GEOMETRIA EUCLIDEA CONCETTI FONDAMENTALI Presentazione a cura della

GEOMETRIA EUCLIDEA CONCETTI FONDAMENTALI Presentazione a cura della Prof. ssa Annunziata Di Biase Novembre 2014

NOTIZIE STORICHE La parola GEOMETRIA deriva dal greco e significa “MISURA DELLA TERRA” Furono TALETE di Mileto e PITAGORA di Samo ad introdurre in Grecia le conoscenze geometriche di egiziani e babilonesi. Ma nel III secolo a. C. fu il matematico EUCLIDE di Alessandria in Egitto, a dare una struttura razionale alle conoscenze geometriche note sino ad allora scrivendo una delle più grandi opere della cultura occidentale, gli “Elementi”. Questa grande

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie) ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori)

Geometria intuitiva: studia le proprietà delle “figure reali” basandosi sull’intuito, osservazione e sulle esperienze che ce ne danno i nostri sensi e non sul ragionamento. INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI ESPERIENZE

Geometria razionale: si studiano le proprietà di “figure ideali” basandosi sull’intuito, ma principalmente sul ragionamento. RAZIONALE Parte da ENTI e CONCETTI PRIMITIVI Non definibili, ma descritti mediante ASSIOMI o POSTULATI

Concetti fondamentali Concetti e enti primitivi: In geometria i concetti primitivi non si possono definire esplicitamente, ma possono essere definiti implicitamente attraverso degli assiomi. Ente: ciò che esiste. Grandezza: ciò che si può misurare. Definizione: una frase nella quale si assegna un nome a un ente e se ne elencano le proprietà o caratteristiche. Assiomi o postulati: Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo”

Gli assiomi scelti devono soddisfare le seguenti condizioni: 1. COMPATIBILITA’: non devono contraddirsi l’uno con l’altro 2. INDIPENDENZA : dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate Teorema: è una proposizione dimostrabile, cioè a dell’altro differenza dell’assioma non è vera a priori, ma occorre dimostrare la sua veridicità attraverso un ragionamento logico. Lemma: è un teorema che non ha una grande importanza di per sé, ma che è particolarmente utile per la dimostrazione di altri teoremi. Esso precede un altro teorema chiamato teorema principale e serve a semplificarne la dimostrazione. In geometria si Corollario: è un teorema importante che segue alcuni trovano pochissimi lemma. teoremi ed è una proposizione che risulta essere una conseguenza immediata di un altro teorema o di un postulato.

CONCETTI ED ENTI PRIMITIVI Non si possono definire con idee più elementari e sono espressi da parole il cui significato è noto a tutti. Non abbiamo bisogno di definirli. Sono CONCETTI PRIMITIVI: 1. MOVIMENTO RIGIDO, 2. APPARTENENZA SONO ENTI PRIMITIVI: 1. PUNTO, 2. RETTA, 3. PIANO, 4. SPAZIO

Enti geometrici primitivi Gli enti primitivi della geometria sono: PUNTO RETTA PIAN O SPAZIO

PUNTO Il punto è un ente geometrico fondamentale privo di dimensioni. Un punto nella geometria euclidea poiché non ha dimensione (adimensionale) non è una grandezza, rappresenta solo una posizione nello spazio. Esso si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino. B A C

RETTA Infiniti punti allineati determinano una retta. La retta è una grandezza ed è caratterizzata da una sola dimensione: la lunghezza (L). Le rette si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto latino. Per modello di retta possiamo prendere in considerazione un filo teso fra due punti. Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più ridotte.

PIANO lunghezza lar gh ez za Infiniti punti e infinite rette determinano un piano. Il piano è caratterizzato da due dimensioni: lunghezza (L) e larghezza (L) L x L = S Si indica con una lettera dell’alfabeto greco minuscola. Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta. Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscola.

