GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione

GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometricodescrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi le stesse caratteristiche. Si indaga quindi il rapporto relativo al parallelismo tra piani L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva. Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità. Per approfondimenti consultare il sito http: //www. webalice. it/eliofragassi

GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI PARALLELISMO TRA PIANI Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1997/1998 Da Deiana Maria Paola della classe 3°B dell’ “Istituto d’arte Mazara” di Sulmona per la materia : “Disegno geometrico e architettonico” Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott. ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

PARALLELISMO TRA PIANI INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1) Cominciamo l’analisi iniziando con l’ “INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA ” In questa circostanza, considerando l’intersezione tra le rispettive tracce dei piani, si origina un punto improprio. Ricordando, pertanto, le impostazioni iniziali si può esprimere, come di seguito, la formalizzazione esplicativa Ricordando gli specifici elementi geometricorappresentativi, così come caratterizzati nella tabella A della presentazione introduttiva n° 1, resta stabilito che per definire il parallelismo tra due piani necessita definire il caratteristico rapporto descrittivo, concreto, definito, continuo e costante tra le "tracce" dei piani che, dal punto di vista geometrico, si rappresentano a modo di "rette", come nel disegno a fianco di figura 04

PARALLELISMO TRA PIANI INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (2) t 1 // t 1 T 1 r ; r’ r t 2 // t 2 // T 2 r ; r” Mentre la definizione verbale può essere espressa come nel modo seguente Se le omonime tracce di due piani distinti sono parallele, allora e solo allora, possiamo asserire che tali sono i piani reali Sempre con riferimento alla fig. 04, sviluppando, graficamente, il parallelismo tra le tracce dei piani si ha quanto di seguito. Le tracce dei due piani e intersecandosi generano le tracce improprie della retta r (T 1 r ; T 2 r)

PARALLELISMO TRA PIANI INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (3) Poiché le due tracce T 1 r e T 2 r della retta r sono improprie la retta r, intersezione tra e , dovendo passare per esse sarà una retta anch'essa impropria dimostrando e verificando la soluzione descrittiva che esprime il parallelismo tra due piani nel modo seguente: r // Stante, quindi, questo rapporto definito, continuo e costante tra gli stessi elementi rappresentativi di e di , si può asserire che i due piani, nel reale, sono paralleli enunciando la definizione geometrico-descrittiva che ampliata con il concetto di retta impropria recita come di seguito: Se le intersezioni delle omonime tracce di due piani distinti determinano le tracce di una retta impropria allora, e solo allora, possiamo asserire che i due piani reali sono paralleli.

PARALLELISMO TRA PIANI INDAGINE APPLICATIVA O IMPOSITIVA (1) Se la condizione geometrica invece di essere ricercata, deve essere imposta o applicata a due o più piani, allora è necessario operare, graficamente, in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso al punto precedente. Di conseguenza, volendo costruire due piani paralleli è necessario imporre, durante l'elaborazione grafica, che le omonime tracce dei piani siano tali; pertanto avremmo la seguente definizione. Perché due piani siano paralleli è necessario che tali siano le rispettive omonime tracce Ampliando l'operazione ed applicando il concetto di punto improprio è necessario fare sì che l'intersezione delle omonime tracce dei piani determinino tracce improprie di una retta, anch'essa, impropria

PARALLELISMO TRA PIANI INDAGINE APPLICATIVA O IMPOSITIVA (2) Conseguentemente si può definire la seguente sintetica formalizzazione insiemistico-descrittiva impositiva ed applicativa t 1 // T 1 r r’ r t 2 T 2 r r’’ Da questa ne discende la definizione insiemistico-descrittiva che si esprime come di seguito. Perché due piani siano paralleli è necessario che la relativa intersezione generi una retta impropria che può essere sintetizzata dalla seguente formalizzazione // r

PARALLELISMO TRA PIANI QUADRO SINTETICO DELLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA DUE PIANI Piano 1 a Definizione fisica dell'elemento rapprsentativo Definizione geometrica elemento rapprsentativo Nomenclatura dell'elemento rappresentativo Didascalia elemento Elemento geometrico CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA DUE PIANI Definizione grafica degli elementi geometrici Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra piani Formalizzazione esplicativa t 1 traccia Retta Reale t 2 2 a traccia Retta Reale t 1 1 a traccia t 2 2 a traccia Formalizzazione applicativa Retta Reale

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(1) Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto esplicativo del parallelismo tra piani diversi per tipologia e variamente collocati nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti seguenti t 1 T 1 r r t 2 T 2 r Risultato Dato T 2 r T 1 r T 2 r Se estendiamo le prime tracce dei piani e si determina la posizione impropria della prima traccia T 1 r in quella direzione così come si determina la seconda Spiegazione traccia impropria T 2 r estendendo le seconde tracce dei due piani. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani determinano tracce improprie della retta intersezione si deduce che i piani sono paralleli.

