Geometria Analtica Prof Paulo Salgado psgmncin ufpe br
Geometria Analítica Prof. Paulo Salgado psgmn@cin. ufpe. br 1
Sumário • O plano – Sistema de coordenadas – Distância entre dois pontos – Vetores no plano – Operações com vetores 2
O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py x’ Considere o plano definido pelo par de retas perpendiculares x e y; OA = OA’ = unidade; A’ P = ponto qualquer do plano; 1 1 O A Px x Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis. x’ e y’ interceptam x e y nos pontos Px e Py. 3
O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py A’ Se a e b são os valores nominais x’ de Px e Py em x e y, então eles determinam o ponto P. Ou seja, conhecendo a e b, podemos determinar Px e Py e deles P. a e b são chamados, respectivamente, de abscissa e ordenada do ponto P e constituem as coordenadas de P: P(a, b) 1 1 O A Px x 4
O Plano Sistema de Coordenadas Simplificando. . y P(a, b) b O a x 5
O Plano Distância entre dois Pontos • Sejam P(x 1, y 1) e Q(x 2, y 2) dois pontos do plano • Podemos calcular a distância entre P e Q usando. . . – triângulos de forma simples. . y P(x 1, y 1) y 1 y 2 Plano XY Q(x 2, y 2) x 2 x 1 x 6
O Plano Distância entre dois Pontos y P y 1 |y 1 – y 2| Q y 2 |x 1 – x 2| x 2 S Plano XY Distância entre P e Q x 1 x • Na Figura, montamos o triângulo PSQ • A distância entre P e Q nada mais é do que a hipotenusa desse triângulo: 7
O Plano Vetores no Plano • Cada par ordenado (x, y) corresponde a um ponto no plano • Se (x, y) (0, 0), além do ponto, podemos também fazer corresponder ao par (x, y) uma seta: P(x, y) 8
O Plano Vetores no Plano • Quando usamos uma seta para representar o par (x, y), podemos associar a este par ordenado direção, sentido e módulo – A direção e o sentido do par (x, y) são, respectivamente, a direção e o sentido da seta que o representa – O módulo é o tamanho dessa seta – Um objeto com direção, sentido e módulo é chamado de vetor. 9
O Plano Vetores no Plano • O módulo do par (x, y) é o número • que é a distância da origem ao ponto (x, y) § Considere x 2 = y 2 = 0 na equação da distância dada anteriormente 10
O Plano Vetores no Plano • Exemplo: Considere o ponto v = (3, 4) § A direção é a direção da reta definida pelos pontos O(0, 0) e P(3, 4) § O sentido de v é de O para P § O módulo de v é o comprimento da seta OP: • OBS: O = (0, 0), ou 0, é chamado de vetor nulo, não sendo possível associar-lhe os conceitos de direção e sentido 11
O Plano Vetores no Plano • Podemos ter um vetor que comece de qualquer posição, não necessariamente, da origem y B Vetor AB = (x 2, y 2)-(x 1, y 1) = (x 2 -x 1, y 2 -y 1) A Vetor AB = Vetor OC y 2 - y 1 O C x 2 - x 1 Vetor OC x 12
O Plano Operações com Vetores • Sejam u = (x 1, y 1), v = (x 2, y 2) e k R: § Adição de vetores: § u + v = (x 1 + x 2, y 1 + y 2) • Multiplicação de um vetor por um escalar: • k. u = (k. x 1, k. y 1) 13
O Plano Operações com Vetores • Propriedades da Adição de Vetores § u+v=v+u § u + (v + w) = (u + v) + w § u+0=u • 0 = Vetor Nulo § Considerando u, v e w como vetores quaisquer 14
O Plano Operações com Vetores • Propriedades da Multiplicação de um Vetor por um Escalar § § k. (u + v) = k. u + k. v (k 1 + k 2). u = k 1. u + k 2. u k 1. (k 2. u) = (k 1. k 2). u 1. u = u e 0. u = 0 vetor nulo número zero 15
