Geometri ve Geliimi Geometri uzayn ve uzayda tasarlanabilen

Geometri ve Gelişimi Geometri; uzayın ve uzayda tasarlanabilen şekillerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. Etimolojik (köken bilgisi) olarak “geo – metri”, “yer –ölçümü” anlamına gelmektedir. Mezopotamya ve Mısır’da Nil Nehri’nin taşması sonucu arazi sınırları bozulmakta ya da tamamen silinmekteydi. Arazilerin hemen her yıl ölçülerek yeniden sahiplerine dağıtılması ihtiyacı oluşuyordu.

Öklit geometrisi Matematikte ispat yöntemini ilk kullanan kişinin Thales (Tales) (MÖ. 624 – 547) olduğu düşünülmektedir. Euclides (MÖ 323 – 283) Euclides (Öklit), ispat yöntemini ince bir ustalıkla geometriye uyarlayarak 13 kitaptan oluşan “Elements” adlı eserini yazmıştır. Bu eser zamanla yeniden düzenlenmiş, postulat ve ispatlara dayalı Öklit Geometrisi kullanılmaya ve öğretilmeye başlanmıştır. Öklit geometrisine, Aksiyomatik Geometri, Sentetik Geometri veya İspatlı Geometri denildiği de olur.

Analitik geometri Fransız filozofu Deskartes, cebir ile geometriyi ilişkilendirerek sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullandı. Şekilleri, fonksiyonlar olarak ele alan Analitik Geometri dalının gelişmesine vesile oldu. Rene Descartes (1596 – 1650)

Tasarı geometri Gaspard Montage, üç boyutlu uzay cisimlerinin, bir düzlem üzerine çizilmesini ya da cismin izdüşümle incelenmesini sağlayan Tasarı Geometrinin gelişmesine vesile olmuştur. Gaspard Montage (1746 – 1818)

Öklit dışı geometri 1820 lerin sonunda Lobacevski’nin öklit geometrisinin temelini oluşturan paralel postulatını ispatlamak için girişimleri neticesiz kalmışsa da Öklit Dışı Geometri denilen başlı başına bir geometrinin doğmasına vesile olanların başında gelir. Lobacevski (1793 -1856)

Fraktal geometri İlk olarak 1975'de Amerikalı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya konulan Fraktal Geometri, kendini tekrar eden, sonsuza kadar küçülen şekilleri ve cismi inceler. Benoit Mandelbrot (1924 – … )

Nokta A …………………. • Herhangi bir ……………. . bulunmayan ve yer …………. . geometrik bir terimdir. • İnce uçlu bir kalemin kağıt üzerinde bıraktığı ize, noktanın ……. modeli denir. • Alfabenin …………… harfleriyle adlandırılır.

Doğru – Eğri d ……………. . k • Doğru; düz ve uzunluğu sürekli iki yöne …………. sınırsız uzatılabilen, kalınlığı bulunmayan geometrik bir …………dir. • Düz ……………… modeli ile gösterilir. • Alfabenin ……………. harfleri ile adlandırılır.

Düzlem • …………. . ve …………………. . , düz sınırsız genişletilebilen fakat ……………. bulunmayan E geometrik terimdir. • ……………. . bölge modeli ile gösterilir. …………. • Alfabenin …………. harfleri veya R 2 ile adlandırılır.

Uzay • ………………. . , ………………. . ve ………………. , düz sınırsız genişletilebilen geometrik bir terimdir. R 3 …………………. R 4 Uzayı • ………… modeli ile gösterilir. • …………… ile adlandırılır.

Doğrusallık Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara, …………… noktalar denir. A B C …………………. noktaları doğrusaldır.

Düzlemsellik Aynı düzlem üzerinde bulunan noktalara, ……………. noktalar denir. k D F E m ………………. noktaları düzlemseldir. ………………… doğruları düzlemseldir. n

Doğru parçası A B ……. . doğrusu A B A ……… doğru parçası B ………. . doğru parçası B A ………… doğru parçası AB : AB doğru parçasının ………………. B

Yarı doğru - Işın A B ……. . doğrusu A B ……… açık yarı doğrusu A B ………. kapalı yarı doğrusu (ışın) A noktasına, …………………. noktası denir.

