GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN Aljabar Boolean n

GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean n n n Bekerja dengan dua keadaan: (switching algebra) Menggunakan variabel Boolean (x, y, dll) u/ menyatakan sebuah input / output rangkaian. Variabel hanya mempunyai dua nilai (0, 1) X = 0 atau X = 1 Simbul ini bukan bilangan biner, hanya representasi 2 keadaan variabel Boolean. Juga bukan nilai tegangan listrik, walaupun nilai ini mengacu pada nilai tegangan rendah dan tinggi di input / output rangkaian.

Konstanta dan Variabel Boolean Jadi, nilai 0 dan 1 bukan menyatakan bilangan, tapi hanya menyatakan keadaan variabel tegangan, atau disebut tingkat logika (logic level). Suatu tegangan dalam sebuah rangkaian digital, dapat dikatakan bernilai logika 0 atau 1, tergantung atas nilai aktual tegangan tersebut. Misalnya : 0 : nilai tegangan 0 – 0, 8 Volt 1 : nilai tegangan 2 – 5 Volt 2– 5 V Logika : 1 0 – 0, 8 V Logika : 0

Konstanta dan Variabel Boolean n Nilai logika 0 dan 1 sering dinyatakan dengan istilah lain: Logika 0 Logika 1 False Off Low No Open switch True On Hight Yes Closed switch

Variabel dan fungsi Boolean n n Elemen biner yang sangat sederhana adalah saklar (switch) yang memiliki 2 keadaan. Jika saklar dikontrol dgn x, misal saklar terbuka jika x = 0 dan tertutup jika x = 1. S S X=0 X=1 Saklar dgn 2 -keadaan S X Simbol saklar yg dikontrol oleh X

Variabel dan fungsi Boolean n n Misalkan, sebuah saklar mengontrol sebuah bola lampu (L) - keluaran didefinisikan sebagai keadaan nyala lampu L, yaitu: * jika menyala : L = 1 * jika padam : L = 0 Keadaan lampu L, sebagai fungsi dari x (ditentukan oleh X): - L(x) = x L(x) disebut sebagai sebuah fungsi x sebagai variabel input (masukan)

Variabel dan fungsi : AND n n Pandang, dua saklar mengontrol keadaan nyala lampu L. Gunakan hubungan seri, lampu akan menyala hanya jika kedua saklar menutup (closed), - L (x 1, x 2) = x 1 • x 2 - L = 1 jika dan hanya jika x 1 AND x 2 adalah 1 Tanda “ • ” adalah lambang operator AND : x 1 • x 2 = x 1 x 2 Rangkaian listrik mengimplementasikan fungsi logika AND (saklar hubung seri)

Variabel dan fungsi : OR n n Gunakan saklar hubungan paralel untuk mengontrol lampu L. L akan menyala hanya jika salah satu atau kedua saklar menutup: - L (x 1, x 2) = x 1 + x 2 - L = 1 jika x 1 OR x 2 adalah 1 (atau kedua-duanya). Tanda “+” adalah lambang operator OR. Rangkaian listrik mengimplementasikan fungsi logika OR (saklar hubung paralel)

Variabel dan fungsi n Kombinasi saklar hubungan seri-paralel dapat merealisasikan bermacam-macam fungsi. Misalkan fungsi L (x 1, x 2, x 3) = (x 1 + x 2) • x 3 dapat diimplementasikan sebagai berikut. n Bagaimana fungsi logika berikut jika diimplementasikan dengan diagram saklar? L (x 1, x 2, x 3, x 4) = (x 1 • x 2) + (x 3 • x 4)

Variabel dan fungsi : inverse / NOT n n Perhatikan, apa yg terjadi pada rangkaian listrik berikut. Apa yg terjadi ketika saklar dalam keadaan terbuka? - L(x) = x - Dimana L = 1 jika x = 0 dan L = 0 jika x = 1 Dalam hal ini, L(x) adalah kebalikan (atau komplemen) dari x. x, x’ adalah lambang operator NOT untuk x Rangkaian listrik mengimplementasikan fungsi logika NOT

