Geometrick posloupnost RNDr Ludk nirch Obchodn akademie a

Geometrická posloupnost RNDr. Luděk Šnirch Obchodní akademie a střední zemědělská škola Bruntál 1

Co je to geometrická posloupnost ? l Posloupnost nazývá Rekurentnísezápis angeometrická, . právě když existuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n platí: l Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti. Je to podíl dvou po sobě jdoucích členů posloupnosti a je nezávislý na n. 2

Příklady – je posloupnost geometrická ? 1, 2, 4, 8, 16, 32, …. a 1 = 1, an+1 = an*2 Ano, je geometrická, q=2 a 1 = 2, an+1 = an *1/2 Ano, je geometrická, q=1/2 a 1 = 2, an+1 = an *(-1/2) Ano, je geometrická, q=-1/2 3

Pár poznámek l Je-li a 1=0, pak každý an=0. Proč ? l Je-li q=0, pak počínaje a 2 je každé an=0. Proč ? l Budeme se dále zabývat jen posloupnostmi, kde je a 1≠ 0 a zároveň q≠ 0 4

Zadání geometrické posloupnosti vzorcem pro n-tý člen l. V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí pro každé n N: an = a 1. qn-1 l. V geometické posloupnosti s kvocientem q platí pro každé r, s N: as = ar. qs-r 5

Vlastnosti geometrické posloupnosti l Geometrická posloupnost je rostoucí: l a 1>0 a q>1 l a 1<0 a 0<q<1 l Napiš prvních 6 členů posloupnosti: a 1=1, q=3 l a 1=-3, q=1/3 l 1, 3, 9, 27, 81, 243, …. . -3, -1/3, -1/9, -1/27, -1/81 6

Vlastnosti geometrické posloupnosti l Geometrická posloupnost je klesající: l a 1>0 a 0<q<1 l a 1<0 a q>1 l Napiš prvních 6 členů posloupnosti: l a 1=2, q=1/3 2, 2/3, 2/9, 2/27, 2/81, 2/243. . l a 1=-3, q=3 -3, -9, -27, -81, -243, -729. . 7

Vlastnosti geometrické posloupnosti l Geometrická posloupnost není ani rostoucí ani klesající: l q<0 l Napiš prvních 6 členů posloupnosti: l a 1=2, q=-2 2, -4, 8, -16, 32, -64. . 8

Vlastnosti geometrické posloupnosti l Geometrická posloupnost je omezená: l -1 ≤ q ≤ 1 l Geometrická posloupnost je zdola omezená: l a 1>0 a q>1 l Napiš prvních 6 členů posloupnosti: a 1=2, q=-1/2 l a 1=3, q=2 l 2, -1, 1/2, -1/4, 1/8, -1/16, shora omezená 2, zdola omezená -1 3, 6, 12, 24, 48, 96 – zdola omezená 3 9

Vlastnosti geometrické posloupnosti l Geometrická posloupnost je shora omezená: l a 1<0 a q>1 l Geometrická posloupnost není ani shora ani zdola omezená: l q<-1 l Napiš prvních 6 členů posloupnosti: a 1=-2, q=2 l a 1=3, q=-2 l -2, -4, -8, -16, -32, -64, shora omezená -2 3, -6, 12, -24, 48, -96 – ani zdola ani shora omezená 10

Příklady Je číslo -8 členem geometrické posloupnosti a 1=27, q=-2/3 ? an=a 1 qn-1 11

Příklady Je posloupnost geometrická ? n-1 a =6 * (2/3) Spočti n q a prvních 5 členů posl. 12

Příklady Spočti q a první 2 členy geom. posloupnosti, je-li a 4=10, a 3 = 13

Součet prvních n členů geom. posloupnosti pro q = 1 : Pro součet sn prvních n členů pro q ≠ 1 : geometrické posloupnosti platí: 14

Příklad Sečti prvních 7 členů geom. posl. . a 1=3, q=2 s 7=3(27 -1)/(2 -1) s 7=3*127=381 Sečti prvních 7 členů geom. posl. . a 1=-5, q=-1 s 7=-5((-1)7 -1)/(-1 -1) s 7=-5*(-2)/(-2)=-5 15

Výhodná koupě ? Kupec nabídl koně zdarma, chtěl jen zaplatit hřebíky v podkovách, každá podkova jich má 6. První hřebík za 1 Kč, každý další za dvojnásobek. Kolik by stála koupě ? s 24=1(224 -1)/(2 -1) S 24=224 -1=16 777 215 Kč 16