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

Koordinat doğrusu ………………. yön … A B C D E P O 1 … … … x x x koordinat doğrusu • Doğru üzerindeki her noktaya karşılık, reel sayılar kümesinin bir elemanı eşleştirilmiş doğrulara ……………………………………. veya ……………. denir. • Sıfır sayısı ile eşleşen noktaya, koordinat doğrusunun …………. ……… noktası veya ……. . . …… denir. • P noktası ile eşleşen …. reel sayısına, P noktasının ……………… denir ve ………… ile gösterilir.

Alıştırma x koordinat doğrusunda verilen noktaların koordinatlarını söyleyiniz ve yazınız.

Araştırma - İnceleme • A ile C noktaları arasındaki uzaklık …………………. . birimdir. • B’ ile C noktaları arasındaki uzaklık …………………. . birimdir. • Koordinatları verilen iki nokta arasındaki uzaklığın bulunması için, hangi matematiksel işlem yapılıyor? …………… • Uzaklık değerleri negatif olabilir mi? …………. . • En küçük uzaklık kaç birimdir? …………. . • Matematikte negatif değerlerden kurtulmak için ………………. işlemi kullanılır.

İki nokta arasındaki uzaklık A(a) ile B(b) noktaları arasındaki uzaklık; d(A, B) = ………………. . AB = ………………. .

Alıştırma 1 • Koordinat doğrusunda verilen noktalara uygun koordinatlar yazınız. • B noktasının orijine uzaklığını bulunuz. ………………… • B noktasına uzaklığı 5 birim olan noktaların koordinatlarını bulunuz. • C’B kaç birimdir? ………………. .

Alıştırma 2 Sayı doğrusunda A(– 4) ve B(7) olduğuna göre AB kaç birimdir? Sayı doğrusunda A(3 – x) ve B(– 4 – x) olduğuna göre AB kaç birimdir?

Doğru parçasının uzunluğu Uç noktaları A(a) ile B(b) olan [AB] doğru parçasının ……………. . A ile B noktaları arasındaki ……………. . eşittir. ……………………. .

Alıştırma 1 Uç noktalarının koordinatlarını verip bir doğru parçası belirleyiniz ve uzunluğunu bulunuz.

Alıştırma 2 C(x) noktası, A(5) ile B(3) noktaları arasında ise x hangi aralıktadır? C(x) noktası, A(4) ile B(6) noktaları arasında ise AC + CB toplamın kaç birimdir?

Alıştırma 3 Uç noktaları A(3) ve B(5) olan [AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatını bulunuz. A(3) noktasının B(5) noktasına göre simetriği olan noktanın koordinatını bulunuz.

Alıştırma 4 A(– 1), B(5) olmak üzere, [AB] doğru parçasını oranında dıştan bölen C(x) noktasının koordinatını bulunuz.

Ödev B [AC] olmak üzere aşağıda verilen oranları şekle aktarınız.

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 12 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

Yönlü doğru parçası A noktası Ankara, B noktası Bursa’yı temsil etmektedir. Bu iki şehir arasında uçan bir kuşun kaç farklı hareket yönü olabilir? [AB] doğru parçasına yön vermek istenilirse bu nasıl ifade edilebilir? A A B B ………………… A B ………………. . AB doğrusuna AB veya BA yönlü doğru parçasının …………. . denir.

Yönlü doğru parçasının uzunluğu A(a) B(b) AB yönlü doğru parçasında; A noktası, …………. . noktası, B noktası, …………. . noktası olarak isimlendirilir. Bu noktalar arasındaki uzaklığa yönlü doğru parçasının ………………. . denir.

Eş yönlü doğru parçaları - Vektör A B C D Uzunluğu ve yönü aynı olan doğru parçalarına, …. . … yönlü doğru parçaları denir. Eş yönlü doğru parçalarının kümesine ………… denir. Uzunluğu 1 birim olan vektöre, ………………… vektör denir. Uzunluğu 0 olan vektöre, ………………… vektörü denir.

Yer vektörü O A Başlangıç noktası orijin olan vektörlere, ……………………………. denir. A noktasının yer vektörü denildiğinde; başlangıç noktası ………. ve bitim noktası ………. olan ……………… yer vektörü anlaşılmalıdır.