Logika AND, OR dan NOT Dari uraian terdahulu dapat disimpulkan ada 3 operasi logika dasar, yaitu : 1. Operasi OR (OR operation), simbol tanda plus (+) 2. Operasi AND (AND operation), simbol tanda kali (. ) 3. Operasi NOT (NOT operation), simbol batang-atas (¯, ’)

Logika AND, OR dan NOT n Operasi dasar logika AND, OR, NOT Tabel keneran operasi AND Tabel kebenaran OR Tabel kebenaran NOT X X 0 1 1 0

Gerbang logika (logic gate) ¡ ¡ ¡ Setiap operasi dasar: AND, OR, NOT dapat diimplementasikan dalam sebuah rangkaian yang disebut gerbang logika. Gerbang logika adalah suatu rangkaian elektronika yang beroperasi atas satu atau lebih sinyal input untuk menghasilkan satu output, yaitu sebagai fungsi dari inputnya. Yang dimaksudkan sinyal disini adalah tegangan atau arus listrik yg mengalir di sepanjang sistem digital.

Gerbang logika dan operasi dasar ¡ Gerbang OR Tabel kebenaran OR Perhatikan : output = 1 jika salah satu atau kedua inputnya = 1.

Gerbang logika dan operasi dasar • Gerbang OR 3 -input serta tabel kebenaran. A B C x 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1

Gerbang logika dan operasi dasar ¡ Gerbang AND Tabel keneran operasi AND Output bernilai 1 jika semua inputnya 1, bernial 0 jika ada inputnya 0.

Gerbang logika dan operasi dasar TK operasi AND dengan tiga input: A B C x 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 A B C x x = A. B. C = ABC

Gerbang logika dan operasi dasar o Gerbang NOT hanya mempunyai satu input. A x=Ā Tabel kebenaran A Ā 0 1 1 0 x = Ā, dibaca “x sama dengan NOT A” atau “x sama dengan komplemen A”

Gerbang logika – chip (keping IC) ¡ Dalam praktenya, gerbang logika dibuat dalam rangkaian terintegrasi (IC). Contoh kemasan gerbang OR, AND, NOT.

Aljabar Boolean ¡ ¡ Aljabar Bolean adalah aljabar yang berurusan dengan variabel biner dan operasi logika. Variabel-variabel biner ditunjukkan dengan huruf abjad, dan tiga operasi logika dasar AND, OR dan NOT.

Fungsi Boolean ¡ Fungsi Boolean adalah suatu pernyataan aljabar yang dibentuk dengan variabel biner, operator AND, OR dan NOT, tanda kurung dan sama dengan. ¡ Fungsi Boolen dapat dinyatakan dalam bentuk: Ø Pernyataan secara aljabar Ø Tabel kebenaran Ø Diagram logika (implementasi dgn gerbang)

Fungsi Boolean 1. Fugsi Boolean dalam bentuk aljabar Misalnya seperti fungsi berikut. F = X + YZ Fungsi F akan bernilai 1 jika X = 1 atau Y = 0 dan Z = 1, selain itu F = 0. Contoh lain sbb: F = BC + ABC

Fungsi Boolean 2. Fungsi Boolean dalam tabel kebenaran (TK) Tk berikut memperlihatkan fungsi F = X + YZ

Fungsi Boolean 3. Fungsi Boolean dalam diagram rangkaian logika Fungsi Boolean dapat ditransformasikan dari ekspresi aljabar ke dalam suatu diagram yang menggunakan gerbang logika. Misal fungsi F = X + YZ, rangkaian logikanya adalah sbb.

Fungsi Boolean LATIHAN Nyatakan fungsi Boolean berikut ke dalam tabel kebenaran diagram logika dengan gerbang AND, OR, NOT. a) f = x’y’z + x’yz + xy’ b) y = AC + BC’ + A’BC c) z = (A + B)(C + D)(A’ + B + D) d) x = (AB + A’B’)(CD’ + C’D) Tip : Untuk mewakili fungsi Boolean dengan TK diperlukan 2 n kombinasi 0 dan 1 yang berbeda untuk n buah variabel biner.

