GENN YARDIMCI ELEMANLARI YKSEKLK AIORTAY KENARORTAY MER ASKERDEN

ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMANLARI (YÜKSEKLİK, AÇIORTAY, KENARORTAY) ÖMER ASKERDEN PİRİ MEHMET PAŞA ORTAOKULU UZMAN İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ omeraskerden@hotmail. com. tr

1)ÜÇGENİN YARDIMCI ELEMALARI 1 -A) YÜKSEKLİK (h), 1 -B) AÇIORTAY (n), 1 -C) KENARORTAY (V)

1) YÜKSEKLİK (h)

1 -A) YÜKSEKLİK (h): Bir üçgenin herhangi bir köşesi ile bu köşenin karşısındaki kenara indirilen dik doğru parçasına bu kenara ait yükseklik denir. Yükseklik küçük “h” harfi ile gösterilir. Bir üçgende 3 tane yükseklik vardır. Bir üçgenin yükseklikleri bir noktada kesişir. Bu yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin diklik merkezi denir. Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışındadır. Dik üçgende diklik merkezi dik açının köşesi, Dar açılı üçgende diklik merkezi üçgenin içindedir. A D E K B F C [AD]=ha=a kenarına ait yükseklik, [BE]=hb=b kenarına ait yükseklik, [CF]=hc=c kenarına ait yükseklik.

AÇIKLAMA-1) Dar açılı üçgende diklik merkezi üçgenin içindedir. (K noktası) A E F [AD]=ha=a kenarına ait yükseklik, [BE]=hb=b kenarına ait yükseklik, [CF]=hc=c kenarına ait yükseklik. K noktası diklik merkezidir. K B D C

AÇIKLAMA-2) Dik üçgenlerde diklik merkezi dik üçgenin dik kenarlarının kesiştiği noktadır. (A) C [AD]=ha=a kenarına ait yükseklik, [AB]=hb=b kenarına ait yükseklik, [AC]=hc=c kenarına ait yükseklik. A noktası diklik merkezidir. D A B

AÇIKLAMA-3) Geniş açılı üçgende yüksekliklerin kesim noktası üçgenin dışındadır. (K noktası) A D E [AH]=ha=a kenarına ait yükseklik, C B [FA]=hc=c kenarına ait yükseklik. F H [EH]=hb=b kenarına ait yükseklik, H noktası diklik merkezidir.

AÇIKLAMA-4) Bir dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda üçgenin yüksekliği olur. C [AB]=hb=b kenarına ait yükseklik, D [AC]=hc=c kenarına ait yükseklik. [AD]=ha=a kenarına ait yükseklik. A B

AÇIKLAMA-5) Üçgenin kenar uzunlukları ile o kenara ait yükseklikleri ters orantılıdır.

ÖRNEK: Bir üçgenin kenar uzunlukları sıra ile 10 cm, 8 cm, 12 cm dir. Bu üçgenin kenarlarına ait yüksekliklerinin uzunluklarını sıraladığımızda aşağıdaki hangi seçenek doğru olur? a) ha < hc < hb b) hc < hb < ha c) hb < ha < hc 12 > 10 > 8 ise c > a >c olur. hc < ha < hb sıralaması doğru olur. d) hc < ha < hb

ÖRNEK: Bir üçgenin yükseklik uzunlukları sıra ile 5 cm, 7 cm, 6 cm dir. Bu üçgenin yüksekliklerinin uzunluklarının ait olduğu kenarların uzunluklarını sıraladığımızda aşağıdaki hangi seçenek doğru olur? a) b > c > a b) c < b < a c) b < c < a 7 > 6 > 5 ise hb > hc > ha olur. b < c < a sıralaması doğru olur. d) c < a < b

AÇIKLAMA-6) ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait yükseklikleri ha, hb, hc ise üçgenin alanı aşağıdaki formüller ile hesaplanır.