Yer vektörünün koordinatı O(0) yer vektörünün koordinatı a dır. vektörünün uzunluğu; A(a) biçiminde gösterilir.

Öteleme O(0) P(k) A(a) B(b) Bir vektörün doğrultusu, yönü ve boyu değişmeden konum değiştirmesine ……………. . denir. A noktası, O noktasına ötelendiğinde vektörün değişmemesi için B noktasının da P noktasına ötelenmesi gerekir. Böylece …………. . vektörü ……. vektörünün konumuna ötelenmiş olur.

Alıştırma O(0) O(3 – ? ) A(2) B(3) C(5) A(5 – ? ) Sonuç olarak, bir vektörün hem başlangıç hem de bitim noktasına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa vektör sadece konum değiştirir. Doğrultusu, …. . …… ve …………. . değişmeyeceği için vektör ötelenmiştir.

Bir vektörün koordinatı A(a) B(b) AB vektörüne eşit olan yer vektörünün koordinatına, AB vektörünün ……. ………… denir. O(0) O(a – a) P(? ) P(b – a) A(a) B(b)

İki vektörün eşitliği Koordinatları eşit olan vektörlere, ……………. vektörler denir.

Alıştırma

İki vektörün toplamı

Alıştırma

Bir vektörün bir sayı ile çarpımı Bir vektörünün ………………. k sayısı ile çarpımına, o vektörün k sayısı ile ……………… denir.

Alıştırma 1. k = 1 ise 4. k = 2 ise 2. k = – 1 ise 5. k = – 2 ise 3. k = 0 ise 6. k = 1/2 ise 7. k = – 1/2 ise

İki vektörün farkı - den + ya

Alıştırma

Bir vektörün yer vektörleri türünden yazılışı

Alıştırma 1

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 6 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi: A D C B E D

Koordinat düzlemi Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme, dik koordinat ………………… denir. Üzerinde bir dik koordinat sistemi seçilen düzleme analitik …………. veya koordinat …………… denir. R 2 veya Rx. R ile ifade edilir. y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 x 1 2 3 4 -3 x koordinat doğrusuna, x ekseni veya yatay ………………. veya apsisler ……………. . denir. y koordinat doğrusuna, y ekseni veya düşey ………………. veya ordinatlar …. ……. . denir. Eksenlerin kesiştiği noktaya …………………. veya koordinat düzleminin ……………. . noktası denir.

Noktanın koordinatları P noktasından x eksenine inilen dikmeye karşılık gelen sayıya, P noktasının ……………. denir. P noktasından y eksenine inilen dikmeye karşılık gelen sayıya, P noktasının ……………. denir. P noktasının eşleştiği (x, y) ikilisine, P noktasının …………………. denir. P(x, y) yazılır. y y O P (x, y) x x

Alıştırma Analitik düzlemde; A(-18, 18) , B(24, -12), C(-6, 9), D(0, 18), E(6, 0) noktalarını gösteriniz. y 18 9 -18 -6 O 6 24 -12 x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları ………………. dır. y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri ………………. dır. x

Noktanın eksenlere uzaklığı A (-1, 3) noktasının A(-1, 3) y C x eksenine uzaklığı |AB|= ………. . birimdir. y eksenine uzaklığı |AC|= ………. . birimdir. B O x Dikdörtgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. Sonuç: K(x, y) noktasının; [AC] doğru parçasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü ……………. doğru parçasıdır. x eksenine uzaklığı ……. . birimdir. [AB] doğru parçasının y ekseni üzerindeki dik y eksenine uzaklığı ……… birimdir. izdüşümü …………. doğru parçasıdır.

Noktanın orijine uzaklığı A (3, 4) noktasının orijine olan uzaklığı; AO = ………………… birimdir. y A(3, 4) Pisagor bağıntısı c 2 = a 2 + b 2 O x Sonuç: [AO] doğru parçasının x ekseni üzerindeki dik K(a, b) noktasının orijine uzaklığı; izdüşümü ………. , y ekseni üzerindeki dik KO = ………… birimdir. izdüşümü ise ………. . dır.