Evaluasi keluaran rangkaian logika Misal diketahui rangkaian berikut. A=0 B=1 C=1 D=1 1 1 x=0 1 0 Jika nilai input A = 0, B = 1, C = 1, D = 1, tentukan nilai keluaran rangkaian. Keluaran rangkaian di atas, juga dapat ditentukan melalui pernyataan aljabar Boolea dari keluaran x. x = A’BC(A + D)’

Evaluasi keluaran rangkaian logika x = A’BC(A + D)’ A = 0, B = 1, C = 1, D = 1 Aturan umum evaluasi pernyataan Boolean: 1. Pertama lakukan operasi NOT 2. Lakukan operasi dalam kurung 3. Lakukan operasikan AND sebelum operasi OR 4. Jika pernyataan mempunyai operasi batang di atasnya (¯), lakukan operasi awal kemudian balik hasilnya. Contoh di atas: x = A’BC(A + D)’ = 0’. 1. 1. (0 + 1)’ = 1. 1. 1. (1)’ = 1. 0 =0

Menuliskan pernyataan aljabar dari diagram logika Tuliskan pernyataan aljabar dari rangkaian logika berikut. A A’ A’BC B x = A’BC(A+D)’ C D A+D (A+D)’ =?

Menuliskan pernyataan aljabar dari diagram logika - lanjtn Tuliskan pernyataan aljabar dari rangkaian logika berikut.

Aturan (hukum-hukum) Aljabar Boolean • Variabel tunggal Jika x adalah variabel logika yang bernilai 0 dan 1, maka: 1. x. 0 = 0 5. x + 0 = x 2. x. 1 = 1 6. x + 1 = 1 3. x. x = x 7. x + x = x 4. x. x’ = 0 8. x + x’ = 1 • Multivariabel 9. x + y = y + x 13. a) x (y + z) = xy + xz 10. x. y = y. x 13. b) (w + x)(y + z) = wy + wz + xy + xz 11. x + (y + z) = (x + y) + z =x+y+z 12. x(yz) = (xy)z = xyz 14. x + xy = x 15. x + y. z = (x + y)(x + z) (9, 10): hkm komutatif, (11, 12): hkm asosiatif, (13. a, b) : hkm distributif

Aturan (hukum-hukum) aljabar Boolean - lanjtn • Aturan Demorgan 16. x + y = x. y 17. x. y = x + y Aturan-aturan aljabar Boolean digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean diagram logika.

Metode penyederhanaa fungsi Boolean Pada fungsi yang rumit, terdapat jenis operasi yang dapat disederhanakan. Penyederhanaan dimaksudkan untuk dapat memperoleh fungsi yang masih menghasilkan nilai yang sama dengan jumlah operasi yang minimum. Bentuk yang terbaik ini dimaksudkan untuk memperoleh : - biaya minimum dalam pembuatan rangkaian elektronis, dan - kinerja yang cepat dalam pengoperasian. Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi Boolean, yaitu: 1. Cara aljabar 2. Peta Karnaugh (K-map) 3. Metode Quine-Mc. Cluskey

Penyederhanaa fungsi Boolean secara aljabar Karakteristik cara ini: - Bersifat trail and error, tidak ada pegangan. - Dalam penyederhanaan menggunakan seluruh aturan dalam aljabar Boolean Contoh 1. Sederhanakan z = ABC + ABC’ + AB’C = AB(C + C’) + AB’C = AB + AB’C = A(B + B’C) = A [(B + B’)(B + C)] = A(B + C) = AB + AC Kedua eksprsi logika ini adalah ekivalen. Artinya keduanya memiliki keluaran yg sama dalam tabel kebenaran.

Penyederhanaa fungsi Boolean secara aljabar n Implementasi fungsi dg gerbang n Berdasarkan gambar di atas, implementasi gambar b) lebih sederhana dari pada a), karena jumlah gerbang yg terlibat lebih sedikit.

