Geometrik Dnmler Genel Bak 2 ve 3 boyutlu

Geometrik Dönüşümler

Genel Bakış • 2 ve 3 boyutlu, ü Çevirim(Translation) ü Dönüş(Rotation) ü Ölçeklendirme(Scaling) • Homojen koordinatlar • Koordinat sistemleri

2 Boyutlu Konum Değiştirme (Translation) • Bir nesneyi bir koordinattan bir diğerine düz bir çizgi boyunca yeniden konumlandırma • Orijinal koordinat pozisyonuna tx ve ty, çevirim mesafelerini ekleme • Konum değiştirme katılarda, ü Nesneyi bozmadan hareket ettirir.

2 Boyutlu Dönüş (Rotation) Orijin etrafında dönüş: ……. . • Orijinal kutup koordinatları: ……. . • Yerlerine yerleştirdikten sonra: ……. . • Matris yapısı: ……… • Pozitif dönüş açıları saat yönünün tersini gösterirken, negatif açılar saat yönünü gösterir.

2 Boyutlu Dönüş Rastgele bir nokta etrafında dönüş: ……… • Önce translation(xr, yr) ve yerlerine koymadan sonra dönüş: ……. .

2 Boyutlu Dönüş • Dönüşlerde işlem sırası önemlidir. Sonuç imge farklı olabilmektedir. Aşağıdaki örnekte olduğu gibi. . .

2 Boyutlu Dönüş • Bir doğru, doğrunun bitiş noktalarına dönüş denklemi uygulanarak döndürülür ve yeni bitiş noktaları arasına yeniden çizilir. • Çokgenler her tepe noktasını belirlenen dönüş açısıyla döndürülürler ve daha sonra yeniden çizerler. • Eğriler tanımlama noktalarının yeniden konumlandırılması ve eğrinin yeniden çizilmesiyle döndürülür.

2 Boyutlu Ölçeklendirme • Nesnenin boyutunu değiştirir • Bir nesne her tepe noktasının (x, y) koordinatlarının birer ölçekleme katsayısı olan sx ve sy ile çarpılmasıyla ölçeklendirilir. • Sx ve sy herhangi bir pozitif değer alabilir. ü 1’den küçük değerler nesnenin boyutunu küçültür. ü 1’den büyük değerler genişleme sağlarlar ü Sx ve sy 1 ise, boyut değişmez.

2 Boyutlu Ölçeklendirme • ü Ø Ø • ü Tek düze ölçeklendirme: Sx ve sy aynı değerdedirler. Diferansiyel ölçeklendirme: Sx ve sy eşit değildirler. 1’den küçük ölçekleme değerleri nesneyi orijine yaklaştırır. 1’den büyük ölçekleme değerleri nesneyi orijinden uzaklaştırır. Sabit nokta: (xf, yf) sabit noktası ölçeklemeden sonra konumu kontrol etmek içindir. ü (xf, yf) sabit noktasının koordinatları herhangi bir pozisyonda olabilir. ? ? ü xf(1 -sx) ve yf(1 -sy) nesnenin tüm noktaları için sabit taşıma (translation) oluşturur.

Homojen koordinatlar • Soru: Ø Çevirim(Translation) matrisleri toplama gerektirmesine rağmen, ölçekleme ve dönüş matrisleri çarpım gerektirir. Bunları nasıl birleştiririz? • Çözüm: ØKartezyen koordinatları yerine homojen koordinatlar kullanılır. Bu koordinat sisteminde çevirim, ölçekleme ve dönüş genel bir matris çarpım yöntemiyle ifade edilebilir.

Homojen koordinatlar • 2 boyutlu koordinatta temsil edilen p 1(x 1, y 1) noktasını bir “h” değişkeni ekleyerek p 1 h(hx 1, hy 1, h) olarak gösterilir. h=1 olduğunda (x, y) için kartezyen koordinatlardaki değer elde edilir. • Homojen koordinatlarda p(m, n, h) ile verilen nokta p(m/h, n/h, 1) kullanılarak kartezyen koordinatlardaki değerler bulunabilir. • Her nokta için aynı doğru üzerinde “h” değerine bağlı olarak birden çok homojen koordinatla gösterilebilir.

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Çevirim • Matris temsili: …………. . Ø Ters çevirim matrisi tx ve ty’yi –tx ve –ty ile değiştirilerek yapılır. P den P’ ne: • ve P’ nden P’’ ye çevirim………. .