Öteleme Analitik düzlemde verilen bir şeklin tüm noktalarının aynı yönde aynı miktar ötelenmesine geometrik şeklin ötelenmesi denir. Şekillerin ötelenmesinde geometrik özellikler açılar ve uzunluklar korunur ve karşılıklı kenarları paraleldir. ABC dik üçgeninin A 2 1 noktası orijin olacak şekilde ötelenmesi için şeklin tüm noktalarının apsislerine 2 ordinatlarına 1 eklenmelidir.

İki nokta arasındaki uzaklık Bir noktanın orijine olan uzaklığını pisagor bağıntısıyla hesaplamayı öğrenmiştik AB doğru parçasını A veya B noktalarından birini orijine öteleyerek A ile B noktalarının arasındaki uzaklığı bulabiliriz.

Yönlü doğru parçaları – Vektör Boyu, yönü ve doğrultuları aynı olan yönlü doğru parçalarına eş yönlü doğru parçaları denir. Düzlemde paralel olan yönlü doğru parçalarının doğrultuları aynı kabul edilir. y O Eş yönlü doğru parçalarının her birine …………… denir. Şekilde hangileri birim vektördür. x

Yer vektörü Başlangıç noktası orijin olan vektöre ………………. . denir. Hem başlangıç hem de bitiş noktalarının koordinatlarına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa vektör ötelenmiş olur. y O x A(x 1, y 1) ve B(x 2, y 2) olmak üzere; vektörün bileşenleri (koordinatları) ve uzunluğu:

Alıştırma 1) A(-5, -2), B(-3, 1), C(4, -3) ve D(4, -2) y olan noktaları koordinat düzleminde işaretleyiniz. 2) AB ile CD vektörlerini çiziniz ve bileşenlerini bulunuz. 3) Bu vektörlerin 1. bileşenlerinin toplamını 1. bileşen, ikinci bileşenlerinin toplamını 2. bileşen olarak kabul eden vektörü bulunuz. 4) CD vektörünün bileşenlerinin 3 katı olan vektörü çiziniz. O x

İki vektör arasındaki işlemler İlkin başlangıcından Sonun bitimine Çıkanın bitişinden diğerinin bitişine (- den + ya)

Alıştırma 1 y O x

Alıştırma 2 y O x

Alıştırma 3 Alıştırma 1 ve 2 yi inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız. İki vektörün toplamı yine bir vektör müdür? (kapalılık özelliği) İki vektörün toplanmasında vektörler yer değiştirebilir mi? (değişme özelliği) Toplama işleminde sıranın önemi var mıdır? (birleşme özelliği) Toplama işleminin birim elemanı var mıdır? Toplama işleminde ters eleman var mıdır?

Alıştırma 4 Vektörleri kullanarak ABCD dörtgeninin paralelkenar olması için köşe koordinatları arasında bir bağıntı yazınız.

Alıştırma 5 G noktası, [AB] doğru parçasının orta noktası olduğuna göre; G noktasının koordinatlarını bulunuz.

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 12

Ödev 13 A B D C

Ödev 14

Ödev 15

Ödev 16 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

Birim çember Düzlemde sabit bir noktadan 1 birim uzaklıkta olan noktaların kümesine, …………………. . . denir. Merkez : Çap : Yarıçap : 1 br Yay : Yay uzunluğu : Çemberin çevresi :

Radyan açı ölçüsü Merkezi, açının köşesi olan birim çember çizilir. Birim çember ile açının kenarlarının kesiştiği noktalar arasındaki yay uzunluğu 1 birim ise, açının ölçüsü 1 radyan kabul edilir. x br 1 br ……. açısının ölçüsü : …………….

Derece açı ölçüsü Merkezi, açının köşesi olan birim çember çizilir. Birim çember ile açının kenarlarının kesiştiği noktalar arasındaki yay uzunluğu çemberin çevresinin 360 da birine eşitse , açının ölçüsü 1 derece kabul edilir. 1 o ile gösterilir. 1 br ……. açısının ölçüsü : ………………………

Alıştırma – Ödev 1) 1 radyan yaklaşık olarak kaç derecedir? 2) 30 o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 3) 360 o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 4) 180 o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 5) 108 o lik açının ölçüsü kaç radyandır? 6) radyanlık açının ölçüsü kaç derecedir?

Açı çeşitleri 1. Ölçüsü 90 o olan açıya …………… denir. 4. Ölçüsü 0 o ile 90 o arasında olan açıya …………… denir. 2. Ölçüsü 180 o olan açıya …………. …… denir. 3. Ölçüsü 360 o olan açıya …………. …… denir. 5. Ölçüsü 90 o ile 180 o arasında olan açıya …………… denir.