AÇIKLAMA-7 ) Bir üçgende yükseklik o üçgendeki büyük açıya veya küçük kenara daha yakındır. 23

2) AÇIORTAY (n)

1 -B) AÇIORTAY (İÇ AÇIORTAY) Bir üçgende herhangi bir köşedeki açının ölçüsünü iki eşit ölçüye bölerek, köşenin karşısındaki kenara birleştiren doğru parçasına o açının açıortayı denir. Bir üçgende 3 tane açıortay vardır. Açıortayların kesim noktasına üçgenin iç teğet çemberinin merkezi denir. 1) [DC]=n. C =C açısına ait açıortay doğrusu, 2) [AE]=n. A=A açısına ait açıortay doğrusu, 3) [BF]=n. B=B açısına ait açıortay doğrusu, C F E K A D B

AÇIKLAMA– 1) Açıortay üzerinde alınan bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin uzunlukları eşittir.

AÇIKLAMA– 2) Bir üçgenin kenarlarına içten teğet olan çembere iç teğet çemberi denir. Üçgene dıştan teğet olan çembere de dış teğet çemberi denir.

AÇIKLAMA– 3)Bir üçgende iki iç açıortay arasındaki açı bulunur. Formülü ile

ÖRNEK: ABC üçgenin de s(<BDC)=? Kaç derecedir? A)100 B)130 C)120 D)110 31

AÇIKLAMA– 4) Bir üçgende iki dış açıortay arasındaki açı ile hesaplanır. formülü 38

ÖRNEK-2: ABC üçgenin de s(<BDC)=? Kaç derecedir? a)40 b)50 c)60 d)70 39

AÇIKLAMA– 5)

AÇIKLAMA-6

AÇIKLAMA– 7)Bir üçgende 3 açıortayın kesim noktası köşelere birleştirildiğinde oluşan üçgenlerin alanı bu üçgenlerin kenarları ile orantılıdır.

3) KENARORTAY (V)

1 -C) KENAR ORTAY (V): Bir üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına kenar ortay denir. Kenar ortay büyük “V” harfi ile gösterilir. Bir üçgende 3 tane kenar ortay vardır. Kenar ortayların kesim noktasına üçgenin ağırlık noktası (Ağırlık merkezi) denir. Ağırlık merkezi büyük “G” harfi ile gösterilir. Kenarortaylar üçgenin alanını 6 eşit alana böler.

AÇIKLAMA– 1) Bir üçgende bir kenarortay, üçgeni eş alanlı 2 üçgene ayırır.

ÖRNEK-1) ABC Üçgeninin alanı 600 cm kare ise ADC üçgeninin alanı kaç cm karedir? a)200 b)300 c)150 d)400 68

AÇIKLAMA– 2) Bir üçgenin ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde eş alanlı 3 üçgen oluşur. Bu üçgenlerin alanlarının 3 katı büyük üçgenin alanını verir.

ÖRNEK-1) ABC Üçgeninin alanı 1200 cm kare ise AGC üçgeninin alanı kaç cm karedir? a)600 b)900 c)750 d)400 70

AÇIKLAMA– 3) Bir üçgenin 3 kenarortayı üçgeni eş alanlı 6 üçgene ayırır.

ÖRNEK-1) ABC Üçgeninin alanı 3000 cm kare ise AGF üçgeninin alanı kaç cm karedir? a)400 b)800 c)500 d)600 72

AÇIKLAMA– 4) Bir üçgende ağırlık merkezi kenarın orta noktasına 1 birim ve köşeye 2 birim uzaklıktadır.

74

AÇIKLAMA– 5) Bir üçgende kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçaları üçgeni eş alanlı dört bölgeye ayırır.

ÖRNEK-1) ABC Üçgeninin alanı 2400 cm kare ise AFE üçgeninin alanı kaç cm karedir? a)400 b)800 c)500 d)600 76

AÇIKLAMA– 6) Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. 77

AÇIKLAMA– 7) Bir üçgende kenar ortaylar üçgeni 6 eş alanlı üçgensel bölgeye ayırır.

