Geometria Khler vs Geometra Simplctica Vicente Muoz Primer

Geometria Kähler vs Geometría Simpléctica Vicente Muñoz Primer Congreso Conjunto de Matemáticas RSME-SCM-SEIO-SEMA, MAT. ES 2005 1 de febrero de 2005

Variedades Las variedades modelan los espacios en los que se estudian propiedades geométricas (son los espacios geométricos per se). carta (mapa de una zona de X) X

Variedades diferenciables Para la definición de variedad, se pide que los cambios de cartas sean diferenciables concepto de diferenciación en variedades φ

Problema de clasificación Surge un problema de clasificación de variedades. l ¿Cuáles son? l ¿Cómo identificarlas? l ¿Cómo distinguirlas?

Estructuras geométricas En general, las variedades pueden tener diversos tipos de estructuras, dependiendo del problema a tratar. Dos ejemplos: l Métricas: permiten medir distancias, longitudes, … en variedades. Vienen dadas por un tensor gij. Para cada par de vectores tangentes u, v tenemos un producto escalar g(u, v). u v l Formas de volumen: modelan objetos incompresibles. Vienen dadas por una n-forma Ω Ωn(X).

Geometría local y global l Estructuras rígidas (hay geometría local) Una métrica g nos da la conexión de Levi-Civitá , que determina la curvatura Rijkl. Si R ≠ 0, entonces X no es isométrica a un plano. Es decir, no se puede escribir g = dx 1 +… + dxndxn l Estructuras maleables (sólo tienen geometría global) Sea Ω una forma de volumen. Dado un punto p hay una carta (x 1, …, xn) tal que la forma de volumen es Ω = dx 1 dx 2 … dxn

Construcción de variedades l Se pueden construir variedades con métodos topológicos: procesos de cortar y pegar (pegado de asas, cirugía, cálculo de Kirby), fibraciones, … l Una fuente importante de ejemplos de variedades es la Geometría Algebraica: las variedades complejas.

Variedades complejas Sea F(x 1, x 2, x 3) un polinomio (sobre C X = {(x 1, x 2, x 3) C 3 | F(x 1, x 2, x 3) = 0} es una superficie compleja (dim. C X=2), por tanto una variedad de dimensión (real) 4. Cada espacio tangente es un subespacio complejo Tp X C 3 , luego Iu u I : Tp X X u iu ).

Estructuras complejas cn φ l Las cartas son de la forma p (z 1, …, zn) l El cambio de carta φ es un biholomorfismo. cn c n

Estructuras Kähler Tomamos una variedad X CPN. La métrica natural del espacio proyectivo complejo da una métrica g en X. Sea la conexión de Levi. Civitá. Entonces: I =0 ω (u, v) = g(u, I v) es una 2 -forma. h (u, v)= g(u, v) + i ω (u, v), métrica hermítica. h = Σ hij dzi dzj , con (hij) definida positiva. ω = i Σ hij dzi dzj es (1, 1)-forma positiva. ω se llama forma Kähler. Entonces: dω =0

Estructuras simplécticas l (X, ω), con ωn > 0, d ω = 0. dim X = 2 n l Debilitamos la condición Kähler permitiendo I no integrable. l Además las estructuras simplécticas modelan los espacios de fases de la mecánica. l Estructura Kähler es rígida. l Estructura simpléctica es maleable: todo punto p tiene una carta (z 1 , …, zn) con ω = i (dz 1 + … + dzn ) (Darboux)

Clasificación Kähler vs. Simpléctica Variedades diferenciables Variedades simplécticas Variedades Kähler

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz l Grupo fundamental l Formalidad l Tipo de homotopía

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico • Para una variedad Kähler X compacta, la teoría de Hodge dice que k(X) = Hp, q(X) H l Números de Betti p+q=k q, p(X) ≈ Hp, q(X) H l Propiedad hard-Lefschetz Luego b 1 = h 0, 1 + h 1, 0 = 2 h 0, 1 es par l Grupo fundamental l Formalidad Análogamente: b 3, b 5, … son pares l Tipo de • homotopía Para una variedad simpléctica se puede conseguir cualquier b 1, b 3, …

