GEOMETRI TRANSFORMASI PERKULIAHAN DUA BAGIAN DELAPAN KALI PERTEMUAN

GEOMETRI TRANSFORMASI PERKULIAHAN DUA BAGIAN • DELAPAN KALI PERTEMUAN • MINGGU KE-4 DAN KE-8 UJIAN INDIVIDUAL

PENGERTIAN TRANSFORMASI • Semesta Pembicaraan TRANSFORMASI adalah BIDANG DATAR • Secara umum transformasi diartikan sebagai PINDAHAN • APA YANG DIPINDAHKAN ? • APAKAH SETIAP PINDAHAN MERUPAKAN TRANSFORMASI? • DALAM MATEMATIKA TRANSFORMASI DIDEFINISIKAN SEBAGAI APA ?

GEOMETRI TRANSFORMASI • BEBERAPA TRANSFORMASI YANG TELAH DIKENAL • 1. Geseran ( Translasi ) • 2. Pencerminan ( Refleksi ) • 3. Perputaran ( Rotasi ) • 4. Tarikan ( Dilatasi ) • ADAKAH JENIS TRANSFORMASI YANG LAIN ?

Apa yang akan dipelajari Pada mata kuliah Geo transf • 1. Memandang Transformasi sebagai Fungsi • 2. Membahas secara khusus dua kelompok dalam transformasi, yaitu yang isometri dan non isometri • 3. Membahas hasil komposisi beberapa transformasi • 4. Aplikasi dalam penyelesaian masalah geometri

DEFINISI TRANSFORMASI • Secara matematis, transformasi didefinisikan sebagai fungsi bijektif pada bidang (R 2) MASIH INGAT TENTANG FUNGSI ?

Ingat fungsi bijektif ? • f : A B dikatakan fungsi jika, x, y A dengan x=y , maka f(x)=f(y) • f : A B dikatakan fungsi injektif ( satu-satu) jika, x, y A, dengan f(x)=f(y) maka x = y • f : A B dikatakan fungsi surjektif atau pada jika, y B, x A, f(x) = y • f : A B dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada

• Berkenaan dengan adanya bidang geometri dan geometri analitik, kajian transformasi seringkali ditinjau dari dua sisi pandang , yaitu sisi pandang geometri dan aljabar ( titik disajikan dalam pasangan terurut, garis sebagai persamaan linear dst. )

Transformasi dalam Notasi Fungsi • Dalam notasi fungsi, • T: V V merupakan transformasi jika T adalah fungsi bijektif. Dengan V menyatakan bidang datar. • Secara aljabar, V dapat ditulis sebagai V={(x, y)|x, y R}.

Transformasi • T : V V dikatakan transformasi jika 1. A=(x, y), B=(u, v) V dengan A=B , maka T(A)=T(B) 2. A=(x, y), B=(u, v) V , dengan T(A)=T(B) maka A=B 3. B=(u, v) V, A=(x, y) V, T(A)=B

Contoh-contoh transformasi • Dalam Bentuk Aljabar • Perkawanan T: V V dengan T(x, y)=(x+y, 3 x-y+2) merupakan transformasi. Mengapa ? • Apakah Perkawanan T: V V dengan T(x, y)=(xy, y+2) merupakan transformasi. ? Mengapa ? T(x, y)=(x/y, y+2)

• Buktikan bahwa perkawanan T: V V dengan T(x, y)=(x+y, 3 x-y+2) merupakan transformasi. Selidiki apakah perkawanan T: V V dengan T(x, y)=(x+y, 3 x-y+2) merupakan transformasi.

Misal A titik tertentu pada bidang V Perkawanan T pada V dengan aturan untuk sebarang P di V, T(P) = Q dengan 2|AP|=3|PQ| dengan P pada ruas garis AQ, merupakan transformasi Secara geometris…………… A. P. Q

Secara aljabar ……………. A(x, y). . P (a, b). Q (u, v)

KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) • Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, • Bukti ?

Bagaimana mentransformasikan garis, terkait rumus transformasi T(x, y)=(f(x, y), g(x, y))

CARA MENTRANSFORMASIKAN GARIS • Untuk mentransformasikan garis dilakukan dengan cara berikut. • Pada transformasi T, misalkan T(x, y)=(x’, y’) dan garis l ax+by+c=0, • untuk menentukan T(l)=l’, nyatakan x dan y dalam x’ dan y’, kemudian substitusikan pada persamaan garis l, akan diperoleh persamaan dalam x’, y’. Karena koordinat dalam x dan y , ubah lagi dalam x dan y

Contoh mentransformasikan garis • Misal T(x, y)=(2 x+y, x-y) dan persamaan garis l: 3 x+2 y-5=0. • T(l) adalah…………………. • Misalkan (x’, y’)=T(x, y)

KOMPOSISI DUA TRANSFORMASI (hasil kali) • Dari hasil komposisi dua fungsi bijektif adalah fungsi bijektif maka komposisi dua transformasi adalah transformasi juga, • Bukti ?