Penyederhanaa fungsi Boolean secara aljabar Contoh 2. Sederhanakan z = AB(A + BC) Bandingkan: (a) dan (b) = AB (A. BC) A = A. A. B(B + C) B z = AB(B + C) = A. BB + ABC = A. 0 + ABC C (a) = ABC C B A z = ABC (b)

Penyederhanaan fungsi Boolean secara aljabar LATIHAN A. Sederhanakan : 1. Z = (A’ + B)(A + B) 2. Z = (A’ + B)(A + B + D)D’ 3. Z = (B + C’)(B’ + C) + A + B + C 4. F = X’YZ + X’YZ’ + XZ 5. B. Buktikan identitas fungsi x’y’ + xy + x’y = x’ + y

Bentuk Kanonik Suatu variabel biner dapat berupa bentuk normal (x) atau dalam bentuk komplemennya (x’). x (bentuk normal) Variabel biner : x x (bentuk komplemen)

Bentuk Kanonik • Pandang variabel x dan y yang digabungkan dengan operator AND. Berarti ada empat kemungkinan xy xy Keempat suku AND ini disebut sebagai sukumin (minterm) xy xy • Sekarang bila x dan y digabungkan dengan operator OR x+y x+y Keempat suku OR ini disebut sebagai sukumax (maxterm)

Bentuk Kanonik Bila sukumin dan sukumax tersebut ditabelkan : SUKUMIN SUKUMAX x y SUKU NAMA 0 0 x’ y’ m 0 x+ y M 0 0 1 x’ y m 1 x + y’ M 1 1 0 x y’ m 2 x’ + y M 2 1 1 xy m 3 x’ + y’ M 3 Terlihat bahwa: SUKUMIN = SUKUMAX

Bentuk Kanonik Daftar sukumin dan sukumax untuk tiga variabel Boolean: SUKUMIN SUKUMAX x y z SUKU NAMA 0 0 0 x’y’z’ m 0 x+y+z M 0 0 0 1 x’y’z m 1 x + y + z’ M 1 0 x’yz’ m 2 x + y’ + z M 2 0 1 1 x’yz m 3 x + y’ + z’ M 3 1 0 0 xy’z’ m 4 x’ + y + z M 4 1 0 1 xy’z m 5 x’ + y + z’ M 5 1 1 0 xyz’ m 6 x’ + y’ + z M 6 1 1 1 xyz m 7 x’ + y’ + z’ M 7

Bentuk Kanonik Dari uraian terdahulu fungsi Boolean juga dapat diwakili oleh suatu tabel kebenaran. Pandang fungsi Boolean F dalam TK berikut. x y z F 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 Fungsi F ditulis dalam bentuk jumlah-sukumin: x’ y’ z F = x ’ y’ z + x y ’ z’ + x y z = m 1 + m 4 + m 7 Atau dalam bentuk notasi singkat: x y’ z’ F(x, y, z) = Σ(1, 4, 7) xyz Lambang penjumlahan Σ menyatakan peng-OR-an sukunya, sedangkan bilangan dalam kurung menunjukkan nomor sukumin.

Bentuk Kanonik Jika diambil komplemen F: F=xyz+xyz+xyz+xyz+xyz F=xyz. xyz = (x + y + z)(x + y + z) = M 0 M 2 M 3 M 5 M 6 atau dalam bentuk notasi hasil kali sukumax: F(x, y, z) = ∏(0, 2, 3, 5, 6) Lambang hasil-kali ∏ menyatakan peng-AND-an suku-sukunya Kesimpulan : fungsi Boolean yang dinyatakan dalam bentuk jumlah-sukumin atau hasil-kali sukumax disebut bentuk kanonik.

