GEOMETRA ANALTICA U D 9 4 ESO E

GEOMETRÍA ANALÍTICA U. D. 9 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

ECUACIÓN VECTORIAL U. D. 9. 1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

Punto, vector y recta • q y u • A s r OA • p t • h • • x O(0, 0) @ Angel Prieto Benito Por el punto A pasan infinitas rectas (r, s, t, etc). Asimismo hay infinitas rectas que tengan la misma dirección que el vector u (q, p, h, etc). Pero sólo habrá una recta, r, que pase por el punto A y tenga la misma dirección que el vector u. Por lo tanto una recta viene determinada por un punto A y un vector u no nulo. Se representa por r(A, u) El punto A es un punto cualquiera por el que pase la recta r, y el vector u, llamado vector director, nos indica la dirección de la recta. Matemáticas 4º ESO E. AC. 3

Pendiente de una recta y A r • • u =(a, b) u • b • a • • OA x O(0, 0) @ Angel Prieto Benito • • • El vector OA es el vector de posición del punto A. El vector u es el vector director de la recta que pasa por el punto A. Está claro que ambos vectores no tienen la misma inclinación. La pendiente de una recta es la medida de su inclinación: Incremento de la ordenada (y) m = ---------------------Incremento de la abscisa (x) Si llevamos el vector u sobre la recta r vemos que su inclinación coincide. Si las coordenadas del vector u son u=(a, b) b m = --- , que es la pendiente de la recta r. a También m =tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abcisas. Matemáticas 4º ESO E. AC. 4

Ejercicios de la pendiente • • Hallar la pendiente, m, de una recta en los siguientes supuestos: 1. Su vector director es u(3 , – 6) Solución m=b/a=– 6/3=– 2 • • 2. Su vector director pasa por los puntos A(1 , – 2) y B(– 3, 5) Solución Las coordenadas del vector AB son: AB(– 3 – 1 , 5 – (– 2)) AB (– 4 , 7) m = b / a = 7 / (– 4) = – 7/4 • • • 3. La recta pasa por los puntos A(– 2 , – 3 ) y B(3 , 2) Solución Los incrementos de coordenadas son: ∆x = 3 – ( – 2) = 5 , ∆y = 2 – ( – 3) = 5 m = ∆y / ∆x = 5 / 5 = 1 • • 4. La recta al cortar al eje OX forma un ángulo de 60º m = tag α m = tag 60º = 1, 7320 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 5

ECUACIÓN VECTORIAL y X u AX A r OX OA x O(0, 0) @ Angel Prieto Benito • Sea X un punto cualquiera de la recta r(A, u) • Como se ve en la figura, el vector OX es suma del vector OA y del vector AX. • • • El vector AX es t veces el vector u. Siendo t un número que se llama parámetro de la recta. Luego, como OX = OA + AX. • OX = OA + t. u • Si • (x, y) = (xo, yo) + t. (a, b) X(x, y), u=(a, b) y A(xo, yo) Matemáticas 4º ESO E. AC. 6

• Ejemplo_1 • • Una recta r forma un ángulo de 30º con el eje de abscisas. a) Hallar su pendiente. b) Hallar un vector director de la recta. c) Hallar la ecuación vectorial de la recta sabiendo que pasa por el punto A(3, -2) • Resolución: • • a) m = tan α , siendo α = 30º m = tan 30º = 1 / √ 3 = √ 3 / 3 • • b) • • • c) La ecuación vectorial de la recta es (x, y) = (xo, yo) + t. (a, b) Luego sustituyendo en la expresión los datos conocidos: (x, y) = (3, - 2) + t. (3, √ 3) Un vector director u=(a. b) de la recta cumple: b m= --- , o sea √ 3 / 3 = b / a b= √ 3 /, a = 3 u =(3, √ 3) nos vale. a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

• • s Ejemplo_2 Hallar la ecuación vectorial de las rectas sobre las que se apoya el triángulo de la figura. • • Resolución: Podemos tomar los lados a, b y c como vectores directores de las rectas r, s y t respectivamente. • • Luego: a = (4, 0), b =(-3, 3) y c = (1, 3) • • La ecuación de r(C, a) es: (x, y) = (4, 0) + t. (4, 0) • • La ecuación de s(A, b) es: (x, y) = (1, 3) + t. (- 3, 3) • • La ecuación de t(B, c) es: (x, y) = (0, 0) + t. (1, 3) @ Angel Prieto Benito A(1, 3) c b r t B(0, 0) a C(4, 0) Nota: A la hora de hallar el vector director de una recta, no nos importa su sentido. Así, el vector director b puede ser: b =(- 3, 3) o también b =(3, - 3) Matemáticas 4º ESO E. AC. 8

