GENDE KENARORTAY BAINTILARI Kenarortay Bantlar Kenarortay Nedir l

ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞINTILARI

Kenarortay Bağıntıları Kenarortay Nedir ? l Ağırlık Merkezi Olma Şartları l Kenarortay Uzunluğu l Alan Özellikleri l Çözümlü Sorular l

Kenarortay Nedir? Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasına KENARORTAY denir. A [AD] kenarortaydır. |BD|=|DC| B D C [ Örnek 1 ] [ İleri ] [ Menü ]

Kenarortay Nedir? Bir üçgende üç kenarortay vardır. Bunların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir. Kenarortaylarda köşeden ağırlık merkezine kadar uzunluk 2 birim, ağırlık merkezinden kenara kadar 1 birim oranı vardır. A 2 x E z G 2 y F y 2 z x B H C [ Örnek 1 ] [ Geri ] [ Menü ]

Örnek 1 |BE| ve |AD| kenarortay ve |AK|=2|BK| ise |AD|+|BE|=? A 3 E A) 35 B) 31 C) 27 D) 24 E) 18 K B D C [ Çözüm 1 ] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

Çözüm 1 |AD| ve |BE| kenarortay olduklarından K noktası ağırlık merkezidir. |BK|=2|KE| ve |AK|=2|KD| |BK|=2. 3=6 verilerden |AK|=2|BK| |AK|=2. 6=12 |KD|=|AK|/2=6 |AD|+|BE|=18+9=27 |AD|=18 ve |BE|=9 A 3 E K B D C Cevap : C [ Örnek 1 ] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

Ağırlık Merkezi Olma Şartları A A 2 x 2 x x B D 2 y K B E K x C y D C A A 2 x F K x B C B G x K H D Dört şekilde de K noktası ağırlık merkezidir. 2 x C [ Örnek 2] [ İleri ] [ Menü ]

Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. A B D C [ Örnek 2] [ Geri ] [ Menü ]

Örnek 2 ABC dik üçgen |AB|=x, |AC|=6, |BD|=|DC|, |AD|=5 |AB|= x =? A x 6 5 B D C A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6 [ Çözüm 2] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

Çözüm 2 A x AD hipotenüse ait kenarortay olduğundan |AD|=|BC|/2 5=|BC|/2 ise |BC|=10 6 ABC dik üçgeninde pisagor bağıntısından 5 |BC|2=|AB|2+|AC|2 B D C 102=x 2+62 x 2=64 x=8 Cevap : B [ Örnek 2] [ Konuya Dön ] [ Menü ]

Kenarortay Uzunluğu A 2 Va 2=b 2+c 2 -(a 2/2) 2 Vb 2=a 2+c 2 -(b 2/2) 2 Vc 2=a 2+b 2 -(c 2/2) Va 4(Va 2+Vb 2+Vc 2)=3(a 2+b 2+c 2) B D [ İspatı ] [ Örnek 3] [ Menü ] C

Kenarortay Uzunluğu Kenarortay Teoreminin İspatı A ABH de c 2=h 2+(a/2 -x)2 ACH de c b 2=h 2+(a/2+x)2 h Va b b 2+c 2=2 h 2+a 2/4 -ax+x 2+a 2/4+ax+x 2 b 2+c 2=2 h 2+2 x 2+2 a 2/4 B a/2 -x H x D a/2 C b 2+c 2=2(h 2+x 2)+a 2/2 b 2+c 2=2 Va 2+a 2/2 2 Va 2=b 2+c 2 -a 2/2 bulunur. [ Konuya Dön ] [ Menü ]

Örnek 3 A A ABC bir üçgen ve |AC|=|BC|=|CD|=4 |AB|=6 ise |AD|=x=? 4 6 x B 4 A) √ 5 B) √ 12 C) √ 10 D) √ 8 E) 6 A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 6 D 4 C [ Çözüm 3] [Konuya Dön ] [ Menü ]

Çözüm 3 ABC de |AD|=x kenarortay olduğundan 2 x 2=b 2+c 2 -a 2/2 2 x 2=62+42 -82/2 X 2=10 X=√ 10 A 4 6 Cevap : C x B 4 D 4 C [ Örnek 3] [Konuya Dön ] [ Menü ]

Alan Özellikleri A A S S B G S D S E S C B D C A A S S B S D S S F S K C B S K H G S S C [ Örnek 4] [ Menü ]

Örnek 4 A A G B ABC bir üçgen G ağırlık merkezi |AE|=2|EC|, A(AGE)=10 cm 2 ise A(ABC)=? E A) 5 C)B) C) 45 10 E) D) 60 12 E) 6 A) 30 B) 35 408 D) C [ Çözüm 4] [ Konuya Dön] [ Menü ]

