Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione

Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questo learning object introduce e presenta una delle leggi fondamentali della Geometria descrittiva: l’Appartenenza e/o contenenza o inclusione Mediante questa legge si studiano e definiscono i legami geometrici (presenti o non) tra gli enti fondamentali della rappresentazione descrittiva di un solido, di un oggetto o di un progetto di qualsiasi natura descritto mediante la doppia proiezione ortogonale di Monge. Con questa legge, pur essendo la rappresentazione grafica bidimensionale, si è in grado di imporre e/o verificare l’aspetto della tridimensionalità di un solido, di un oggetto, di un progetto inteso come attualizzazione del futuro, prima che esso si concretizzi. Pertanto è una legge geometrica di primaria importanza per tutti quelli che operano in senso progettuale e manipolano mentalmente gli enti geometrici.

Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE LEGGI GEOMETRICHE LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a. s. 1992/93 da Pasquale Mariani della classe 5°A dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva” Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott. ssa Gabriella Mostacci Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (1) Stabilire condizioni, in generale, vuol dire definire e fissare alcune norme da rispettare e/o imporre in un dato campo dell’operare. Le condizioni possono essere di varia natura ed interessare vari e diversi aspetti del nostro fare. Ad esempio si dirà: Lo studente sarà promosso a condizione che si applichi nello studio. Il voto sarà sufficiente a condizione che il compito non presenti errori. Il regalo ci sarà a condizione che tu sia promosso. ecc. Le condizioni geometriche, in particolare definiscono e rappresentano leggi in base alle quali verificare, nella decodifica grafica degli elaborati, la presenza o meno di determinati legami geometrico-descrittivi, oppure impostare la fase elaborativa di una rappresentazione grafica in modo tale da vincolare gli elementi geometrici della stessa al rispetto delle specifiche leggi descrittive codificate.

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (2) Pertanto le condizioni geometriche possono avere natura e scopi duplici, possono essere APPLICATIVE Quindi IMPOSITIVE Oppure DI VERIFICA Quindi ESPLICATIVE E/O DEDUTTIVE Sono applicative quando nella risoluzione dei problemi descrittivi, la condizione viene imposta come ad esempio: Sono invece di verifica quando dalla lettura grafica si riscontra l'esplicitazione di particolari legami grafico-geometrico-descrittivi tra gli elementi geometrici, come ad esempio: • definire due rette parallele • se le proiezioni di due rette sono parallele tra loro, vuol dire che le rette reali sono tali, • se la proiezione di una retta si presenta ortogonale alle tracce di un piano, vuol significare l'esistenza di un rapporto di perpendicolarità tra i due elementi geometrici, • se per le proiezioni di un punto passano le proiezioni di due rette distinte, deduciamo di essere in presenza di due rette incidenti, • ecc. tra loro, • definire un punto appartenente ad una retta, • definire due rette perpendicolari, • ecc.

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (3) Queste leggi, essendo riferite agli elementi geometrici fondamentali: retta, piano, punto, possono essere, tranquillamente, applicate o ricercate, per estensione dei concetti, sia alle figure piane che alle forme solide comunque posizionate nello spazio e quindi nei diedri rappresentativi di questo. Le condizioni geometriche sono tre, ed in particolare: 1 Condizioni di appartenenza il cui simbolo è: , e le biunivoche leggi della contenenza o inclusione il cui simbolo è: . 2 Condizioni di parallelismo, avente come simbolo . 3 Condizioni di perpendicolarità o ortogonalità, il cui simbolo è: .

LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE (4) Le condizioni di appartenenza e/o contenenza o inclusione stabiliscono e/o verificano un legame fisico reciproco tra due e/o più elementi geometrici, per cui, se un elemento appartiene all’altro, biunivocamente vuol dire che questo secondo lo contiene: A r Û r A viceversa Se un elemento è contenuto dall’altro, vuol significare, secondo il principio biunivoco, che questo secondo appartiene al primo; cioè in modo sintetico si ha: r P Û P r

L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (5) Poiché le leggi dell’appartenenza e della contenenza vanno riferite agli elementi geometricorappresentativi degli enti fondamentali, ricordiamo, anzitutto, la seguente Tabella –A- riassuntiva degli elementi fondamentali e delle rispettive caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi rappresentativi e descrittivi Tabella –A - Quadro sinottico degli elementi rappresentativi degli enti fondamentali Punto, Retta, Piano Ente o elemento geometrico Punto Retta Piano Didascalia ente P r Didascalia elemento rappresentativo P’ Nomenclatura elemento rappresentativo 1 a proiezione o 1 a immagine Caratterizzazione geometrica elemento rappresentativo Caratterizzazione fisica elemento rappresentativo Punto Virtuale P’’ 2 a proiezione o 2 a immagine Punto Virtuale T 1 r 1 a traccia Punto Reale T 2 r 2 a traccia Punto Reale r’ 1 a proiezione o 1 a immagine Retta Virtuale r’’ 2 a proiezione o 2 a immagine Retta Virtuale t 1 1 a traccia Retta Reale t 2 2 a traccia Retta Reale

L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (6) Dati gli enti geometrici di cui sopra ed i relativi specifici elementi geometricorappresentativi, come sopra caratterizzati, è necessario stabilire le leggi geometriche dell'appartenenza e contenenza o inclusione tra le seguenti combinazioni elementari. Punto e retta Retta e piano Punto e piano PÎ r rÌ P rÎ a a Ì r PÎ Ì P Il punto P appartiene alla retta r se e solo se la retta r contiene il punto P La retta r appartiene al piano se e solo se il piano contiene la retta r Il punto P appartiene al piano se e solo se il piano contiene il punto P Reciprocamente Se il punto P appartiene alla retta r allora, biunivocamente, la retta r contiene il punto P Se la retta r appartiene al piano allora, biunivocamente, il piano contiene la retta r Se il punto P appartiene al piano allora, biunivocamente, il piano contiene il punto P

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