• Ejemplo_3 • • • En el rombo de la figura, donde nos dan las coordenadas de los vértices, hallar la ecuación vectorial de: a) El lado CD b) La diagonal menor AC • Resolución: • • a) Hallamos el vector director CD: CD=(4, 4) – (3, 1) = (1, 3) La ecuación del lado CD es: (x, y) = (3, 1) + t. (1, 3) • • D(4, 4) C(3, 1) b) Hallamos el vector director AC: AC=(3, 1) – (1, 3) = (2, - 2) La ecuación de la diagonal es: (x, y) = (1, 3) + t. (2, - 2) @ Angel Prieto Benito A(1, 3) B(0, 0) Nota: Hallar la ecuación de la recta sobre la que se apoya el lado de un polígono es igual que hallar la ecuación del lado. Matemáticas 4º ESO E. AC. 9

ECUACIÓN PARAMÉTRICA y u A X AX r • • • La ecuación vectorial hemos visto que es: OX = OA + t. u (x, y) = (xo, yo) + t. (a, b) Para cada valor de t tendremos un par de valores (x, y) de los puntos que forman parte de la recta. Si desglosamos por un lado las coordenadas en x y por otro las coordenadas en y, tendremos: OX • • x @ Angel Prieto Benito ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA • OA O(0, 0) • • x = x o + t. a y = y o + t. b Que es la ecuación paramétrica de la recta ( x e y dependen del valor que tome el parámetro t). Dos expresiones, una sola ecuación: No es un sistema. Matemáticas 4º ESO E. AC. 10

ECUACIÓN CONTINUA • • • La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = xo + t. a y = yo + t. b • • • Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: x - xo = t. a (x - xo) / a = t y - yo = t. b (y - yo) / b = t • • • Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: t=t x – xo y – yo ----- = ----- , siempre que a<>0 y b<>0 a b Que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 11

• • Ejemplo_1 Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t. (- 3, 5) a) Hallar su ecuación paramétrica. b) Hallar su ecuación continua. • • Resolución: a) Tenemos: (x, y) = (0, 2) + t. (- 3, 5) • • Desglosando las coordenadas del vector: x = 0 – 3. t y = 2 + 5. t Que es la ecuación paramétrica de la recta. • • • b) Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: x– 0 y– 2 t = ---- , t = ----3 5 Igualando el valor de t, tenemos: x / (– 3) = (y – 2) / 5 , que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 12

• • Ejemplo_2 Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). a) Hallar su ecuación paramétrica. b) Hallar su ecuación continua. • • • Resolución: a) Como nos dan un punto A por donde pasa y un vector director u, su ecuación vectorial será: (x, y) = (xo, yo) + t. (a, b) Luego sustituyendo en la expresión los datos conocidos: (x, y) = (3, 4) + t. (6, 8) Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6. t y=4 + 8. t Que es la ecuación paramétrica de la recta. • • b) Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8 , que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 13

D • • • Ejemplo_3 Los vértices A(3, 6) y C(5, 4) son los vértices opuestos de un rombo. Hallar la ecuación paramétrica y continua de la diagonal BD. Resolución: Hallamos el vector director AC: AC=(5, 4) – (3, 6) = (2, - 2) Un vector perpendicular a AC podría ser: u = (2, 2) El punto medio del lado AC, que es por donde pasa la diagonal BD, es: Xm = (3+5)/2 = 4 Ym = (6+4)/2 = 5 Luego la ecuación de la recta BD, que pasa por Pm(4, 5) y u=(2, 2) es: (x, y) = (4, 5) + t. (2, 2) @ Angel Prieto Benito A(3, 6) Pm C(5, 4) B Su ecuación paramétrica es: • x = 4 + 2. t • y = 5 + 2. t Su ecuación continua es: • x– 4 y– 5 • ----- = ----- • 2 2 Matemáticas 4º ESO E. AC. 14