Jumlah sukumin Kadang-kadang lebih memudahkan untuk menyatakan fungsi Boolean dalam jumlah sukuminnya. Jika tidak tersedia dalam bentuk itu, dapat dibentuk dengan cara berikut: - Uraikan f Boolean menjadi jumlah suku AND - Periksa tiap suku apakah mengandung semua variabel, jika belum lengkap : AND-kan dengan x + x Contoh 1. Nayatakan F = A + BC kedalam jumlah sukumin A = A. 1 = A (B + B’) = AB + AB’ = AB (C + C’) + AB’ (C + C’) = ABC + ABC’ + AB’C’ B’C = B’C (A + A’) = AB’C + A’B’C F = A + B’C = ABC + ABC’ + AB’C’ + A’B’C = m 7 + m 6 + m 5 + m 4 + m 1 Atau F(A, B, C) = Σ(1, 4, 5, 6, 7)

Hasil kali sukumax Jika fungsi Boole tidak tersedia dalam bentuk hasil-kali sukumax, dapat dibentuk dengan cara berikut: - Uraikan f Boolean menjadi suku OR - Bagi variabel yang hilang dalam setiap suku OR, OR-kan dengan x x’ Contoh 1. Nayatakan F = x y + x’ z kedalam hasilkali sukumax F = x y + x’ z = (x y +x’)(x y + z) = (x + x’)(y + x’)(x + z)(y + z) = (y + x’)(x + z)(y + z) (y + x’) = y + x’ + zz’ = (x’ + y + z)(x’ + y + z’) (x + z) = x + z + yy’ = (x + y + z)(x + y’ + z) (y + z) = xx’ + y + z = (x + y + z)(x’ + y + z) Jadi, F = (x’ + y + z)(x’ + y + z’) (x + y + z) )(x + y’ + z) = M 4 M 5 M 0 M 2 = M 0 M 2 M 4 M 5 Atau dalam notasi singkat: F(x, y, z) = ∏(0, 2, 4, 5)

Perubahan bentuk kanonik Secara umum, untuk mengubah salah satu bentuk kanonik ke bentuk kanonik yang lain, pertukarkan lambang Σ dengan ∏ dan tulislah semua bilangan yang hilang dari bentuk aslinya, dan sebaliknya. Misalnya untuk fungsi: F(x, y, z) = ∏(0, 2, 4, 5) diubah kedalam bentuk jumlah sukumin: F(x, y, z) = Σ(1, 3, 6, 7) Disini harus disadari bahwa, banyaknya sukumin atau sukumax untuk n variabel adalah 2 n.

LATIHAN I. Nyatakan fungsi berikut kedalam bentuk jumlahsukumin dan hasilkali-sukumax. 1. f(A, B, C) = (A’ + B)(B’ + C) 2. h(x, y, z) = x’ + y z’ 3. f(A, B, C) = A’B + AC 4. II. Ubah fungsi berikut kedalam bentuk kanonik yang lain. 4. F(x, y, z) = Σ(1, 3, 7) 5. f(A, B, C, D) = ∏(0, 2, 6, 11, 13, 14)

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh (K-map) Penyederhanaan menggunakan K-map mempunyai karakteristik berikut: - Mengacu pada diagram Venn - Menggunakan bentuk-bentuk K-map digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Setiap kotak merepresentasikan sebuah sukumin (minterm). Jumlah kotak dan sukumin tergantung pada jumlah variabel dari fungsi Boolean.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) 1. Penyusunan peta Karnaugh • K-map dua variabel A’B’ A’B m 0 AB m 1 m 2 m 3 AB’ Ada 22 = 4 sukumin (ada empat segiempat)

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) n K-map tiga variabel m 0 = A’B’C’ m 1 = A’B’C m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 = ABC’ 1 1 02 = 610 Perhatikan tiap pergerakan satu segi-4 ke segi-4 yang lain di sebelahnya hanya satu variabel (0 / 1) yang berubah !

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) n K-map empat variabel m 0 m 1 m 4 m 5 Ada 24 = 16 segi empat (sukumin) dalam K-map m 15 m 8 m 9 m 11 m 10

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) n K-map lima variabel Pembatas (cermin)