Çözüm 4 A |AE|=2 x ve |EC|=x dersek A(GEC)=A(AGE)/2 A(GEC)=10/2=5 cm 2 A(AGC)=10+5=15 cm 2 A 2 x Üç köşeyi ağırlık merkezi ile birleştirirsek A(ABC)=3 A(AGC) olur. G B E A(ABC)=3 A(AGC)=3. 15=45 cm 2 x Cevap : D C [ Örnek 4] [ Konuya Dön] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Soru 1 A 6 6 E 6 B ABC bir üçgen m(BAK)=m(KAC) |AE|=|EB|=|AD|= 6 |EC| / |KC|=? D K A) 4/3 B) 3/2 C) 2 D) 5/2 E) 729/512 C [ Çözüm 1] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Çözüm 1 ABD üçgeninde AK açıortay olduğundan |AB|/|BD|=|BK|/|KD|=12/6=2 olduğundan |KD|=x ise |BK|=2 x olur. |CE| kenarortay ve |BK|/|KD|=2 olduğundan K ağırlık merkezidir. |EC| / |KC| = 3/2 A 6 6 E D x 6 CEVAP : B K 2 x B C [ Soru 1] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Soru 2 A BAC bir dik üçgen m(BAC)=90, G ağırlık merkezi 15 8 |AB|=8, |AC|=15 ise G B D |AG| = ? C A) 17/3 B) 12 C) 6 D) 18/5 E) 5√ 3 [ Çözüm 2] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Çözüm 2 BAC dik üçgen olduğundan pisagordan |BC|=17 çıkar. A G ağırlık merkezi ise AD kenarortaydır. BC hipotenüs olduğundan |AD|=|BC|/2 |AD|=17/2 ve |AG|=2|AD|/3 |AG|=2. (17/2) / 3 = 17/3 15 8 G B D C Cevap : A [ Soru 2] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Soru 3 ABC bir üçgen |AB| = 5, |AC| = 6, |BD|=|DE|=|EC|=3, |AD|=x, |AE|=y A 6 5 x 2+y 2=? y x A) 23 B) 12 C) 13 D) 25 E) 32 B 3 D 3 E 3 C [ Çözüm 3] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Çözüm 3 ABE ve ADC üçgenlerinde kenarortay teoremini uygularsak 2 x 2=52+y 2 -62/2 2 y 2=62+x 2 -62/2 tarafa toplarsak x 2+y 2=25+36 -36 x 2+y 2=25 A 6 5 y x B 3 D 3 E 3 C Cevap : D [ Soru 3 ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Soru 4 ABC bir dik üçgen m(BAC)=90 G ağırlık merkezi A F B G D |AD|=Va, |BE|=Vb, |CF|=Vc, Va 2+Vb 2+Vc 2=54 İse |BC|=? E C A) 6 B) 8 C) 5 D) 10 E) 7 [ Çözüm 4] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Çözüm 4 |AB|=c, |BC|=a, |AC|=b olsun. Kenarortay teoreminden A 4(Va 2+Vb 2+Vc 2)=3(a 2+b 2+c 2) b 2+c 2=a 2 olduğundan F B G D E C 4. (54)=3(2 a 2) 2 a 2=72 a 2=36 a=6 Cevap : A [ Soru 4 ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Soru 5 A |AE|=|EC| |BD|=2|DC| G ağırlık merkezi A(DGEC)=25 cm 2 ise E A(ABC)=? G B D C A) 45 B) 60 C) 75 D) 80 E) 90 [ Çözüm 5] [ Önceki Soru ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Çözüm 5 |AE|=|EC|=x, |BD|=2|DC|=2 y olsun. A Üçgen alanları şekildeki gibi olur. Ağırlık merkezinin özelliğinden A(GAB)=A(GBC)=A(GAC)=6 S olur. x 6 S G 2 y A(DGEC)=2 S+3 S=5 S=25 S=5 A(ABC)=18 S=90 olur. x 3 S 4 S B E 3 S Cevap : E 2 S D y C [ Soru 5 ] [ Sonraki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Soru 6 A |AB|= 2√ 3 |AC|= 2√ 2 |AD|= √ 5 2√ 2 2√ 3 [AD] kenarortay ise √ 5 A(ABC)=? B D C A) 3√ 5 B) 2√ 7 C) 4√ 2 D) 6√ 3 E) 2√ 6 [ Çözüm 6 ] [ Önceki Soru ] [ Menü ]

Çözümlü Sorular Çözüm 6 Kenarortay teoreminden 2 Va 2=b 2+c 2 -a 2/2 2. (√ 5)2=(2√ 2)2+(2√ 3)2 -|BC|2/2 Buradan |BC|=2√ 5 çıkar. A Buna göre |BC|2=|AB|2+|AC|2 çıktığından m(BAC)=90 dir. 2√ 2 2√ 3 √ 5 B A(ABC)=|AB|. |AC|/2=(2√ 2). (2√ 3)/2 D C A(ABC)=2√ 6 olur. Cevap : E [ Soru 6 ] [ Menü ]