perduta • Cicerone (100 -43 a. C. ) tratta alcuni argomenti nel Somnium Scipionis, ripresi da Posidonio (135 -51 a. C. ). Macrobio lo commenta nel IV sec. d. C. • Calcidio enciclopedista del IV sec. d. C. nel commento al Timeo ne tramanda i temi al medioevo • Boezio (480 -525 d. C. ) lascia il De Institutione Musica

L’organo idraulico • Inventato ad Alessandria da Ctesibio (II sec. a. C. ) • Trovato un esemplare in uno scavo in Ungheria • Il peso dell’acqua serviva a mantenere in pressione l’aria che poi fluiva attraverso le canne

La scala Pitagorica • • • Sul monocordo Armonica fondamentale lunga L (es. do, ut) Quinta 2/3 L (es. do – sol) Quarta 3/4 L (es. do – fa) Tono (da fa a sol) 8/9 L Semitono (diatonico es. mi - fa) 243/256 L fattore per passare da 64/81=(8/9)² (do – re e re- mi, una terza maggiore) a 3/4 (do – fa)

Suoni Armonici • Sul monocordo sono tutti i sottomultipli secondo numeri interi della corda vibrante • Nel flauto si ottengono soffiando con forza crescente, in modo che nel tubo si instaurino 1, 2 e 3… oscillazioni complete a frequenze 1, doppia, tripla… della fondamentale

Scala di Calcidio La x 256/243 Si b x 9/8 Do x 1 Re x 8/9 Mi x 8/9 Fa x 243/256 Sol x 8/9 La x 8/9 Si b x 243/256 Do x 8/9 1. 1852 1. 125 1 0. 8888 0. 7901 0. 75 0. 6666 0. 5926 0. 5625 0. 5 384 364 ½ 324 288 256 243 216 192

Tabella di Michel Huglo sulla derivazione dei numeri musicali di Calcidio e Boezio dalle serie di 2^n e 3^n

Scala di Gerberto (minore naturale) La x 9/8 Si x 256/243 Do x 1 Re x 8/9 Mi x 8/9 Fa x 243/256 Sol x 8/9 La x 8/9 Si x 8/9 Do x 243/256 1. 1852 1. 0535 1 0. 8888 0. 7901 0. 75 0. 6666 0. 5926 0. 5267 0. 5 384 341 1/3 324 288 256 243 216 192

Equazione dell’Arpa a corde di uguale densità lineare e uguale tensione

Correzione di Bocca End Correction per le canne d’organo • In una canna cilindrica di diametro d e lunga L risuona in modo stazionario un’onda sonora di lunghezza λ=L+0. 6·d • Se la canna ha una apertura a tromba λ=L+0. 85·d

Dalle corde pitagoriche alle canne d’organo • Per canne con lo stesso diametro si applica la correzione di bocca che è indipendente dalla frequenza del suono (nota suonata) • Queste correzioni sono necessarie per mantenere l’intonazione • Se la canna di 384 unità suona il La 1, λLa 1 =384+0. 6·d • Per L=192 unità non suona il La 2, ma una nota leggermente più bassa, poiché λLa 2= λLa 1/2= 384/2 - 0. 3·d + 0. 6·d Lunghezza effettiva 0. 6·d/2 della canna per il La 2

Diametro 27. 85 e stessa intonazione del Monocordo col La 1 = 384 Le canne sono in colore rosso, sempre più corte delle corde

Rapporti tra le ottave (per il monocordo sempre=2) La 1/La 2 Si 1/Si 2 Do 1/Do 2 Re 2/Re 3 Mi 2/Mi 3 Fa 2/Fa 3 Sol 2/Sol 3 La 2/La 3 Si 2/Si 3 Do 2/Do 3 2. 095326 2. 108759 2. 115011 2. 13129 2. 150153 2. 159462 2. 183065 2. 210742 2. 243531 2. 259916

Da un’ottava all’altra il rapporto aumenta in media del ~ 6. 25% • Gerberto considera il passaggio da un fattore 13 + ½ ad uno di 14 + 1/3 +3/288 dall’ottava inferiore alla superiore, entrambi fissati per tutte le note • Ciò corrisponde ad un aumento fisso del 6. 25%.

L’accordo tra il moltiplicatore di Gerberto e la correzione di bocca moderna si trova con canne La 1 di rapporto Ø/L = 1: 13. 79

La nomenclatura musicale usata è di poco posteriore a Gerberto • È di Guido d’Arezzo (1032), dall’inno a San Giovanni Soprano: Erminia Santi

Bibliografia • Gerbertus de Mensura Fistularum, Madrid Biblioteca Nacional, ms 9088 • K. J. Sachs, Mensura Fistularum, Stuttgart -Murrhardt, 1970 -1980 • C. Meyer, Gerbertus Musicus, in Gerbert l’Européen, Actes du Colloque d’Aurillac Mem. Soc. La Haute-Auvergne 3 (1997) pp. 183 -192

• R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, Saunders College Pub. Philadelphia, 1992 p. 489 -490 • L. E. Kinsler et al. , Fundamental of Acoustics, John Wiley & Sons, NY, 2000 p. 274 • D. E. Hall, Musical Acoustics, Brooks Cole, CA USA, 2002, p. 234 • F. G. Nuvolone, Gerberto Musico, Archivum Bobiense Studia V (2005) • In italiano: A. Frova, La Fisica della Musica, Zanichelli BO (1999)