GENELLETRLM GEZGN SATICI PROBLEMNN TAMSAYILI KARAR MODEL mdat

GENELLEŞTİRİLMİŞ GEZGİN SATICI PROBLEMİNİN TAMSAYILI KARAR MODELİ İmdat KARA Tusan DERYA Emrah DEMİR Tolga BEKTAŞ Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü / ANKARA YA/EM 2005 Koç Üniversitesi, 4 -6 Temmuz 2005

SUNUŞ PLANI Ø PROBLEMİN TANIMI (GGSP) Ø GGSP’nin UYGULAMA YERLERİ Ø GGSP’nin ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Ø GEZGİN SATICI PROBLEMİNE DÖNÜŞÜMLÜ YAKLAŞIMLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Ø GGSP için TAMSAYILI KARAR MODELİ ÖNERİSİ Ø SAYISAL ANALİZLER Ø SONUÇ ve ÖNERİLER

PROBLEMİN TANIMI. 1. 2. 3 . 7 . 8 . 4. 5. 6 . 9 . 10 . 11 . 12

PROBLEMİN TANIMI n n n Bir gezgin satıcı, s tane salkımlı n düğümlü bir serimde bir başlangıç noktasından başlayıp, her salkımdan bir düğüme sadece bir defa uğrayıp, başladığı yere dönmek durumunda uğrayacağı yerlerin sıralarını belirlerken, kat edeceği toplam mesafenin veya yapacağı harcamanın en küçük olmasını ister. Bu tür problemlere Genelleştirilmiş Gezgin Satıcı Problemi denir.

PROBLEMİN TANIMI GGSP, Laporte ve Nobert (1983)’e göre: n n n Henry-Lapordere (1969) Srivastava ve diğerleri (1969) Saksena (1970) tarafından tanımlanmış ve Dinamik Programlama ile çözüm önerilmiştir.

UYGULAMA YERLERİ Ø Ø Ø Ø Ø GSM operatörlerinin baz istasyonlarının yerleşim yerlerinin belirlenmesi problemi GSP bir alt problem olarak birçok ulaşım ve lojistik uygulamalarında ortaya çıkmaktadır. Malzeme akış sistem tasarımı Posta kutusuna dağıtım problemleri Araç Rotalama Problemleri Depolardaki vinç güzergahlarının programlaması Stok alanındaki malzeme toplama problemleri Uçaklar için havaalanı rotalaması Elektronik devre tasarımı

GGSP çözüm yaklaşımları-1 1. Karar modeline dayalı özel algoritmalar Ø Laporte ve Nobert (1983) • AGGSP • Üstel sayıda kısıt • Dal ve Sınır Ø Laporte, Mercure ve Nobert (1987) • SGGSP • Üstel sayıda kısıt • Dal ve kes Ø Noon ve Bean (1991) • AGGSP • Üstel sayıda kısıt • Lagrangian Ø Fishetti, Gonzales ve Toth (1995, 1997, 2002) • Polihedral analiz • Dallandır ve kes

GGSP çözüm yaklaşımları-2 2. GSP’ye dönüştürerek çözen yaklaşımlar Ø Noon ve Bean (1991) n düğümlü AGGSP n düğümlü AGSP Ø Lien-Ma-Wah (1993) n düğümlü AGGSP 3 n düğümlü GSP Ø Dimitrijevic ve Saric(1997) n düğümlü AGGSP 2 n düğümlü AGSP Ø Laporte ve Semet (1997) SGGSP STSP Ø Ben-Arieh et al (2004) Bazı sezgiseller

ARAŞTIRMADA CEVAP ARANAN SORULAR 1. GSP çözen çok sayıda algoritma olduğuna göre, GGSP’yi GSP’ye dönüştürerek çözen yaklaşımlardan hangisi daha kullanışlı olur? 2. Geliştirilen karar modelleri üstel sayıda kısıttan oluştuğundan, doğrudan kullanılamamaktadır. GGSP için polinom sayıda kısıttan oluşan bir karar modeli geliştirilebilir mi? 3. (2)’ye olumlu bir cevap verilebilirse yani yeni bir model önerilebilirse, GGSP’yi, GSP’ye dönüştürerek mi yoksa önerilen modelle mi çözmeli?