BEBERAPA ISTILAH DALAM TRANSFORMASI • 1. Unsur tetap • Titik A pada V disebut titik tetap dari transformasi T, jika T(A) = A • Garis l disebut garis tetap dari transformasi T, jika T(l) = l

APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI TITIK TETAP ? Transformasi T(x, y)=(x+4, y-3) tidak memiliki titik tetap, tetapi memiliki garis tetap. Karena………. APAKAH SETIAP TRANSFORMASI MEMILIKI GARIS TETAP ? BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ?

BAGAIMANA CARA MENENTUKAN TITIK TETAP DAN GARIS TETAP SUATU TRANSFORMASI ? 1. Andaikan punya titik tetap(garis tetap), misalkan titik tetap(garis tetap) tersebut adalah A=(x, y)(l ax+by+c=0) 2. Diperoleh persamaan yang mengkaitkan nilai x dany (nilai a, b dan c) 3. Jika persaman 2. konsisten, maka diperoleh titik tetap(garis tetap) yang dicari sebaliknya jika persamaan tidak konsisten disimpulkan transformasi tersebut tidak punya (titik tetap) garis tetap.

Transformasi : T(x, y) =(y, 4 x) Titik tetap Garis tetap

Misal A=(x, y) suatu titik tetap, maka berlaku (x, y)=(y, 4 x). Sehingga berlaku x=y dan y=4 x. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0, 0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan 4 bx+ay+4 c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku

Diperoleh 4 b 2=a 2, (b-a)c=0, dan (4 b-a)c=0 Kasus 1, c 0, maka b=a dan a=4 b tidak mungkin Kasus 2, c=0, maka a b dan a 4 b, sehingga diperoleh a=2 b atau a=-2 b. Akhirnya diperoleh garis tetap dari T adalah 2 x+y=0 atau -2 x+y=0

Transformasi : T(x, y) =((2 x-y), (x+y)) Titik tetap Garis tetap

Misal A=(x, y) suatu titik tetap, maka berlaku (x, y)=((2 x-y), (x+y)). Sehingga berlaku x=2 x-y dan y=x+y. Diperoleh x=0 dan y=0. Berarti titik (0, 0) merupakan satu-satunya titik tetap. Misal garis l ax+by+c=0 merupakan garis tetap. Perhatikan bahwa l’ adalah suatu garis dengan persamaan (a-b)x+(a+2 b)y+3 c=0. Karena l merupakan garis tetap maka berlaku Selesaikan.

2. Identitas Suatu transformasi T disebut Identitas, jika T(A)=A, A V. Selanjutnya ditulis sebagai I Transformasi T(x, y)=(x+y, 2 x+y) bukan transformasi Identitas, karena……. . 3. Involusi Suatu transformasi T disebut Involusi, jika T(T(A))=A, A V ( atau ditulis T 2=I ) Contoh transformasi involusi? Dari T 2=I diperoleh T=T-1 Apakah T merupakan Involusi? T(x, y)=(-x, kx+y)

• 4. Kolineasi • Suatu transformasi T, disebut bersifat. kolineasi jika T memetakan garis (lurus) menjadi garis (lurus) lagi • 5. Isometri • Suatu transformasi T, disebut bersifat isometri jika untuk setiap dua titik A, B di V berlaku |AB|=|T(A)T(B)|=|A’B’| • ( |AB| menyatakan jarak titik A dengan B , A’=T(A), B’=T(B))

6. Similaritas

Contoh transformasi yang tidak bersifat kolineasi • . • Bukan kolineasi kenapa ? • Transformasi T(x, y) = (2 x, y) bukan suatu isometri, kenapa?

BEBERAPA TEOREMA (a) Transformasi isometri T merupakan kolineasi (b) Jika T suatu isometri maka T suatu kolineasi Isometri mempertahankan besar sudut Isometri mempertahankan kesejajaran

Transformasi isometri T merupakan kolineasi Diketahui T suatu Isometri Akan dibuktikan T bersifat kolineasi Ambil sebarang garis l dan l’ merupakan peta dari l. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’ merupakan garis juga. Misal A dan B sebarang dua titik pada l kemudian A’ dan B’ berturut-turut peta dari A dan B, serta h adalah garis yang melalui A’, B’. Akan terbukti T kolineasi jika dapat dibuktikan l’=h. (Mengapa? )

T: V V dengan T(x, y)=(x+y, 3 x) Apakah T fungsi • jika A=(x, y), B=(u, v) V dengan A=B , maka T(A)=T(B) Apakah T satu-satu • jika A=(x, y), B=(u, v) V , dengan T(A)=T(B) maka A=B Ambil sebarang dua titik A=(x, y), B=(u, v) V , dengan T(A)=T(B) dibuktikan A=B T(A)=T(B) berarti (x+y, 3 x)=(u+v, 3 u) Diperoleh x=u, karena x+y=u+v maka y=v

Apakah T merupakan fungsi pada • jika B=(u, v) V, A=(x, y) V, T(A)=B T: V V dengan T(x, y)=(x+y, 3 x) Ambil sebarang B(x, y) di V Misal A(u, v) sedemikian sehingga T(A)=B Sehingga (u+v, 3 u)=(x, y) u+v=x 3 u=y u=1/3 y v= x- 1/3 y