GEOMETRIA DE POSIO Conceitos primitivos O ponto a

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Conceitos primitivos • O ponto, a reta e o plano • O conjunto de todos os são conceitos primitivos, ou seja, são aceitos em definição; • O ponto é representado por uma letra maiúscula latina; • A reta por uma letra minúscula latina; • O plano por uma letra minúscula grega. pontos, retas e planos é chamado espaço e é esse o objetos de estudo da geometria espacial.

Postulados Um postulado é uma propriedade primitiva que é aceita sem demonstração Postulados da Existência I. II. Existem pontos, retas e planos. Em cada reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. III. Em cada plano, bem como fora dele, existem infinitas retas e, consequentemente, infinitos pontos.

Postulados da Determinação I. Dois pontos distintos determinam uma única reta. II. Três pontos não colineares determinam um plano.

Postulado da Inclusão • Se dois pontos distintos Postulados da Separação I. Uma reta r contida num plano α divide esse plano em duas regiões chamadas semiplanos. II. Um plano α divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços. de uma reta pertencem a um plano, então a reta esta contida nesse plano.

Definições Retas Concorrentes Retas Reversas • Duas retas são ditas concorrentes se, e somente se, elas possuírem um único ponto comum. retas são ditas reversa se, e somente se, não existem um plano que as contenha.

Retas Paralelas • Duas retas são ditas paralelas se, e somente se forem coincidentes (ou seja, todos os ponto da primeira reta também são pontos da segunda reta) ou então coplanares (que estão contidas em um mesmo plano) e não possuem ponto comum.

Posições relativas entre duas retas • Dadas duas retas, r e s, de um espaço E, de acordo com as definições anteriores, elas podem ser: Concorrentes. II. Paralelas Coincidentes. III. Paralelas Distintas. IV. Reversas. I.

Determinação de um plano I. Determina-se um plano por uma reta e um ponto fora dela. II. Duas retas paralelas não coincidentes determinam um plano. III. Duas retas concorrentes determinam um plano.

Posições relativas entre reta e plano Dada uma reta r e um plano α, em relação a α. I. A reta r pode estar contida em α. Então, todos os pontos de r pertencem a α. II. A reta r pode ser secante a α. Então, r possui um único ponto comum com α. III. A reta r pode ser paralela a α. Então, r e α não possuem pontos em comum.

Posições relativas entre dois planos Dados dois planos, α e β, num espaço E, temos: I. α e β são paralelos coincidentes. Então, todos os pontos de α são também ponto de β. II. α e β são paralelos distintos. Então, α e β não possuem pontos comuns.

Paralelismo O paralelismo de duas ou mais retas é garantido por alguns postulados e teoremas. (Os teoremas podem ser demonstrados. ) Postulados de Euclides • Por um ponto existe uma única reta paralela a uma reta dada. Transitividade do paralelismo • Se duas retas são paralelas a uma terceira, então essas três retas são paralelas entre si.

Teoremas I. Sendo r uma reta, não contida num plano α, paralela a uma reta s, contida em α, então r é paralela a α. II. Se um plano α contem duas retas concorrentes paralelas a um plano β, então α e β são paralelos.

Propriedade • Se uma reta r é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à intersecção desses dois planos.

Perpendicularidade • Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto onde ela intercepta o plano. Esse ponto é denominado pé da perpendicular.

Teorema fundamental Planos perpendiculares • Se uma reta é • Dois planos, α e β, são perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. perpendiculares se, e somente se, existe uma reta r contida em um deles que é perpendicular ao outro.

Projeções ortogonais I. Projeção ortogonal de um ponto P a um plano α é a intersecção do plano α com a reta r que passa por P e é perpendicular a α. II. Projeção ortogonal de uma figura geométrica em um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre o plano.

ngulo entre uma reta e um plano •

ngulo entre dois planos secantes • Sejam dois planos secantes, α e β, cuja intersecção é a reta r. Seja γ um plano qualquer, perpendicular a r, cuja intersecção com α é a seta s e a intersecção com β é a reta t. • Chama-se ângulos entre planos α e β qualquer um dos ângulos formados pelas retas s e t.

Distâncias Distância entre dois pontos • Distância entre um ponto A e uma reta r, com A não contido em r • Dados um ponto A e uma reta r, com A não contido em r, a distancia (d. AB) entre A e r é a distancia de A até o pé da perpendicular conduzida de A até r.

Distância entre duas retas paralelas •

Distancia entre um ponto P e um plano alfa •

Distância entre dois planos paralelos • Dados α e β dois planos paralelos e A um ponto de α (ou de β), a distância entre os planos α e β (dαβ ) é a distância do ponto A de α (ou de β ) ao plano β (ou α).

Distância entre uma reta e um plano, sendo uma reta paralela ao plano • Dada um reta r, paralela a um plano α, a distância entre a reta e o plano (drα) é a distância de um ponto qualquer de r ao plano α.

Distância entre duas retas reversas • Dadas duas retas reversas r e s, a distância (drs) entre elas é a distância de um ponto qualquer de r ao plano α que contém s e é paralelo a r.

Exercício