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) 2. Memplot 0 dan 1 F 0 Ubah tiap sukumin ke biner setaranya, dan tanda 1 diberikan di segiempat yang sesuai.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) 3. Menggabungkan “ 1” yang letaknya bersebelahan, membentuk yg namanya: pasangan, kuad, oktet. a. Pasangan (dua buah “ 1” bersebelahan) Perhatikanlah: setiap satu pasangan menghapuskan satu varibel.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) b. Kuad (quad) (empat buah “ 1” bersebelahan) Perhatikanlah: setiap kuad menghapuskan dua varibel.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) c. Oktet (delapan “ 1” bersebelahan) Perhatikanlah: setiap oktet menghapuskan tiga varibel.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) Langkah : 1. Susun peta Karnaugh sesuai jumlah variabel fungsi. 2. Lingkari “ 1” yang bersebelahan sebanyak-banyaknya sehingga menghasilkan: oktet, kuad, atau pasangan. 3. Tentukan suku-suku yang dihasilkan oleh: oktet, kuad, atau pasangan. 4. Tulis persamaan fungsi Boolean dengan meng-OR-kan suku yang dihasilkan oleh: oktet, kuad, atau pasangan.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) Contoh 1. Berbagai cara melingkari oktet, kuad, atau pasangan. • Alternatif 1 1 1 2 1 1 3 C’ B’CD’ 1 2 1 A’CD’ 1 4 1 1 1 F = C’ + A’CD’ + B’CD’

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) n Alternatif 2 A’D’ 1 1 1 2 1 1 3 AB’D’ 1 4 1 1 F = C’ + A’D’ + AB’D’ 2 1 1 C’

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) n Alternatif 3 A’D’ 1 C’ 1 2 1 1 3 1 2 1 1 4 1 1 F = C’ + A’D’ + B’D’ 1 (pilihan terbaik) B’D’

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) Contoh 1. Sederhanakan fungsi berikut dengan K-map F = A’B’C’ + A’B’C + A’BC’ + ABC’ A’ B F = A’ + B

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) Contoh 2 Sederhanakan dengan K map. F= CD F = C’D’ + CD + ABD C’D’ ABD Bandingkan hasil ini dengan fungsi aslinya.

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) Contoh 3. Sederhanakan dengan K map. f(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 4, 5, 7, 12, 13, 15) Struktur K map: Penggabungan “ 1” bersebelahan : A’D A’C’ BD BC’ f(A, B, C, D) = A’C’ + A’D + BC’ + BD

Penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta Karnaugh (K-map) Contoh 4. Sederhanakan dengan K map. f(A, B, C, D, E) = Σm(0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 29, 31) 1 1 1 1 Hasilnya: f = BE + AD’E + A’B’E’

LATIHAN Selesaikan fungsi Boolean berikut dengan K-map 1) f 2) 3) 4) 5) 6) f(x, y, z) = Σm(0, 2, 4, 5, 6) f(w, x, y, z) = Σm(0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13, 14) f(a, b, c, d) = Σm(0, 4, 6, 7, 12, 13, 14, 15) f(w, x, y, z) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14) F(A, B, C, D, E) = Σm(0, 1, 4, 5, 16, 17, 21, 25, 29)

Penyederhanaan hasilkali-jumlah • Fungsi Boole sederhana yang diperoleh dengan K-map pada contoh terdahulu dinyatakan dalam bentuk jumlah hasilkali. • Dengan sedikit perubahan dapat diperoleh penyederhanaan dalam bentuk hasilkali-jumlah. • “ 1” yang diletakkan pada segiempat dalam peta mewakili sukumin fungsi. Jadi, sukumin yang tidak termasuk dalam fungsi berarti komplemen fungsi tersebut. Misal ditandai dengan 0. • Jika segiempat yang bertanda 0 yang bersebelahan digabungkan, maka diperoleh komplemen sederhana fungsi, yaitu f’. • Selanjutnya, komplemen f’ akan menghasilkan f dalam bentuk hasilkali-jumlah.