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüş • Matris temsili: ……. Ø Ters dönüş matrisi θ’nın –θ’ya dönüştürülmesi ile gerçekleştirilir. § İki başarılı dönüş: ………. .

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Ölçekleme • Matris temsili: ……. . ü Ters ölçekleme matrisi sx ve sy’nin 1/sx ve 1/sy ile değiştirilmesiyle elde edilir. § P den P’ ne ve P’ den P’’ ne ölçekleme: ….

Homojen Koordinatlarda 2 Boyutlu Dönüşüm Birleşimi • • 1. 2. 3. Açık GL sadece orijin etrafında bir dönüş fonksiyonu sağlar. Rasgele bir nokta etrafında bir nesneyi döndürmek için ardına 3 esas dönüşüm yapılmalıdır. Eksen noktası orijine çevrilir. Orijin etrafında dönülür. Eksen noktası tekrar orijinal haline çevrilir.

2 Boyutlu Çevirimin Bileşenleri

DİĞER DÖNÜŞÜM ÇEŞİTLERİ • Makaslama-Kaykılma(Shear) • Yansıma(Reflection)

Makas(Shear-Kaykılma) Çevirimi • Bir nesnenin şeklini sanki birbirleri üzerinden kayan iç tabakalardan oluşmuş gibi gösterecek şekilde biçimini bozar • X-yönünde makas • Y- yönünde makas

Yansıma Çevirimi • Bir nesnenin ayna yansımasını oluşturur.

Temel Dönüşüm Sınıfları • 1)Katı kütle(Rigid Body) Çevirim: Uzunluk, açı ve yönelim(orientation) korunur. Örn: Dönüş (Rotation) ve çevirim(Translation) • 2)Yakın(Affine) Çevirim: Doğruların uzunlukları ve açılarını değil, paralelliklerini korur. Çizgiler çizgi olarak kalır. Örn: Çevirim(translation), Dönüş(rotation), Ölçekleme(scaling), Makaslama(shear), ve Yansıma (reflection) • 3)(Conformal) Çevirim: Sadece Açı ve yönelimin (orientation) korunduğu çevirim. Orn: Dönüş (Rotation), çevirim(Translation) ve düzenli ölçekleme (uniform scaling). • Bu özellikler aynı zamanda 3 boyutlularda da geçerlidir.

3 Boyutlu Dönüşümler 3 Boyutlu Çevirimler • 4’e 4’lük homojen bir matris • Ters çevirim matrisi tx , ty ve tz’yi; –tx , –ty ve –tz ile değiştirerek elde edilir.

3 Boyutlu Dönüşüm 3 Boyutlu Çevirim • Tüm tanım noktası çevrilmiştir. • Nesne bir çokgense, her tepe noktası ayrıca çevrilir.

3 Boyutlu Dönüşümler 3 Boyutlu Ölçekleme • 4’e 4’lük bir homojen matris • Ters ölçekleme matrisi sx, sy ve sz yerine 1/sx, 1/sy ve 1/sz konularak oluşturulur.

3 Boyutlu Dönüşümler 3 Boyutlu Ölçekleme • Sabit bir noktaya göre ölçekleme

3 Boyutlu Dönüşüm 3 Boyutlu Dönüş • z ekseni etrafında dönüş • x ekseni etrafında dönüş • y ekseni etrafında dönüş

3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri • • 1. 2. İlk hali: …. son hali: …… Dönüşümü başarabilmek için iki yol vardır. T, rx, ry, rz dönüşümlerini oluştur. Dikey matrisin özelliklerini kullan

3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri • 1. 2. 2 boyutlu bileşenleriyle aynı şekilde yapılır. P 1’i orijine dönüştür. y ekseni etrafında çevir (p 1, p 2 (y, z) düzleminde uzanmaktadır. ) 3. x ekseni etrafında çevir (p 1, p 2 z ekseni üzerindedir) 4. z ekseni etrafında çevir (p 1, p 3(y, z) düzleminde uzanmaktadır) Bileşik matris aşağıdaki gibidir: ……

3 Boyutlu Dönüşümün Bileşenleri • Dönüş matrisini çapraz çarpım kullanarak oluşturunuz • RZ z eksenine dönecektir • RX x eksenine dönecektir • RY y eksenine dönecektir • Bileşik matris: …