Métodos topológicos (soft) Ejemplo (variedad de Kodaira-Thurston) Kähler ≠ simpléctico • Para una variedad Kähler X compacta, Tomamos la una fibración con basedice un toro, teoría de Hodge que fibra un toro y monodromía: k(X) = Hp, q(X) H l Números de Betti ( ) H hard-Lefschetz (X) ≈ H (X) l Propiedad ( fundamental ) b =h +h =2 h Luego l Grupo 10 p+q=k a 01 11 01 q, p 1 p, q KT 0, 1 1, 0 0, 1 es par a l Formalidad Análogamente: b 3, b 5, … son pares Entonces b 1 = 3 l. KT Tipo de homotopía • Para una variedad simpléctica se es variedad simpléctica puede conseguir cualquier b 1, b 3, … No puede ser variedad Kähler

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz l Grupo fundamental l Formalidad l Tipo de homotopía

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números deuna Betti • Para variedad Kähler X compacta, el teorema hard Lefschetz dice que l Propiedad hard-Lefschetz [ ω ]n-k : Hk(X) H 2 n-k(X) l Grupo fundamental l Formalidad es isomorfismo l Tipo de homotopía • Para una variedad simpléctica se puede conseguir que esta propiedad falle para distintos valores de k

Métodos topológicos (soft) La variedad Kodaira-Thurston no verifica hard-Lefschetz: Kähler ≠ simpléctico [ ω ] : H 1 (KT) H 3 (KT) ≈ H 1 (KT) es una aplicación antisimétrica entre espacios dede dimensión 3 su rango es par no es lvectoriales Números Betti • Para una variedad Kähler X compacta, isomorfismo. el teorema hard Lefschetz dice que l Propiedad hard-Lefschetz [ ω ]n-k : Hk(X) H 2 n-k(X) l Grupo fundamental l Formalidad es isomorfismo l Tipo de homotopía • Para una variedad simpléctica se puede conseguir que esta propiedad falle para distintos valores de k

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz l Grupo fundamental l Formalidad l Tipo de homotopía

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico • Si Xde es Betti una variedad Kähler compacta, l Números su grupo fundamental p 1(X) se llama l Propiedad hard-Lefschetz grupo Kähler. Existen numerosas l Gruporestricciones fundamental para que un grupo sea Kähler. Por ejemplo Γ 0 * Γ 1 no es l Formalidad Kähler. l Tipo de homotopía • Cualquier grupo puede ser el grupo fundamental de una variedad simpléctica (Gompf).

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz l Grupo fundamental l Formalidad l Tipo de homotopía

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico • Para una variedad Kähler X compacta (simplemente l Números de Betti conexa), el modelo minimal (la homotopía racional) es formal: los l Propiedad hard-Lefschetz grupos de homotopía racionales se a partir de la cohomología. l Grupo determinan fundamental (Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan) l Formalidad productos de Massey son siempre l Tipo de. Los homotopía cero. • Hay variedades simplécticas no formales, con productos de Massey no nulos.

Métodos topológicos Kodaira-Thurston: (soft) Kähler ≠ simpléctico Tenemos las 1 -formas: KT θ 0 , θ 1 • Para que provienen de la base una variedad Kähler X compacta (simplemente dθ 0 de = 0, Betti dθ 1 = 0 conexa), el modelo minimal l Números a (la homotopía racional) es formal: los η , η que vienen de la fibra 0 1 l Propiedad hard-Lefschetz grupos de homotopía racionales se 10 dη 0 = 0, dη 1 = θ 0 θ 1 a partir de la cohomología. l Grupo determinan fundamental a 01 1 H (KT)= < [θ 0], [θ 1], [η 0] > (Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan) 11 l Formalidad ( ) Producto de Massey: Los productos de Massey son siempre l Tipo de homotopía 01 < [θ 1] , [θ 0] > = - [η 1 θ 0] ≠ 0 cero. • Hay variedades simplécticas no formales, con productos de Massey no nulos.

