Gdeli jtkok Mt Andrs egyetemi docens ELTE BTK

Gödeli játékok Máté András egyetemi docens ELTE BTK Logika tanszék I. István gimnázium IV. D osztály (1971)

Lovagok és lókötők A lovagok mindig igazat mondanak A lókötők mindig hazudnak

A sivatagban él két ikertestvér. Csak annyi a különbség közöttük, hogy az egyik lovag, a másik lókötő. Egyszer egy vándor egy útelágazáshoz ér , ahol ott ül az egyik testvér. Meg akarja tudni, melyik úton kell továbbmennie, de csak egyet kérdezhet tőle. Mit kérdezzen, ha azt akarja, hogy a az ott ülő testvér a jó utat ajánlja? És ha azt akarja, hogy a rosszat?

Az Idegen (I) kiköt egy szigeten, ahol csak lovagok és lókötők laknak. Elkezd beszélgetni három bennszülöttel (A, B, C ). I (A-hoz): Melyik csoporthoz tartozol? A: (érthetetlen válasz) I (B-hez): Mit mondott A? B: Azt mondta, hogy ő lókötő. C: Ne higgyen B-nek, hazudik. Hova tartozik B és C? És A? I (A-hoz): Hány lovag van köztetek? A: (megint érthetetlen válasz) I (B-hez): Mit mondott A? B: Azt, hogy egy. C: Ne higgyen B-nek, hazudik. Ebből mi derült ki?

„Minden krétai hazudik” – mondta egy krétai. (Tit. I. 12. nyomán) „Minden krétai hazudik” – mondta egy krétai, és egyetlen más krétai se szólt a világon egy szót se. Jean Buridan stílusában

A hetedik dián most látható mondat hamis. Hazug-mondat: akkor és csak akkor igaz, ha hamis. Kontingens hazug-mondat: olyan mondat, ami valamilyen C feltétel teljesülése esetén akkor is csak akkor igaz, ha hamis. 4. dia: nézzük újra a második feladatot, de tételezzük fel, hogy B igazat mond. Még egy változat: A: Az A, B, C mondatok közül pontosan egy igaz. B: 2*2=4 C: 2*2=5 Lehetséges-e ilyen a matematikában?

{x: A(x)} azoknak a dolgoknak a halmaza, amelyekre az A(x) nyitott mondat igaz. R= {x: x x} Mit mondhatunk az R R’ mondatról? Russell-paradoxon (Bertrand RUSSELL, 1901) Feloldás: nyitott mondatokkal osztályokat lehet definiálni. Egyes osztályok halmazok (azaz elemei lehetnek más osztályoknak), mások pedig nem. R a Russell osztály. A Russell-osztály nem halmaz.

Smullyan gödeli automatája Legyen egy gépünk, amely véges jelsorozatokat nyomtat ki (egymás alatti sorokba, egy végtelen papírra) a következő jelkészletből: , P, N , (, ) Nevezzük az X jelsorozat normájának az X(X) jelsorozatot. Egyes jelsorozatok mondatok, az alábbi értelmezés szerint: P(X) annyit jelent, hogy az X jelsorozat kinyomtatható. (Azaz ha elég sokáig várunk, az X jelsorozat meg fog jelenni a papíron. ) P(X) : X nem nyomtatható ki. PN(X): X normája kinyomtatható. PN(X): X normája nem nyomtatható ki. Tegyük fel, hogy a gépünk igazmondó, azaz ha kinyomtat egy mondatot, akkor az a mondat igaz. Bizonyítsuk be, hogy nem tud minden igaz mondatot kinyomtatni. Segítség: keressünk olyan mondatot, amelyik saját magáról állítja, hogy nem nyomtatható ki. PN( PN)

Hilbert-iskola (1920 -as évek): minden axiomatikus elmélet olyasmi, mint Smullyan automatája: adott kiinduló jelsorozatokból (axiómák) újabbakat állít elő mechanikus szabályok alapján (levezetés). A szabályok megválasztása biztosítja, hogy ha a kiinduló jelsorozatok igaz mondatok, akkor a kimenetek is igaz mondatok lesznek. Ha az elmélet dolgok egy olyan osztályáról szól, amelyben ott vannak a természetes számok, akkor egyes mondatait lehet úgy értelmezni, mint az elmélet mondatairól szóló állításokat. Ez az értelmezés a Gödel-számozás. És a mondatok között mindig lesz egy olyan, amelyik ebben az értelmezésben azt jelenti, hogy ő maga nem levezethető. Ezaz elmélet G Gödel-mondata. Tehát ha G levezethető, akkor levezethető egy hamis mondat. Ha G nem vezethető le, akkor igaz. Az igazság és a levezethetőség ilyen elméleteknél soha nem eshet egybe. Ha egybeesne, a G-mondat hazug-mondat lenne. Gödel (1. ) nemteljességi tétele (Kurt GÖDEL, 1931).