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(2) Dato Risultato T 1 r r’ r” T 2 r Estendendo la t 1 fino ad intersecare la t 1 si ottiene la traccia reale della retta d’intersezione T 1 r. Allo stesso modo, estendendo t 2 fino ad intersecare la t 2 si ottiene la traccia reale T 2 r della retta Spiegazione d’intersezione. Avendo individuato le tracce reali della retta r, possiamo graficizzare a completamento della rappresentazione della retta reale d’intersezione anche le due proiezioni r’ e r”. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani generano tracce di una retta reale, si deduce che i due piani non sono paralleli.

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(3) Dato Risultato T 2 r T 1 r T 2 r Spiegazione T 1 r La particolare posizione dei due piani proiettanti non deve ingannarci. Infatti le tracce dei piani oltre ad essere parallele sono allineate. Pertanto estendendo le prime tracce dei piani e otteniamo due rette che, oltre ad essere parallele sono anche coincidenti determinando, su questa direzione, la posizione impropria della traccia T 1 r. La medesima cosa si ottiene estendendo le seconde tracce dei piani determinando, su questa direzione, la posizione impropria della traccia T 2 r. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani determinano tracce improprie della retta intersezione si deduce che i piani sono paralleli.

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(4) Dato Risultato T 1 r r’ T 2 r r” Anche in questo caso è bene non farsi ingannare dal parallelismo grafico ma è necessario controllare l’aspetto grafico con la formalizzazione teorica. Il piano proiettante in 2° proiezione nel II D interseca con la t 1 definendo la traccia reale T 1 r. Estendendo, poi, la t 2 e la t 2 del piano proiettante in Spiegazione prima proiezione nel II D si determina la posizione della traccia reale T 2 r. Completando la rappresentazione della retta r con le proiezioni r’ ed r” si completa la rappresentazione della retta r ottenuta come intersezione dei due piani. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani generano tracce di una retta reale, si deduce che i due piani non sono paralleli.

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(1) Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto applicativo del parallelismo tra piani diversi per tipologia e variamente collocati nello spazio dei diedri Dato Data la seguente formalizzazione applicativa risolvere i quesiti a lato T 1 r t 1 T 1 r // t 2 T 2 r Risultato T 1 r t 1 T 2 r Spiegazione t 2 t 1 T 2 r t 2 Definite le tracce del piano (t 1 ; t 2 ) rispettando la collocazione spaziale e grafica del terzo diedro, si costruiscono le due tracce del piano (t 1 ; t 2 ) in modo tale che le intersezioni di queste con le omonime del piano determinino e T della retta r d’intersezione tra e . le tracce improprie T 1 r 2 r

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(2) Dato Risultato T 1 x t 2 T 2 a x’ T 2 b a” º b” a’ b’ t 2 T 1 b Spiegazione T 1 a x” T 2 x Si definiscono, anzitutto, gli elementi rappresentativi delle due rette aÌ(A, B) e bÌ(B, C) per determinare le rispettive proiezioni e tracce. Mediante le tracce di queste due rette si determina il piano Ì(A, B, C) che si caratterizza come un piano orizzontale perpendicolare a p 2+. Conducendo, poi, per il punto X(X’; X”) la retta (x//a) si determinano le tracce T 1 x e T 2 x per le quali condurre //. Poiché la traccia T 1 x è impropria e la traccia T 2 x è reale, il piano passante per essa sarà un piano orizzontale perpendicolare a p 2 -. Pertanto il risultato sarà costituito da due piani orizzontali //.

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(3) Dato Risultato t 2 T 2 s s” T 2 r r” s’ r’ T 1 r T 1 s t 1 Dopo aver costruito, a piacere, una retta r appartenente al piano dato , applicando i concetti di appartenenza tra punto e retta e di parallelismo tra rette, si determina la retta s contenente il punto A Spiegazione ma anche parallela alla retta r appartenente al piano . Completata la ricerca delle tracce della retta s(T 1 s; T 2 s) per queste ultime si conduce un piano che sarà //. Il piano contenente il punto A , come il piano dato , sarà un piano generico con le tracce allineate.

