Geometria Analtica e lgebra Linear 10292020 Profa Dra

Geometria Analítica e Álgebra Linear 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 1

Vetores no Plano e no Espaço ØMuitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do sentido. ØEstas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 2

Na Figura 2. 1 temos 4 segmentos orientados, com origem em pontos diferentes, que representam o mesmo vetor. São considerados como vetores iguais, pois possuem a • mesma direção Figura 2. 1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor 10/29/2020 • mesmo sentido • mesmo comprimento Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 3

Representação Geometricamente dos Vetores ØOs vetores são representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espaço. ØA direção e o sentido do segmento orientado identifica a direção e o sentido do vetor. ØO comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vetor. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 4

Øponto final ou extremidade : A ponta da seta do segmento orientado do vetor. Øponto inicial ou origem: do vetor e o outro ponto extremo é chamado do vetor. Se o ponto inicial de um vetor V é A e o ponto final é B, então escrevemos V = 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 5

Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br V W + + W Figura: V + W = W + V V A soma, V + W, de dois vetores V e W é determinada da seguinte forma: ü tome um segmento orientado que representa V; ütome um segmento orientado que representa W, com origem na extremidade de V; üo vetor V + W é representado pelo segmento orientado que vai da origem de V até a extremidade de W. 6

Ø Deduzimos que a soma de vetores é comutativa, para quaisquer vetores V e W, ou seja: V + W = W + V. Ø Observamos também que a soma V + W está na diagonal do paralelogramo determinado por V e W, quando estão representados com a mesma origem. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 7

Figura: V + (W + U) = (V + W) + V V + W W + U + V ) W U) + V ( + W ( V + Deduzimos que a soma de vetores é associativa, para quaisquer vetores V, W e U, ou seja, V + (W + U) = (V + W) + U. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 8

ØVetor Nulo: vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade, denotado por 0. Segue então, que V + 0 = 0 + V = V, para todo vetor V. ØVetor Simétrico: é o vetor que tem mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário. Denotamos o simétrico de V, -V. Segue então, que V + (- V) = 0. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 9

Figura: A diferença V - W ØA diferença V menos W, por V - W = V+ (- W). ØDaí temos: W + (V - W) = (V - W) + W = V + (- W + W) = V + 0 = V. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 10

ØA multiplicação de um vetor V por um escalar , V, é determinada pelo vetor caracterizado por: • tem comprimento | | vezes o comprimento de V; • a direção é a mesma de V, portanto são paralelos; • tem o mesmo sentido de V, se > 0 e • tem o sentido contrário ao de V, se < 0; • é o vetor nulo, se = 0 ou V = 0. Figura: Multiplicaçãode vetor por escalar ØSe W = V, dizemos que W é um múltiplo escalar de V. ØDois vetores não nulos são paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é um múltiplo escalar do outro. Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez 10/29/2020 E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 11

Vetores no Plano. Sistema de Coordenadas Retangulares: Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v 1, v 2) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem (0, 0). Figura: As componentes do vetor V no plano 10/29/2020 Figura: As coordenadas de P são iguais as componentes de Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 12

ØA soma de dois vetores V = (v 1, v 2) e W = (w 1, w 2) é dada por: Figura: A soma de dois vetores no plano 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 13

ØA multiplicação de um vetor V = (v 1, v 2) por um escalar é dada por Figura: A multiplicação de vetor por escalar no plano 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 14

Vetores no Espaço • Escolhemos um ponto como origem O. Figura: As coordenadas de um ponto no espaço • Como eixos coordenados, três retas orientadas, passando pela origem, perpendiculares entre si. • Estes serão os eixos x, y e z. • O eixo z é o eixo vertical. Os eixos x e y são horizontais. • Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado. • Os três planos coordenados são: xy, yz e xz. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 15

A cada ponto P no espaço associamos Figura: As coordenadas de um um terno de números (x, y, z), chamado ponto no espaço de coordenadas do ponto P como se segue: z • passe três planos por P paralelos aos planos coordenados; • a interseção do plano paralelo ao plano P = (x, y, z) xy, passando por P, com o eixo z determina a coordenada z; y • a interseção do plano paralelo ao plano x xz, passando por P, com o eixo y determina a coordenada y; • a interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 16

Definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v 1, v 2, v 3) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem. Figura: As componentes de um vetor no espaço 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 17

Figura: As coordenadas de P são iguais as componentes de 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 18

Se V = (v 1, v 2, v 3) e W = (w 1, w 2, w 3), então a adição de V com W é dada por: Figura: V+W e V 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br W V V+W Se V = (v 1, v 2, v 3) e um escalar, então a multiplicação de por V é dada por: V V W 19

Vetor V com ponto inicial P= (x 1, y 1, z 1) fora da origem e ponto final Q = (x 2, y 2, z 2). Figura: V = PQ 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 20

Teorema: seja U, V e W vetores e e escalares As seguintes propriedades são válidas: 1. U + V = V + U 2. (U + V) + W = U + (V + W) 3. U + =U 4. 4. U + (-U) = 5. ( U) = ( ) U 6. ( U + V) = U + V 7. ( + ) U = U + U 8. 1 U = U 9. Prova desse teorema como exercício de casa. 10/29/2020 Profa. Dra. Marli de F. G. Hernandez E-mail: marlih@ceset. unicamp. br 21