O Plano Operações com Vetores • O vetor (-1). u é indicado por –u e é chamado o oposto de u y u x -u 16
O Plano Operações com Vetores • O vetor k. u tem a mesma direção de u § u e k. u são retas paralelas § Os sentidos dependem do sinal de k • Se k < 0, o sentido se inverte e k. u é o oposto de u § Os módulos de u e k. u são relacionados • ||k. u|| = |k|. ||u|| § || || = módulo do vetor § | | = módulo do escalar 17
O Plano Operações com Vetores • Representação gráfica da soma de dois vetores y B A seta que representa u + v é uma das diagonais do paralelogramo cujos lados são as setas que representam u e v. A u Dados os vetores A(2, 1) e B(3, 2), faça o gráfico da soma deles. u+v C v 0 x 18
O Plano Operações com Vetores • Sejam u e v vetores e k um escalar: § § k. u = 0 k = 0 ou u = 0 ||u|| = 0 u = 0 ||u + v|| ||u|| + ||v|| • Desigualdade triangular v u u+v 19
O Plano Operações com Vetores • Exemplo 1: Vetor unitário § Vetor cujo módulo é igual a 1 § Exs: (√ 2/2, √ 2/2), (1, 0), (0, 1), etc § Para obter um vetor unitário, basta tomar um vetor qualquer não nulo e multiplicá-lo pelo inverso de seu módulo § Observe que isso não afeta o sentido e a direção do vetor! Apenas seu módulo! 20
O Plano Operações com Vetores • Exemplo 2 (2. 4): Determine x para que se tenha AB = CD, sendo A(x, 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2) e D(2 x, x + 6) • Solução: AB = (4 – x, x + 3 – 1) = (4 – x, x + 2) CD = (2 x – x, x + 6 – (x + 2)) = (x, 4) Logo: (4 – x, x + 2) = (x, 4) 4–x=x x=2 x+2=4 x=2 As duas soluções têm que ser iguais ou não há solução possível 21
O Plano Operações com Vetores • Exemplo 3 (2. 5): Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3, -7), sabendo que sua origem é o ponto A(2, 1) • Solução: Sem considerar direção e sentido, o que temos é: B(x, y) v(3, -7) A(2, 1) Logo: x– 2=3 x=5 y – 1 = -7 y = -6 22
O Plano Operações com Vetores • Exemplo 4 (2. 11(a)): Dado dois vetores u = (2, -1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que 3(u + w) – 2(v – w) = 0 • Solução: 3(u + w) – 2(v – w) = 0 3((2, -1) + (x, y)) – 2((1, 3) – (x, y)) = 0 3(2 + x, y – 1) – 2(1 – x, 3 – y) = 0 (6 + 3 x, 3 y – 3) – (2 – 2 x, 6 – 2 y) = 0 6 + 3 x – 2 + 2 x = 0 3 y – 3 – 6 + 2 y = 0 Logo: x = -4/5, y = 9/5 w = (-4/5, 9/5) 23
O Plano Operações com Vetores • Exemplo 5 (2. 15): Encontre k 1 e k 2, escalares, tais que: v = k 1. u + k 2. w, sendo v = (2, 3), u = (-1, 2), w = (1, 2) • Solução: (2, 3) = k 1. (-1, 2) + k 2. (1, 2) (2, 3) = (-k 1 + k 2, 2. k 1 + 2. k 2) -k 1 + k 2 = 2 2. k 1 + 2. k 2 = 3 Logo: k 1 = -1/4 e k 2 = 7/4 24
O Plano Operações com Vetores • Exemplo 6 (2. 22): Dados A(1, 3) e B(2, 2), determine x para que a reta definida pelo ponto médio AB e o ponto X(x, 0) seja paralela ao vetor v = (1, 2) • Solução: y Pmédio = AB/2 = ((1+2)/2, (3+2)/2) = (3/2, 5/2) A Pm(a, –b) XP = (xp, yp)-(xx, yx) = (3/2, 5/2) (x, 0) B XP = ((3/2)-x, 5/2) v Se XP é paralelo ao vetor v = (1, 2), então (1, 2) = k((3/2)-x, 5/2) 5 k/2 = 2 => k = 4/5 0) logo k((3/2)-x = 1 => xx = 1/4 (1, 2) = (k((3/2)-x), 5 k/2), 0 X(x, 25
Hoje vimos. . . • O plano – Sistema de coordenadas – Distância entre dois pontos – Vetores no plano – Operações com vetores 26
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