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz l Grupo fundamental l Formalidad l Tipo de homotopía

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz • Las superficies complejas están l Grupo fundamental clasificadas (clasificación de l Formalidad. Enriques). Los posibles tipos de homotopía son muy pocos. l Tipo de homotopía • Se pueden construir 4 -variedades simplécticas que no estén en esa lista.

Métodos topológicos (soft) Kähler ≠ simpléctico l Números de Betti l Propiedad hard-Lefschetz l Grupo fundamental l Formalidad l Tipo de homotopía

Clasificación Kähler vs. Simpléctica Hard Lefschetz Variedades simplécticas formales Variedades Kähler Variedades diferenciables

Métodos analíticos (hard) Kähler ≈ simpléctico Extender resultados geométricos (con métodos analíticos) que son ciertos para variedades Kähler, al caso de variedades simplécticas. I : T X, I 2 = - 1 g(u, v)= - ω(u, I v) es una métrica I es una estructura casi-compleja compatible (en general, no es integrable).

Curvas pseudo-holomorfas Sea Σ una curva compleja de género g Sean A H 2(X, Z), zi X ciclos, xi Σ Contamos el número de curvas f : Σ X, I f = 0 f* [Σ] = A, f (xi) zi Σ z 1 z 2 z 3 Invariantes de Gromov-Witten. Cohomología cuántica. Resultados de clasificación de 4 -variedades simplécticas (Taubes) similares a la clasificación de superficies complejas

Teorema de Kodaira l Sea X una variedad Kähler con L X fibrado de línea amplio, L = O (1) c 1(L) = [ ω / 2π ], Lk es fibrado muy amplio, k >> 0 l Teorema de Kodaira: existen secciones s 0, …, s. N de Lk holomorfas ( si = 0) con X CPN subvariedad compleja. p [ s 0(p) , … , s. N (p)] N CP l Teorema de Bertini: Para un hiperplano (genérico) H = {x 0 = 0}, la sección hiperplana X H = {p | s 0(p) = 0} = Z(s 0) es subvariedad compleja (lisa) de X. H X

Teoría asintóticamente holomorfa (Donaldson) l (X, ω) variedad simpléctica I estructura casi-compleja compatible L X fibrado de línea con c 1(L) = [ ω / 2π ] Lk tiene curvatura - i k ω (muy positiva). l Existen secciones s 0, …, s. N de Lk asintóticamente holomorfas | si | C k -1/2 con X CPN subvariedad simpléctica. p [ s 0(p) , … , s. N (p)] l La sección hiperplana es del tipo Z(s) = {p | s(p) = 0}, con s sección asintóticamente holomorfa de Lk. Es una subvariedad simpléctica (lisa) de X

Pinceles de Lefschetz l Sea X CPN variedad Kähler. Tomamos el haz de hiperplanos Hλ = {x 1 - λ x 0 = 0}, λ CP 1 X Hλ = Z (s 1 - λ s 0 ) B = Z (s 0 s 1) φ : X - B CP 1 p [s 0(p), s 1 (p)] φ-1 (λ) = Zλ Los puntos críticos dan fibras nodales l Según vamos añadiendo puntos críticos, estamos haciendo un pegado de un asa de dimensión n-1 l Sea Z* una fibra lisa: pi ( Z* ) ≈ pi (X), i < n-1 (teorema de Lefschetz)

Pinceles de Lefschetz simplécticos l (X, ω) variedad simpléctica l Existen secciones s 0 , s 1 de Lk asintóticamente holomorfas con φ : X - B CP 1 p [s 0(p), s 1 (p)] pincel de Lefschetz, con fibras simplécticas. l Permite atacar el problema de clasificación de variedades simplécticas (sobre todo en dimensión 4). X φ CP 1