SPAZIO Infiniti punti, infinite rette e infiniti piani determinano lo spazio. Gli enti geometrici sono tutti situati nello spazio. Lo spazio è caratterizzato da tre dimensioni: lunghezza (L), larghezza (L) e altezza (L). L x L = V

Punti coincidenti o n o c i d i s i t no n a u p p u c c o Due e s i e t n n o e i d z i i c s n o i p o c a s s e t la s Punto A coincide con B A ≡ B B A≡ Per indicare che due punti coincidono si usa il simbolo ≡

La linea retta Si definisce retta un’insieme infinito di punti allineati

Rette COMPLANARI: se esiste un piano che le contiene entrambe. Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune o che hanno tutti i punti in comune Rette SGHEMBE: se non sono complanari, e di conseguenza non hanno punti in comune né sono parallele.

Assiomi fondamentali - Una retta contiene infiniti punti - Un piano contiene infiniti punti e infinite rette - Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani

Assiomi di appartenenza Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due punti distinti appartengono a una sola retta) Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (= tre punti non allineati appartengono a un solo piano) La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

Assioma di ordinamento -La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che: - Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A. A B - Se A precede B precede C, allora A precede C. A B C

Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora un suo generico punto P la divide in due parti Si viene a formare un nuovo ente che si chiama semiretta.

SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto: ORIGINE delle semirette Due semirette si dicono OPPOSTE o adiacenti se: • hanno solo l’origine in comune • appartengono alla stessa retta

Semiretta a n u c s a i c a t t e r i m e s a e n c u s i i n u i f c e n d i i i t S r a o p t n e u u p d o u s delle n u a d a s i v i d retta è

Caratteristiche della semiretta La semiretta ha un punto di inizio che ne rappresenta l’origine e un verso che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semiretta. Due o più semirette che hanno un’origine in comune condividono la stessa origine. Il modello di semiretta è rappresentato da un laser. r P verso semiretta t s H r k Semirette con origine in comune

Retta e punto Per un punto passano infinite rette Il punto per cui passano le rette è detto centro del fascio Le infinite rette che passano per un punto costituiscono un fascio proprio di rette

Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta che rappresenta la direzione del fascio

Retta PER due punti Per due punti passa una ed una sola retta

Retta e due punti ü Consideriamo una retta r e due punti A e B su di essa. ü La parte di retta compresa tra i due punti considerati da origine ad un nuovo ente che si chiama segmento. ü I due punti considerati A e B si chiamano estremi.

segmento a l o t n e m g e s e c s i a n i s f e e r d p m Si o c a t t e r i d e i m part e r t s e e u tra d

In una retta ci sono infiniti punti (lo dice l’assioma). E in un segmento? Anche il segmento contiene infiniti punti (compresi tra due estremi), come la retta e la semiretta, perché sono insiemi DENSI. Un insieme si dice denso se presi due punti qualsiasi su di essi esiste almeno un altro punto interno ad essi.

SEGMENTI PARTICOLARI Segmenti CONSECUTIVI: segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto (i segmenti giacciono su rette origine non coincidenti tra loro) Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta cioè hanno un estremo in comune e le rette origini sono coincidenti tra loro.

Punto medio di un segmento Punto che divide il segmento in due segmenti uguali AM = MB = 1/2 AB A M B

SIMMETRIA CENTRALE Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto centrale M se A e B sono equidistanti da esso. Il punto M si chiama centro di simmetria. A M B

RETTA PER TRE PUNTI Rette per tre punti I tre punti non sono allineati Passano 3 rette I tre punti sono allineati Passa una retta

Per tre punti non allineati passano 3 rette Per tre punti allineati passa una ed una sola retta

Una volta verificato che per Tre punti si dicono tre punti allineati passa una sola retta, quando 3 punti allineati se giacciono si dicono allineati? su una stessa retta

Piano e retta possono essere: r complanari Complanari r Incidente incidente r Parallelo parallelo

r complanari Riguardiamo le seguenti figure r incidente r parallelo Cosa succede se una retta ha 2 punti di contatto col piano?