Penyederhanaan hasilkali-jumlah Contoh. Sederhanakan fungsi f(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 8, 9, 10) dalam jumlah-hasilkali dan hasilkali-jumlah. f = AB + CD + BD’ komplemenkan f’ diperoleh: AB 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 CD f = AB + CD + BD’ f = (A’ + B’)(C’ + D’)(B’ + D) (Ini f dalam bentuk hasilkali-jumlah) Atau f dalam jumlah-hasilkali: f = B’D’ + B’C’ + A’C’D

Penyederhanaan dg K-map: keadaan tak acuh (don’t care) n n Keadaan tak-acuh dalah adalah masukan yang tidak dapat terjadi dalam kondisi operasi normal. Misal, pandanglah sandi BCD yang terdiri atas 4 -bit: 0000 – 1001, dan bit : 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 tidak mungkin terjadi selama operasi normal. Inilah yang disebut keadaan tak-acuh. Keadaan tak-acuh dapat digunakan untuk penyederhanaan fungsi. Dalam K-map keadaan tak-acuh biasa ditandai dengan tanda x.

Penyederhanaan K-map: keadaan tak acuh (don’t care) Contoh 1 Sederhanakan fungsi f(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 9, 15) + d(6, 7, 8, 10, 12, 13) 1 1 AC’ x Hasil penyederhanaan: 1 x x x 1 BD f(A, B, C, D) = AC’ + BD + B’D’ x LATIHAN : Sederhanakan fungsi f(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 11, 15) + d(0, 2, 5)

L. Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine -Mc. Cluskey • • • Penyederhanaan dengan K-map cukup memudahkan selama variabel tidak melebihi lima. Jika jumlah variabel meningkat, banyaknya segiempat menjadi berlebihan sehinggan sulit menentukan segiempat-segiempat yang bersebelahan. Kekurangan yang jelas pada K-map adalah karena metode tersebut adalah cara coba-coba yang tergantung kepada kemampuan pemakai untuk mengenali pola-pola tertentu. Kesulitan tersebut dapat diatasi dengan Metode Quine. Mc. Cluskey. Metode Quine-Mc. Cluskey disebut juga metode tabulasi.

L. Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine-Mc. Cluskey • Metode tabulasi ini terdiri atas dua bagian, yaitu: 1. Menentukan suku-suku sebagai calon (prime implicant) 2. Memilih prime implicant untuk mendapatkan pernyataan dengan jumlah literal sedikit. Contoh 1 Sederhanakan fungsi berikut dengan metode tabulasi. f(w, x, y, z) = Σ(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15)

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine. Mc. Cluskey • Langkah pertama: menentukan prime implicant (PI). a. Kelompokkan perwakilan biner tiap sukumin menurut jumlah digit ‘ 1’. Desimal Biner 0 0000 1 0001 2 0010 8 1000 10 1010 11 1011 14 1110 15 1111 Jumlah digit 1 Desimal 0 1 1, 2, 8 2 10 3 11, 14 4 15

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine. Mc. Cluskey Jadi, tabel kelompok binernya: a w x y z 0 0 0 √ 1 0 0 0 2 0 0 8 1 10 b c w x y z 0, 1 0 0 0 - 0, 2, 8, 10 - 0 1 √ 0, 2 0 0 - 0 √ 0, 2, 8, 10 - 0 1 0 √ 0, 8 - 0 0 0 √ 10, 11, 14, 15 1 - 0 0 0 √ 2, 10 - 0 1 0 √ 10, 11, 14, 15 1 - 1 0 √ 8, 10 1 0 - 0 √ 11 1 0 1 1 √ 10, 11 1 0 1 - √ 14 1 1 1 0 √ 10, 14 1 - 1 0 √ 15 1 1 √ 11, 15 1 - 1 1 √ 14, 15 1 1 1 - √ Pada kolom c sudah tadak dapat lagi dibandingkan. Proses membandingkan berakhir ! Suku-suku tanpa tanda √ adalah PI yang dicari

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine. Mc. Cluskey • Tabel prime implicant (PI) 0 1 0, 1 x x 0, 2, 8, 10 x 2 8 10 x x x 10, 11, 14, 15 √ √ 11 14 15 x x √ √ X : PI penting Dari tabel di atas, PI penting telah mencakup / meliputi semua sukumin dalam fungsi. PI bertanda O dipilih. Fungsi yang disederhanakan adalah f = w’x’y’ + x’z’ + wy

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine. Mc. Cluskey Contoh 2 Sederhanakan fungsi berikut dengan metode tabulasi. f(w, x, y, z) = Σ(1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15) Untuk menghindari pekerjaan menjemukan ‘pembandingan’ dilakukan dengan notasi desimal. Dengan kata lain penentuan PI dilakukan dengan notasi desimal.