ÖRNEK-1 79

AÇIKLAMA– 8) Bir üçgende kenar ortayların birleşiminden oluşan üçgenlerin çevresi büyük üçgenin çevresinin yarısına eşittir.

ÖRNEK-1) ABC üçgenin de H, E, F noktaları kenarların orta noktalarıdır. ABC üçgenin çevresi kaç cm dir? a)19 b)38 c)57 2. 5=10 2. 6=12 2. 8=16 10+12+16=38 cm d)48 81

AÇIKLAMA– 9) Bir üçgende kenar ortayların birleşiminden oluşan üçgenlerin alanı büyük üçgenin alanının 1/4 üne eşittir.

ÖRNEK-3 83

AÇIKLAMA– 10) G noktası hem ABC üçgeninin ve hem de HEF üçgeninin ağırlık noktasıdır.

ÖRNEK-1) ABC üçgenin de H, E, F noktaları kenarların orta noktalarıdır. ABC üçgenin alanı kaç cm karedir? a)96 b)72 c)120 d)48 85

AÇIKLAMA– 11) Tüm yardımcı elemanların uzunlukları kenar uzunlukları ile ters orantılıdır. 86

AÇIKLAMA-12 ) Bir üçgende bir köşeden çizilen kenarortayın uzunluğu ayırdığı kenarların toplamının yarısından küçük , farkının mutlak değerinin yarısından büyüktür.

88

UYARI ) Çeşitkenar bir üçgende, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama; ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır. m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım. Bu durumda üçgende kenarlar : a>b>c yükseklikler : ha < hb < hc Açıortaylar : n. A < n. B < n. C Kenarortaylar : Va < Vb < Vc Şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır. Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir. 92

UYARI) Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması, |AH| = ha ; yükseklik |AN| = n. A ; açıortay |AD| = Va ; kenarortay ha< n. A <Va şeklindedir. 93

UYARI ) Bir ikizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme (Dik doğru) tabanı iki eşit parçaya böler. Bu dikme yükseklik, açıortay ve kenar ortay doğrusudur. IADI=ha=n. A=Va UYARI) Bir üçgende herhangi bir kenar yükseklik, açıortay, kenarortay olma özelliklerinden herhangi ikisini birden taşıyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir. 94

UYARI) Bir ikizkenar üçgende , Eşit açılara ait açıortay doğrusu ve Eşit kenarlara ait yükseklik ile kenarortay doğruları farklı doğrulardır. Keşişim noktaları üste çakışmaz. 1) Bir ikizkenar üçgende Taban açılarından yani B ve C açılarından çizilen yükseklikler birbirine eşittir. ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. IDCI=IBEI ve hb=hc 95

2) Bir ikizkenar üçgende Taban açılarından yani B ve C açılarından çizilen açıortayların uzunluğu birbirine eşittir. ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. IDBI=ICEI ve n. B=n. C 3) Bir ikizkenar üçgende Taban açılarından yani B ve C açılarından karşılarındaki kenarların orta noktalarına çizilen kenarortay doğrularının uzunluğu birbirine eşittir. ABC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. IDBI=ICEI ve Vb=Vc 96

4) Bir eşkenar üçgenin kenar ortay, açıortay ve yükseklik uzunlukları eşittir. Üçü de aynı doğru parçasıdır. ha=n. A=Va, hb=n. B=Vb, hc=n. C=Vc olur. 97

4) KENAR ORTA DİKMESİ

Üçgenin Kenar Orta Dikmesi: Üçgenin bir kenarının orta noktasından çıkılan dikmeye denir. Kenar orta dikmeleri köşelerden geçmek zorunda değil. 118

Üçgenin kenarlarının orta dikmeleri bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Merkezin köşelere uzaklıkları, çevrel çemberin yarıçapı olduğu için eşittir. 122

hazırlayan ÖMER ASKERDEN PİRİ MEHMET PAŞA ORTAOKULU UZMAN İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENİ omeraskerden@hotmail. com. tr