Se una retta ha due punti di contatto col piano è ad esso complanare

Postulato di partizione del piano Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che: r A B Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte C r D Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto

Una retta r complanare ad un piano a ha tutti i suoi punti in comune col piano. In questo caso si dice che la retta r giace sul piano a. Essendo la lunghezza della retta infinita abbiamo che una retta che giace sul piano a lo divide in due parti uguali o non uguali dette semipiani. SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano. Due semipiani si dicono OPPOSTI se: • hanno solo la retta origine in comune

Semipiano Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui un piano risulta suddiviso da una retta complanare

n o n i t n o u n p u e a r s t s r o a e n p P a i i t p a e o l n i o l l s a n u ed

Grandezze omogenee e non omogenee Due grandezze si dicono omogenee se sono dello stesso tipo e quindi si possono: 1. Confrontare 2. Sommare Esempi di grandezze omogenee: segmenti con segmenti e angoli con angoli. Due grandezze si dicono non omogenee o eterogenee se non sono dello stesso tipo e quindi non si possono né confrontare e né sommare. Esempi di grandezze non omogenee: segmenti con angoli.

MOVIMENTO RIGIDO Il movimento rigido non si può definire, perché è un concetto primitivo. L’assioma che lo caratterizza dice che: il movimento rigido conserva le distanze. Il movimento rigido è una trasformazione che altera la posizione ma non la forma della figura considerata. F 1 F 2

CONGRUENZA Due figure F 1 e F 2 si dicono congruenti o sovrapponibili quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto. I punti che coincidono si dicono corrispondenti o omologhi. F 1 F 2

CONGRUENZA DIRETTA Se il movimento che porta a sovrapporre la figura F 2 su F 1 è di trascinamento o di scivolamento (non si esce dal piano) allora la congruenza tra F 1 e F 2 si dice DIRETTA. F 1 F 2

CONGRUENZA INVERSA Se il movimento che porta a sovrapporre la figura F 2 su F 1 è di ribaltamento (si esce dal piano) allora la congruenza tra F 1 e F 2 si dice INVERSA. F 1 F 2

FIGURE UGUALI E DISUGUALI Due figure F 1 e F 2 si dicono uguali se rappresentano la stessa figura cioè se sono già sovrapposte inizialmente e coincidono punto per punto. Due figure sono disuguali se non sono né uguali e né congruenti F 1 = F 2 F 1 ≠ F 2

Proprietà della congruenza RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè F 1 SIMMETRICA: se F 1 è congruente a F 2, allora anche F 2 è congruente a F 1, cioè se F 1 F 2, allora F 2 F 1 TRANSITIVA: se F 1 è congruente a F 2, e F 2 è congruente a F 3 allora anche F 1 è congruente a F 3, cioè se F 1 F 2 e F 2 F 3, allora F 1 F 3

PROPOSIZIONI DEDOTTE Tutte le rette sono congruenti fra loro. Tutte le semirette sono congruenti fra loro. Tutti i piani sono congruenti fra loro.

CONFRONTO TRA GRANDEZZE Per confrontare l’altezza di due persone e vedere chi è più alto, facciamo mettere affiancate le due persone in modo che i piedi stiano allo stesso livello, dopo di che confrontiamo l’estremità della testa: è più alto chi ha l’estremità della testa più in alto. Un procedimento analogo si fa per confrontare due segmenti. Confrontare due segmenti significa stabilire se sono congruenti o non lo sono. Nel caso in cui non siano congruenti significa stabilire quale tra i due sia il maggiore. Per confrontare due segmenti AB e CD, facciamo in modo che con un movimento rigido gli estremi A e C coincidano, che coincidano anche le rette AB e CD e

A questo punto possono verificarsi tre situazioni possibili: 1. L’estremo B è esterno al segmento CD, allora diciamo che AB è maggiore di CD, scriviamo AB > CD; A B A==C C D D B 2. L’estremo B coincide con D, (C A, D B), allora diciamo che i due segmenti sono congruenti, scriviamo AB CD ; A B C D

3. L’estremo B è un punto interno al segmento CD, allora diciamo che AB è minore di CD, scriviamo AB < CD. A B A=C C D B D Per il confronto tra grandezze omogenee vale la legge di esclusione che dice: il verificarsi di uno dei tre casi esclude gli altri due.