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine-Mc. Cluskey a b c 0001 1 √ 1, 9 (8) 8, 9, 10, 11 (1, 2) 0100 4 √ 4, 6 (2) 8, 9, 10, 11 (1, 2) 1000 8 √ 8, 9 (1) √ 0110 6 √ 8, 10 (2) √ 1001 9 √ 6, 7 (1) 1010 10 √ 9, 11 (2) √ 0111 7 √ 10, 11 (1) √ 1011 11 √ 7, 15 (8) 1111 15 √ 11, 15 (4) • Pembandingan grup di kolom b, hanya pada bilangan dalam kurung sama. Hasilnya di kolom c. • Suku yang tidak bertanda √ adalah prime implicant (PI) • Pada kolom c, suku muncul 2 kali, karena PI ambil satu saja. Kolom a: jika bilangan di grup bawah lebih besar dari bilangan di grup atas dengan suatu 2 pangkat (yaitu: 1, 2, 4, 8, 16, dst) beri tanda √, berarti keduanya telah terpakai. Dan tulis kedua bilangan itu pada kolom b. Dst. . .

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine-Mc. Cluskey Daftar prime implicant 1 x’y’z √ 1, 9 w’xz’ √ 4, 6 w’xy 6, 7 xyz 7, 15 wyz 11, 15 wx’ √ 6 7 8 x 9 10 11 15 x x x x 8, 9, 10, 11 √ X 4 √ √ x x √ √ x : PI penting, hanya ada satu tanda x pada kolom sukumin. • Cakupkan semua kolom ke dalam PI penting dan beri tanda √ di bawah kolom.

Penyederhanaan fungsi Boole dengan Metode Quine-Mc. Cluskey • Amati tabel PI, terlihat bahwa PI-penting telah meliputi / mencakup semua sukumin dalam fungsi, kecuali sukumin 7 dan 15. Keduanya harus dimasukkan dengan memilih satu atau lebih PI yang meliputinya. Dalam kasus ini diambil PI : xyz, karena meliputi kedua sukumin tersebut (7 dan 15). • Dengan demikian telah diperoleh himpunan prime implicant minimum yang jumlahnya memberikan hasil fungsi yang disederhanakan, yaitu: f = x’y’z + w’xz’ + wx’ + xyz LATIHAN Sederhanakan fungsi berikut dengan metode tabulasi. f(A, B, C, D) = Σ(0, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15)

Gerbang NOR dan NAND Ada dua jenis gerbang logika lain yang sering digunakan dalam rangkaian logika, yaitu gerbang NOR dan NAND. Gerbang ini pada dasarnya gabungan operasi gerbang AND, OR, dan NOT. • Gerbang NOR • Gerbang NAND A A x=A+B B x = AB B A A x=A+B B A+B A+B 0 0 1 1 1 x = AB B AB AB 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0

Gerbang NOR dan NAND Misal gambar diagram logika: A + BC jika diimlementasikan dengan gerbang NOR dan NAND saja. Jika diketahui x = AB ( C + D ), gambar rangkaian dengan gerbang NOR dan NAND saja.

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n Rangkain digital dibangun oleh rangkaian terntegrasi.

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n n Dua teknologi dasar dalam industri IC adalah: 1) Bipolar 2) MOS (metal oxid semiconductor) Keluarga Bipolar - DTT (diode transistor logic) - TTL (transistor-transistor logic) - ECL (emitter-coupled logic)

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n Keluarga MOS - PMOS MOSFET (p-Channel MOSFET) - NMOS MOSFET (n-Channel MOSFET) - CMOS MOSFET (Complementary MOSFET)

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n 2 input AND gate

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n AND / OR gate

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n NAND gate

Rangkaian terintegrasi (interated circuit) n NOR gate