PARALLELISMO TRA PIANI ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(4) Dato t 2 Risultato t 2 x” T 2 x x’ t 1 Spiegazione t 1 T 1 x Definito il piano (t 1 ; t 2 ) passante per le rette r ed s; applicando i concetti di appartenenza tra punto e retta e di parallelismo tra rette, definiamo la retta x(x’, x”) in modo tale che contenga il punto X (X’, X”) e sia parallela alle rette assegnate r ed s. Completata la ricerca delle tracce della retta x (T 1 x, T 2 x) per esse si conducono la tracce del piano //. è il punto di una traccia impropria, dovendo associare al Siccome T 1 x concetto di punto improprio il concetto di parallelismo, è necessario cha la traccia t 1 sia parallela alla proiezione x’ che contiene la traccia T 1 x.

PARALLELISMO TRA PIANI PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (1) Esercizio Risoluzione t 2 T 2 r T 2 s s” r” s’ r’ T 1 s T 1 r t 1 t 2 T 2 b T 2 a a” T 2 x b” x” a’ T 1 a t 1 t 2 x’ b’ T 1 b T 1 x t 1

PARALLELISMO TRA PIANI PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (2) Risoluzione Esercizio T 2 s s” T 2 r s’ r’ T 1 r T 1 s t 1 T 1 y T 2 r r” y’ T 2 y t 1 y” T 2 x t 2 r” º t 1 x” t 1 ºt 1 r’ x’ T 1 r T 1 x

PARALLELISMO TRA PIANI PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (3) Risoluzione Esercizio t 2 T 2 r r’ T 1 r r” s” T 2 s s’ T 1 s t 1 T 2 s t 2 s” T 2 r r” r’ T 1 r s’ T 1 s t 1

PARALLELISMO TRA PIANI PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (4) Risoluzione Esercizio T 2 a a” t 2 b” T 2 b T 1 r s” T 2 s T 1 s s’ t 1 b’ a’ T 1 a T 1 b t 2 r’ r” T 2 r

PARALLELISMO TRA PIANI TEMI SCRITTI DA VOLGERE IN FORMA DI ELABORATI GRAFICI 1. Dati X(X'=4; X"=6) ed Y(Y'=2; Y"=3) definire un piano X quindi costruire e rappresentare un piano ( Y)// 2. Dati i punti A(A'=1; A"=6), B(B'=2; B"=4), C(C'=6; C"=1) definire il piano (A, B) quindi per il punto C condurre il piano // 3. Dati la retta r(T 1 r=3; T 2 r=6) ed il punto B(B'=1; B"=1) costruire il piano (r, B), quindi per X(X'=3; X"=6) definire e rappresentare il piano //. 4. Dati il punto X(X'=2; X"=-3) e due rette (r, s) X, definire e rappresentare (r, s), quindi per il punto Y(Y'=-2; Y"=3) costruire e rappresentare il piano ( Y)//. 1. Dati il piano ( 1+; 2+ ) ed il punto A(A'=3; A"=3) condurre per questo punto un piano //. 2. Dati il piano ( 1 -; 2+ ) ed il punto B(B'=1; B"=-5) condurre per questo punto un piano //. 3. Dati il piano ( 1+; 2+ ) ed il punto C(C'=-3; C"=3) condurre per questo punto un piano //. 4. Dati il piano ( 1+; 2+ //lt) ed i punti X(X'=-3; X"=6), Y(y'=6; Y"=-3) costruire e definire per essi due piani e distinti tali che ( X)// e ( Y)//. 1. Definire e rappresentare i piani (// 1+; 2+), (// 1+; 2+) in modo tale che sia //. 2. Definire e rappresentare i piani e aventi le seguenti caratteristiche ( 1+; 2+)// ( 1+; 2+). 3. Definire e rappresentare due piani proiettanti in seconda proiezione, paralleli tra loro e collocati nel II D. 4. Definire e rappresentare due piani proiettanti in prima proiezione, paralleli tra loro e collocati nel IV D.

PARALLELISMO TRA PIANI GRIGLIA DI VALUTAZIONE DELLE ELABORAZIONI GRAFICHE Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Test Eserc. Elementi della valutazione Conoscenze teoriche 1 2 (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0, 00 0, 50 1, 00 Capacità logiche 0, 00 0, 50 1, 00 (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Conoscenze teoriche Capacità logiche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche Conoscenze teoriche 4 Capacità logiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie, ecc. ) (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie, ecc. ) PUNTEGGIO TOTALE Punti 0, 00 0, 50 1, 00 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie, ecc. ) Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Competenze grafiche 3 Valutazioni 0, 00 0, 50 1, 00 2, 50 0, 00 0, 25 0, 50 0, 00 0, 50 1, 00 2, 50 0, 00 0, 25 0, 50 10, 00

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