Yönlü açı Açının bir kenarından diğer kenarına saatin ters yönünde gidildiğinde açı pozitif yönlü, aksi halde negatif yönlüdür.

Trigonometrik oranlar 1 Sinüs : karşı / hip üs n ote Kosinüs : komşu / hip karşı Tanjant : karşı / komşu Kotanjant : komşu / karşı sin = c tan = b cos = a cot =

Trigonometrik oranlar 2 y 0 o ≤ ≤ 90 o 0 ≤ sin ≤ 1 0 ≤ cos ≤ 1 (0, 1) P sin kosinüs ekseni O sinüs ekseni (-1, 0) cos (1, 0) (0, -1) x

30 o ve 60 o lik açının trigonometrik oranlarını bulunuz. Alıştırma 1

Alıştırma 2 45 o lik açının trigonometrik oranlarını bulunuz.

Ters açılar . . ile ……. . . . ters açılardır. Ters açıların ölçüleri neden eşittir?

Alıştırma D DAC açısının ölçüsü 40 derece, CAB açısının ölçüsü 20 derecedir. DAC ile CAB açılarının açıortayları arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir? C A 40 o 20 o B D C A B

Ödev D C DAC açısının ölçüsü 90 o , CAB açısının ölçüsü 20 o dir. DAB ile CAB açılarının açıortaylarını kenar kabul eden açının ölçüsü kaç derecedir? 40 o A B D C 40 o A B

Yöndeş – İç ters – Dış ters – Karşı durumlu açılar Yöndeş açılar İç ters açılar (Z) Karşı durumlu açılar(U) Dış ters açılar

Alıştırma AB // CD AB EF = {K} CD EF = {L}

Ek çizimler 1 A A D D Yöndeş açılara benzetmek E F C B A F C B D E B E Paralelkenar

Ek çizimler 2 İç ters açılara benzetmek Karşı durumlu açılara benzetmek

Ek çizimler 3 Karşı durumlu açılara benzetmek Genel U kuralı

Alıştırma 1 D E C A B AB // DE

Alıştırma 2 C AB // DE D A B E

Alıştırma 3 E D AB // ED C A B

İlişki kurma 1 a a x b b y c d c e

İlişki kurma 2 x a x y a b t z z y

İlişki kurma 3 a a b b c d e

İlişki kurma 4 Açıortay x y x

İlişki kurma 6 İç açılar toplamı a d a b c

İlişki kurma 7 x x b a y

Ödev 1 Ölçüsü 2 x – 10 derece olan açı dar açı olduğuna göre, x in en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini bulunuz. 72 derecelik açının bütünlerinin ölçüsü kaç radyandır?

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 12 Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi:

Temsilci nokta – Denklem Herhangi bir geometrik şekil üzerindeki tüm noktaları temsil eden değişken nokta (temsilci nokta) vardır ve genellikle P harfi ile gösterilir. P noktası hareket ettirildikçe (değiştikçe) bir geometrik şekil oluşturur. Değişken noktayı içeren bağıntılara geometrik şeklin denklemi denir. P P P

Araştırma – İnceleme A(2, 3) noktasından geçen, vektörüne paralel olan doğrunun denklemini bulunuz. Doğrunun temsilci (değişken) noktasını kullanarak verilen şartlara uygun bir bağıntı yazılabilir mi? P A(2, 3) Her …… reel sayısı için bir P noktası elde edildiği için …… ya parametre denir. ……. vektörüne doğrunun doğrultman vektörü veya kısaca doğrultmanı denir.

Doğru denklemi 1 A(x 1, y 1) noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü olan d doğrusunun denklemleri: d doğrusunun …………. denklemi: d d doğrusunun …………………. denklemi: P(x, y) A(x 1, y 1) d doğrusunun …………………. denklemidir. d doğrusunun ………. . dir.