LEGGE DI TRICOTOMIA Dati sue segmenti AB e CD si avrà: 1. 2. 3. AB CD AB < CD AB > CD

SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro a b a+b

DIFFERENZA DI SEGMENTI Si dice differenza di due segmenti a e b, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, il segmento c che addizionato al secondo da per somma il primo. b a b c a a=c+b

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN SEGMENTO Si definisce multiplo di un segmento a secondo il numero naturale n 2, la somma di n segmenti congruenti ad a. a b = 4 a a è detto sottomultiplo di b secondo n.

ANGOLO Un angolo è formato da ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune Angolo concavo Angolo convesso Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

I punti di un angolo che non appartengono ai lati si dicono interni. Gli altri punti, sempre esclusi i lati, si dicono esterni. Un angolo contiene al suo interno infinite semirette.

ANGOLO PIATTO Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dell’altro ( 180° = π); é un angolo convesso. O b a equivale ad un semipiano

ANGOLI PARTICOLARI: GIRO E NULLO Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo. Esso è dato dall’unione di due angoli piatti e coincide con tutto il piano. Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°) si riduce ad una semiretta; è convesso. o

ANGOLI PARTICOLARI Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto (90° = π/2); è convesso Angolo ACUTO: è minore di 90° Angolo OTTUSO: è maggiore di 90°

Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

ANGOLI ADIACENTI Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno sul prolungamento dell’altro (o che appartengono alla stessa retta o che le rette origine sono coincidenti tra loro). La somma di due angoli adiacenti è un angolo piatto. AôB e BôC = angoli adiacenti AôB + BôC = angolo piatto B C A O

Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto e i restanti lati giacciono su rette origine non coincidenti tra loro. AôB + BôC = AôC somma dei due angoli dati (angolo somma)

CONFRONTARE DUE ANGOLI Significa stabilire se sono congruenti o non lo sono. Per confrontare due angoli di lati a e b e di lati c e d, bisogna operare un movimento rigido che faccia sovrapporre o coincidere i due vertici e un lato (uno dei due lati dell’angolo). A seconda della posizione del secondo lato b del secondo angolo si hanno i seguenti tre casi:

colore verde; colore rosso 1° CASO : a coincide con c b coincide con d 2° CASO : < a coincide con c b inteno 3° CASO: angolo > a coincide con c b esterno angolo

LEGGE DI TRICOTOMIA Dati due angoli e , si avrà: 1. 2. 3. , < , > , si può verificare solo uno dei seguenti casi ( legge di esclusione)

SOMMA DI ANGOLI CONVESSI 1. Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro.

DIFFERENZA DI ANGOLI Si dice differenza di due angoli, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, l’angolo che addizionato al secondo da per somma il primo.

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI Due angoli complementari ad uno stesso angolo sono CONGRUENTI fra loro.

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI Due angoli supplementari ad uno stesso angolo sono CONGRUENTI fra loro.

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

Bisettrice di un angolo Semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti

Figure convesse Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura B A

Figure concave Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che A il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura B

RETTE PERPENDICOLARI Due rette si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli retti.

Asse di un segmento Retta perpendicolare al segmento AB passante per il suo punto medio M 90° A M B

SIMMETRIA ASSIALE Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un asse se A e B sono equidistanti da esso. L’asse si chiama asse di simmetria. 90° A M B

TEOREMA: PROIEZIONE DI UN PUNTO SU UNA RETTA Da un punto appartenente ad una retta o esterno ad essa si può condurre una ed una sola retta perpendicolare a quella data. P r 90° H H = Piede della perpendicolare ad r, condotta dal punto P H = Proiezione ortogonale di P sulla retta r Il segmento P H si chiama Distanza di P dalla retta r.