GSP DÖNÜŞÜMLÜ ÇÖZÜMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TSPLIB SONUÇLARI No DIMITRIJEVIC NOON-BEAN Problem - SARIC Çözüm Süresi ismi Çözüm Süresi (sn) EN İYİ DEĞER 1 4 br 17 26. 03 4. 17 31 2 7 ftv 33 207. 1 199. 02 476 3 8 ftv 35 2305. 8 1813. 25 525 4 8 ftv 38 10152. 46 6485. 23 511

RASSAL PROBLEMLERİN SONUÇLARI-1 25 düğüm Ø 5 salkım Ø Cij~[50, 99] Ø CPLEX 8. 1 (Kullanılan Program) Bilgisayar Sistemi: 2 adet P. 3 işlemci 1 GB RAM 4 Adet 76 GB’lık hardiskler

RASSAL PROBLEMLERİN SONUÇLARI-2 DIMITRIJEVICSARIC NOON-BEAN ORTALAMA 1760. 10 sn. 445. 42 sn. VARYANS 3755159. 08 81181. 86 STD. SAPMA 1937. 82 sn. 284. 92 sn.

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ Küme ve Parametreler n G = (V, A) yönlü serimi n V = {0, 1, 2, . . . , n} düğüm kümesi n A = {(i, j): i, j V, i ≠ j} V kümesi V 1, V 2, . . . Vk şeklinde karşılıklı ayrık ve boş olmayan k tane alt kümeye ayrılmış olsun n n V 0 = {0} n cij, (i, j) A ayrıtının maliyeti

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ Karar Değişkenleri (i, j) A ayrıtı turdaysa 1, değilse 0 değerini alan tamsayılı karar değişkeni (i Vq, j Vp, q ≠ p, q, p = 1, . . . , k) n xij, n up: p. salkımın turdaki durak numarası

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ kısıtları altında

ASİMETRİK PROBLEMLER Problem Noon-Bean Çözüm Süresi (sn) Önerilen Model Çözüm Süresi (sn) 4 br 17 41 0, 01 7 ftv 33 199 0, 54 8 ftv 35 1813 0, 76 8 ftv 38 6485 2, 52 9 ftv 44 - 18, 71 10 ftv 47 - 21, 43 10 ry 48 - 1687, 27 11 ft 53 - 7, 69 12 ftv 55 - 134, 91 13 ftv 64 - 7, 00 14 ftv 70 - 18, 00

SİMETRİK PROBLEMLER Problem Laporte-Semet Dönüşümü Çözüm Süresi (sn) Önerilen Model Çözüm Süresi (sn) 3 BURMA 14 7, 93 0, 01 4 GR 17 506, 71 0, 04 5 GR 24 - 0, 08 9 SWİSS 42 - 573 10 HK 48 - 2374

RASSAL OLARAK ÜRETİLEN ASİMETRİK PROBLEMLERİN SONUÇLARI Problem Göstergeler Noon-Bean 445, 42 Önerilen Model 0, 045333 Problem sayısı=30 Düğüm sayısı=25 Salkım sayısı=5 Ortalama süre (sn) 81181, 86 0, 000881 Ortalama süre (sn) - 1, 203333 Varyans - 1, 07183 Varyans Problem sayısı=30 Düğüm sayısı=50 Salkım sayısı=10

RASSAL OLARAK ÜRETİLEN SİMETRİK PROBLEMLERİN SONUÇLARI Problem Göstergeler Laporte-Semet Problem sayısı=30 Düğüm sayısı=15 Salkım sayısı=3 Ortalama süre (sn) 137, 9830 Önerilen Model 0, 0137 Varyans 1131, 3971 0, 00003

SONUÇ VE ÖNERİLER Ø Ø Ø GGSP için O(n 2) yani polinom büyüklükte ilk model Gerek TSPLIB ve gerekse rassal olarak üretilmiş problemlerde, çözüm süresi yönüyle kesin üstünlük Hem asimetrik hem simetrik problemler için kullanılabilme Salkımlar arası öncelik veya benzeri özel kısıtların doğrudan yansıtılabilmesi GSP çözen özel algoritmalarla karşılaştırmalı analizler yapılacaktır. Genelleştirilmiş araç rotalama problemlerinin de benzer modelleri geliştirilebilir.

KAYNAKLAR n n n Noon, C. E. , Bean, J. C. An efficient transformation of the generalized traveling salesman problem, INFOR, 31(1), 39 -44, 1993. Dimitrijevic, V. , Saric, Z. An efficient of the generalized traveling salesman problem into the traveling salesman problem on digraphs, Informatics and Computer Science, 102, 105 -110, 1997. Laporte, G. , Asef-Vaziri, A. , Sriskandarajah, C. Some applications of the generalized traveling salesman problem, Journal of the Operational Research Society, 47, 1461 -1467, 1996. Ben-Arieh, D. , Gutin, G. , Penn, M. , Yeo, A. , Zverovitch, A. Transformations of generalized ATSP into ATSP, Operations Research Letters, 31, 357 -365, 2003. Desrochers, M. , Laporte, G. Improvements and extensions to the Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints, Operations Research Letters, 10, 27 -36, 1991. GTSPLIB: http: //www. cs. rhul. ac. uk/home/zvero/GTSPLIB

TEŞEKKÜR EDERİZ SORULAR? ? ?