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GEOMETRIA 1

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GEOMETRIA Può essere INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI RAZIONALE Parte da CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI Definiti mediante 3

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE 4

Indice I contenuti Ø Gli elementi fondamentali della geometria euclidea Ø Postulati e teoremi Ø Punto Ø Retta Ø Piano Ø Postulati riguardanti gli enti elementari Ø Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari (semirette, segmenti, angoli Gli obiettivi ü Comprendere il significato di “dimostrazione” ü Cogliere la differenza fra postulato e teorema ü Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali ü Operare con segmenti ed angoli 5

Di che cosa tratta la geometria Il termine geometria deriva dal greco (ghe: “terra”, e metron: “misura”) e significa «misura della Terra» . Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente invasi dalle inondazioni del Nilo. Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono portate in Grecia da Talete di Mileto (624 -548 a. C. ) e servirono agli antichi greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama Geometria. Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare questa scienza, osservando l’ambiente e astraendo dagli oggetti circostanti quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di cui essi sono fatti. 6

I punti di partenza della geometria Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTO RETTA PIANO 7

Gli elementi fondamentali della geometria Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati. (Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!) Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure geometriche 8

PUNTO v PUNTO Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto. Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione. Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc. • A • C • D • B 9

RETTA v RETTA Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di una retta. A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore. Su di una retta si possono segnare infiniti punti Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc. retta a 10

PIANO v PIANO Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano. Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensi I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc. α Piano α 11

Postulati riguardanti gli enti elementari q Alla retta appartengono infiniti punti q Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti q Esistono infinite rette 12

Postulati riguardanti gli enti elementari q Per due punti distinti passa una sola retta • A • B § Per un punto passano infinite rette (l’insieme di tale rette è chiamato fascio poprio) A § Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro §La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”. 13

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Ø Semiretta – Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. semiretta A • semiretta origine Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmento Ø A • segmento B • estremi 14

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Ø Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono consecutivi A C • B Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta Ø A • B • C • 15

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari ØUna linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea spezzata Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata C A B Spezzata chiusa E D Spezzata aperta Spezzata intrecciata 16

Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari Ø ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune Angolo concavo Angolo convesso Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati 17

Angoli particolari Ø Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)] Angolo piatto A O B PIATTO: 180° 18

Angoli particolari Ø Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)] B O Angolo giro A GIRO: 360° Ø Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo B A 19 O

Angoli particolari Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto RETTO: 90° 20

Angoli particolari Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto OTTUSO: > di 90° Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto ACUTO: < di 90° 21

Angoli particolari Ø Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune C Lato comune B O A 22

Angoli particolari Ø Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta 23

Angoli particolari Ø Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro O 24

v Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI v Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI 25

v Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI 26

Ø Concetti o enti primitivi Enti che non definiamo esplicitamente Ø Assiomi o postulati Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo Ø Teoremi I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi. 27