Geometria analtica no plano Exerccios do Caderno de

Geometria analítica no plano Exercícios do Caderno de Apoio

Os exercícios seguintes são propostas dos autores do programa de Matemática A que constam no Caderno de Apoio ao 10. º Ano. Os exercícios que se encontram assinalados com um (*) ou dois (**) asteriscos correspondem a desempenhos progressivamente mais avançados (de carácter opcional).

Questão 1 Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas A(1, 1), B(4, 6) e C(4, 1). 1. 1 Determine as coordenadas do ponto médio D do segmento de reta [AC]. 1. 2 Considere a reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto D e a respetiva interseção M com o segmento de reta [AB]. Justifique, utilizando o Teorema de Tales, que M é o ponto médio de [AB] e indique a abcissa de M. 1. 3 Calcule a ordenada de M. Ver respostas.

Resolução 1. 1 Como os pontos A e C têm a mesma ordenada, . Logo, 1. 2 Como os pontos B e C têm a mesma ordenada, conclui-se que a reta BC é paralela ao eixo Oy. Por construção, a reta MD também é paralela ao eixo Oy, sendo, portanto, paralela à reta BC. Assim, uma vez que as retas AC e AB são transversais e intersetam as retas BC e MD, paralelas, sabe-se, pelo Teorema de Tales que:

Resolução Logo, o ponto M é o ponto médio de [AB]. Como M pertence à reta paralela ao eixo Oy que contém o ponto D, a abcissa de M é igual à abcissa de D. Logo, a abcissa de M é 5/2. 1. 3 Pode reproduzir-se um raciocínio idêntico ao realizado na alínea anterior, considerando um ponto E, ponto médio de [BC], verificando-se que o ponto M pertence à reta paralela ao eixo Ox que contém o ponto E. Assim, a ordenada de M é igual à ordenada de E: .

Questão 2 Considere, num plano munido de um referencial ortonormado e com c > 0, a elipse de focos F 1(–c, 0) e F 2(c, 0) e de eixo maior 2 a (a > c > 0). Seja P o ponto de interseção da elipse com o semieixo positivo das ordenadas. 2. 1 Justifique Ver resposta. 2. 2 Indique, justificando, a medida comum de 2. 3 Conclua que e Ver respostas.

Resolução 2. 1 Como F 1(–c, 0) e F 2(c, 0), a reta de equação x = 0 é a mediatriz do segmento [F 1 F 2]: a reta é perpendicular ao segmento e contém o seu ponto médio — origem do referencial. Assim, como o ponto P pertence à reta de equação x = 0, conclui-se que o ponto P é equidistante de F 1 e de F 2. Logo,

Resolução 2. 2 Por definição de elipse, sabe-se que Logo, como tem-se que: 2. 3 Utilizemos o Teorema de Pitágoras: Portanto, como é uma medida positiva,

Questão 3 Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma circunferência de raio r > 0 e de centro C(a, b). Considere ainda um ponto P(x, y) do plano. 3. 1 Exprima a medida da distância em função de a, b, x e y. 3. 2 Justifique P pertence à parte interna da circunferência quando, e apenas quando, 3. 3 Justifique o círculo de centro C(a, b) e raio r se define pela condição Ver respostas.

Resolução 3. 1 3. 2 Um ponto P(x, y) pertence à parte interna da circunferência se, e só se, Portanto, 3. 3 Seja P(x, y) um ponto pertencente ao círculo de centro C(a, b) e raio r > 0. Então, Logo,