GEOMETR KONU AIORTAY TEOREMLER VE RNEK SORU ZMLER

GEOMETRİ KONU: AÇIORTAY TEOREMLERİ VE ÖRNEK SORU ÇÖZÜMLERİ

ADEM ALTUĞ 100403008

1) İÇ AÇIORTAY TEOREMİ A Bir üçgende, herhangi bir açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. B C N A BA C B NN C

1) [AN] açıortayının ayırdığı ABN ve ANC üçgenlerinin, [NB] ve [NC] kenarlarına ait yükseklikleri ortak olduğundan A H T B A(ABN) BN A(ANC) NC yazabiliriz. Şekilde görüldüğü gibi, [AN] açıortayının N noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikmeler eşittir. C N NH=NT olur. 2) A(ABN) ½×AB×NT AB A(ANC) ½×AC×NH AC (1) VE (2) EŞİTLİKLERİNDEN, AB BN AC NC OLUR.

N [KT], K açısının açı ortayıdır. NK=12 cm KM=9 cm MN=14 cm ise TM doğru parçasının uzunluğunu T bulunuz. 12 cm M K 9 cm ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

N 12 cm TM=x dersek, TN=14 -x olur. Açıortay teoremine göre, T 14 cm K MK T MT N N 9 x 12 14 -x bulunur. Verilenler yerine yazılırsa; 12 x = 9 (14 -x) 21 x=126 x=6 cm çıkar M K 9 cm Yani |TM|=6 cm bulunur.

A ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ. B C N 6 5 [AN] A açısının açıortayıdır. |BN|=6 cm |NC|= 5 cm ve ABC üçgeninin çevresi 33 cm ise |AC|=?

A Üçgenin çevresi 33 cm verildiğine göre |AB|+|AC|+|BC|=33 cm’dir. |BC|=11 cm olduğundan |AB|+|AC|=22 cm olur. |AC|=x dersek |AB|=22 -x olur. Açıortay teoremine göre, B 22 -x x N 6 5 A C B NN C yazabiliriz. Þ 6 x=5 (22 -x) Þ 6 x=110 -5 x DOLAYISIYLA |AC|=10 CM ÇIKAR. Þ 11 x=110 Þ X=10 cm

A c E a a D b O c b b c B O AO N N a b+c a O BO D C a+c b Şekildeki ABC üçgeninde, a, b, c kenar uzunlukları [AN], [BD], [CE] sırasıyla A, B, C açılarına ait açıortaylardır. Açıortayların kesim noktası O olmak üzere ; O CO E a+b c

O AO N A c. E B O AO N a a D O b b c c N A BB N O AO N b (Açıortay teoremi) A CN (Açıortay teoremi) C BİRLEŞTİRİRSEK; A O A AO N C a AC+AB b+c NC+BN a CN C BB N BURADAN; BULUNMUŞ OLUR.

A a a E D O c b b B c C N ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ. Şekilde [AN] , [BD ] , [CE] sırasıyla A, B, C açılarının açıortaylarıdır. |AB|=8 cm |AC|=10 cm |BC|=12 cm olduğuna göre; |OA| |ON| =?

A a a E D O c b b c B O A O N N C AB+AC 8+10 5 BC 12 3 BULUNMUŞ OLUR.

1) DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ A B N C Bir ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı [BC] kenarının uzantısını A BN noktasında kesiyorsa; B N A C N C olur.

A 10 B 8 5 C x N Şekilde [AN] A açısının açıortayıdır. |AB|=10 cm |AC|=8 cm |BC|=5 cm ise, |CN|=x kaç cm dir? ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

A 10 8 B 5 C Dış açıortay teoremine göre ; 10 5+x 8 x Ax BA C B NN C 10 x = 8 (5+x) è 10 x = 40+8 x è 2 x = 40 èx = 20 cm çıkar. N yazabiliriz. Verilenleri yerine koyarsak;

A B D Şekildeki ABC üçgeninde [AD], A açısının iç açıortayı, [AN], A açısının dış açıortayı olmak üzere 1 - [AD] diktir [AN] B 2 - D D C B NN C olur. C N

A B 6 D 4 C x N Şekildeki ABC üçgeninde [AD] ve [AN] sırasıyla A açısının iç ve dış açı ortaylarıdır. |BD|=6 cm |DC|=4 cm olarak veriliyor. |CN|=? ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

A B D |CN|=x olsun 6 4 10+x x N C B DD C B NN C olduğundan è 6 x=4 (10+x) è 6 x=40+4 x è 2 x=40 èX=20 cm çıkar.

KAYNAKÇA: SINAV DERGİSİ KONU ANLATIMLI GOOGLE