Distanza di un punto da una retta P 90° H Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH

PROIEZIONE DI UN SEGMENTO Si dice proiezione di un segmento sopra una retta il segmento che ha per estremi le proiezioni sulla retta degli estremi del segmento dato.

Quinto Postulato di Euclide Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data A

Per ogni punto interno alla retta passano infinite rette, ma una e una sola è la perpendicolare alla retta data per ogni suo punto. 90° H Per ogni punto esterno alla retta passano infinite rette, ma una e una sola è la parallela e una sola è la perpendicolare alla retta data per ogni punto esterno ad essa. A 90° H

Poligonale o spezzata aperta (non intrecciata) Insieme di più segmenti consecutivi lato vertici estremi

Poligonale o spezzata chiusa (non intrecciata) Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento che ne congiunge gli estremi

POLIGONO Parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti

Un poligono ha sempre un egual numero di lati e di vertici (angoli). In generale, i lati e gli angoli interni di un poligono si chiamano ELEMENTI. Il segmento che ha per estremi due vertici non consecutivi si chiama diagonale. Si definisce corda ogni segmento che ha per estremi due punti qualunque del contorno del poligono non appartenenti a uno stesso lato. In un poligono le diagonali sono in numero finito, mentre le corde sono infinite.

Un poligono si dice equilatero se ha i lati tutti congruenti tra loro. Un poligono si dice equiangolo se ha gli angoli tutti congruenti tra loro. equilatero equiangolo OSSERVAZIONE: Poligono equiangolo non implica che sia equilatero; POLIGONO EQUILATERO non implica che sia

Angoli interni e esterni Angoli interni L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun vertice di un poligono supplementari

TRIANGOLO Ha sei elementi: tre lati e tre angoli. Ad ogni lato si oppone un angolo e viceversa, cioè ad ogni angolo si oppone un lato. Il triangolo non ha diagonali, ma ha infinite corde.

ANGOLO ESTERNO C A B B - Angoli interni al triangolo: ABC, BCA, CAB - Angoli esterni al triangolo: KBC K

striscia

I Quadrilateri. . . Ha otto elementi: quattro lati e quattro angoli. Ad ogni lato si oppone un lato angolo e ad ogni angolo si oppone un angolo. Il quadrilatero ha due diagonali e ha infinite corde.

Se le strisce hanno altezze diverse… h h h RETTANGOLO

PARALLELOGRAMMA RETTANGOLO PARALLELOGRAMMA

ANALIZZIAMO:

PARALLELOGRAMMA RETTANGOLO 1) lati opposti uguali paralleli 2) angoli opposti uguali Parallelogrammo equiangolo 3) una diagonale divide il parallelogrammo in due 1) lati opposti uguali e paralleli triangoli congruenti 2) 4 angoli retti 4) le diagonali si bisecano scambievolmente 5) gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari 3) 2 diagonali uguali 4) le diagonali NON coincidono con le bisettrici

Se le strisce hanno la stessa altezza… h h h QUADRATO

ROMBO QUADRATO ROMBO

ANALIZZIAMO:

ROMBO Parallelogrammo equilatero 1) 4 lati uguali 2) angoli opposti uguali 3) diagonali diverse, perpendicolari e bisettrici degli angoli ai vertici. QUADRATO Parallelogrammo regolare (equiangolo ed equilatero) 1) 4 lati e 4 angoli uguali 2) diagonali uguali, perpendicolari e bisettrici degli angoli ai vertici.

Trapezi ROMBI Quadrilateri Parallelogrammi RETTANGOL I Quadr.

Se le strisce hanno forme diverse… TRAPEZIO

TRAPEZIO SCALENO TRAPEZIO RETTANGOLO TRAPEZIO ISOSCELE

ANALIZZIAMO:

Trapezio rettangolo Trapezio isoscele Trapezio scaleno

LA PRESENTAZIONE È FINITA, ORA TOCCA A TE, BUON LAVORO

FINE PRESENTAZIONE