Alıştırma 1 A(-2, 5) noktasından geçen, doğrultman vektörü a) vektörel denklemini bulunuz. b) kapalı denklemini bulunuz. c) k parametresine bağlı parametrik denklemini bulunuz. olan doğrunun;

Alıştırma 2 A(-2, 5) noktasından geçen, doğrultman vektörü d) kartezyen denklemini bulunuz. e) eğimini bulunuz. olan doğrunun;

Alıştırma 3 A(2, 3) ve B(3, -1) noktalarından geçen doğrunun vektörel, parametrik, kartezyen denklemlerini ve eğimini bulunuz. B(3, -1) A(2, 3)

Doğru denklemi 2 A(x 1, y 1) ve B(x 2, y 2) noktalarından geçen AB doğrusunun denklemleri; AB doğrusunun vektörel denklemi: AB doğrusunun kapalı denklemi: AB doğrusunun kartezyen denklemi: AB doğrusunun eğimi: B(x 2, y 2) A(x 1, y 1)

Doğru denklemi 3 A(x 1, y 1) noktasından geçen, eğimi m olan doğrunun denklemi: A(x 1, y 1)

Alıştırma y = 2 x + 6 doğrusu üzerinde olan noktalar bulunuz. Doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulunuz. Doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulunuz. Doğrunun grafiğini çiziniz. Doğrunun eğimini bulunuz. y O x

Eğimin incelenmesi 1 y B(x 2, y 2) A(x 1, y 1) K O Doğru üzerinde iki nokta alarak eğim ile alfa açısı arasındaki ilişkiyi bulunuz. Yol gösterme: AB doğrultman vektöründen ve AKB dik üçgeninden faydalanınız. Bir doğrunun, x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açıya …………… açısı denir. Eğim açının tanjantına da …………. denir. x

Eğimin incelenmesi 2 y y v x x u O O v y y v x O u

Eğimin incelenmesi 2 y x O d 1 d 2 Eğimleri çarpını -1 olan doğrular Eğimleri eşit olan doğrular birbirine …………. tir. …………. dir.

Alıştırma 1 A(1, 2) noktasından geçen ve y = 2 x -7 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulunuz.

Alıştırma 2 A(1, -2) noktasından geçen ve y = 3 x -2 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz. Bulduğunuz denklemde eşitliğin her iki tarafını aynı sayı ile çarptığınızda veya böldüğünüzde elde edilen denklemleri ilk denklemle karşılaştırıp yorumlayınız.

Alıştırma 3 2 x + 3 y – 11 = 0 ile 3 x + 2 y – 4 = 0 doğrularının varsa kesişim noktasını bulunuz.

İki doğrunun birbirine göre durumları 1 d 1: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 1. Kesişme K(x 0, y 0) d 2: a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

İki doğrunun birbirine göre durumları 2 2. Paralel d 1: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 d 2: a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 3. Çakışma d 1: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 d 2: a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Alıştırma x + ay – 3 b = 0 ve 3 x + 12 y + 18 = 0 doğruları çakışık olduğuna göre, a + b =? (k + 2)x + 2 y + 6 = 0 ve kx + 3 y + 1 = 0 doğruları paralel olduğuna göre, k kaçtır? (k + 1)x + 2 y + 6 = 0 ve kx + 3 y + 1 = 0 doğruları kesiştiğine göre, k hangi değeri alamaz?

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 12

Ödev 13

Ödev 14

Ödev 15

Ödev 16

Ödev 17

Ödev 18

Ödev 19

Ödev 20

Ödev 21

Ödev 22

Ödev 23

Ödev 24

Ödev 25 A) -8 B) -6 C) -4 D) -2 E) 0

Ödev 26 A) -7 B) -6 C) 0 D) 6 E) 7

Ödev 27 A) 5 x + 3 y + 2 = 0 B) 5 x + 3 y - 2 = 0 C) 5 x - 3 y + 2 = 0 D) 3 x + 5 y + 2 = 0 E) 3 x + 5 y - 2 = 0

Ödev 28 A) -7/2 B) -3 C) -5/2 D) 5/2 E) 7/2

Ödev 29 A(-3, 1) ve B(-5, 2) noktalarından geçen doğrunun parametrik denklemi nedir? A) x = -3 + k , y = 1 + k B) x = -3 + k , y = 1 + k C) x = -3 + k , y = 1 + k D) x = -3 + k , y = 1 + k E) x = -3 + k , y = 1 + k Ödev veriliş tarihi : Kontrol tarihi: