Gazdasgstatisztika RSZEKRE BONTOTT SOKASG VIZSGLATA 2016 oktber 20

Gazdaságstatisztika RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA 2016. október 20. Gazdaságstatisztika, 2015

Részekre bontott sokaság vizsgálata n 2 Gazdaságstatisztika, 2015

Példa A C 90 80 70 Vonatok száma 60 50 40 30 20 A 10 B C D 0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 Utasok száma 125 135 Van-e kapcsolat B a vonat célállomása (minőségi ismérv) és a vonaton utazók száma között (mennyiségi ismérv)? Ha igen, milyen szoros ez a kapcsolat? Gazdaságstatisztika, 2015 145 155 165 175 185 195 D 3

Fősokaság 1. részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 4 Gazdaságstatisztika, 2015

Rész- és főátlagok 1. részsokaság Fősokaság A j-edik részsokaság értékösszege 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság N 5 Gazdaságstatisztika, 2015

Teljes-, belső- és külső eltérés Fősokaság 1. részsokaság 2. részsokaság dij Bij Kj M. részsokaság i. részsokaság 6 Gazdaságstatisztika, 2015

Teljes-, belső- és külső eltérés n n A szórásszámítás alapja: belső eltérés Csoportképző ismérven kívüli összes egyéb tényezőnek tulajdonítható külső eltérés Csoportképző ismérvnek tulajdonítható A teljes eltérés azt mutatja, hogy Yij eltérhet a főátlagtól, mert: o o az ismérvértékek ingadoznak a részátlag körül => belső eltérések a részátlagok ingadoznak a főátlag körül => külső eltérések 7 Gazdaságstatisztika, 2015

Teljes szórás Fősokaság 1. részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 8 Gazdaságstatisztika, 2015

Részszórás 1. részsokaság Fősokaság 2. részsokaság M. részsokaság 3. részsokaság 9 Gazdaságstatisztika, 2015

Belső szórás 1. részsokaság Fősokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 10 Gazdaságstatisztika, 2015

A részvarianciák és a belső variancia kapcsolata n A j-edik részsokaság varianciája n Ebből n Egyes részvarianciák részsokasági elemszámmal súlyozott számtani átlaga A belső variancia 11 2016. ősz Gazdaságstatisztika, 2015

Külső szórás 1. részsokaság Fősokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság Gazdaságstatisztika, 2015 12

Teljes-, belső- és külső szórás n Teljes szórás n Részszórás: o n A j-edik részsokaság szórása Belső szórás o n Teljes eltérés-négyzetösszeg: SST A fősokaság egyes egységeihez tartozó Yij ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól – a részsokaságok összességére vonatkozik Belső eltérés-négyzetösszeg: SSB Külső szórás o A részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól Külső eltérés-négyzetösszeg: SSK 13 2016. ősz Gazdaságstatisztika, 2015

SST=SSB+SSK n Teljes eltérés-négyzetösszeg: n Belső eltérés-négyzetösszeg: n Külső eltérés-négyzetösszeg: SST=SSB+SSK 14 Gazdaságstatisztika, 2015

Bizonyítás n Az egyenlet bal oldalát átírva: SSB+SSK n n =0? ? ? A számtani átlag megismert tulajdonsága: Így: 15 Gazdaságstatisztika, 2015

A teljes-, a belső- és a külső variancia kapcsolata 16 2016. ősz Gazdaságstatisztika, 2015

SST, SSB, SSK n Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának o o SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. n SSK csak a külső eltérésektől függ. SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. n SSB csak a belső eltérésektől függ. 17 2016. ősz Gazdaságstatisztika, 2015

Ismérvek közötti kapcsolat n Két ismérv, X és Y között háromféle kapcsolat lehetséges: o o o n A két ismérv független egymástól. A két ismérv között sztochasztikus kapcsolat van: nincs egyértelmű függvénykapcsolat, de egy tendencia jellegű kapcsolat van A két ismérv függvényszerű, determinisztikus kapcsolatban van: ez azt jelenti, hogy az egyik ismérv adott értékéhez a másik ismérv adott értéke tartozik. Ismérvek közötti kapcsolat elemzése: 1. 2. 3. Van-e kapcsolat a vizsgált ismérvek között? Milyen szoros a kapcsolat? Hogyan lehet felhasználni az ismérvek közötti kapcsolat természetének ismeretét arra, hogy egy adott egység bizonyos ismérvek szerinti milyenségéből következtethessünk annak más ismérv szerinti hovatartozására? 18 Gazdaságstatisztika, 2015

Egyidejűleg vizsgált két ismérv közötti kapcsolat a változók mérési szintje szerint n n Asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű) Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi, a másik pedig minőségi vagy területi ismérv (az egyik változó különbségi vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető) Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó különbségi vagy arányskálán mérhető) Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető 19 Gazdaságstatisztika, 2015

Vegyes kapcsolat szorossága, a varianciahányados n n n X: csoportképző minőségi ismérv Y: mennyiségi ismérv X és Y kapcsolatának szorosságát mérő mutatót H 2 -tel jelöljük, és varianciahányadosnak, vagy szórásnégyzet-hányadosnak nevezzük: A H 2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. H 2=0, ha SSK=σ2 k=0, vagyis az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai egyformák H 2=1, ha σ2 k= σ2 T, azaz σ2 B=0, vagyis az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y. 2016. ősz Gazdaságstatisztika, 2015 20

A vegyes kapcsolat szorosságának mérése: a szóráshányados n n H a szóráshányados, ami ugyancsak 0 és 1 között mozog. H=0 értéke a vizsgált két ismérv függetlenségét jelzi, H=1 pedig az X és Y közötti függvényszerű kapcsolatra utal. Nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0 -hoz, illetve az 1 -hez való közelségét figyelembe véve. 21 Gazdaságstatisztika, 2015

Példa A Gazdaságstatisztika tantárgy 2015/2016 őszi félévének első zárthelyijén elért eredményeket vizsgáljuk. Az érintett szakokhoz kapcsolódó eredményeket foglalja össze az alábbi táblázat: Szak AK GM MM NG Összesen Zh-t megírók száma (fő) 2 116 156 108 382 átlagok 15 14, 98 15, 86 16, 19 Tapasztalati szórások 4, 24 6, 25 6, 27 Értelmezzük a táblázatban szereplő értékeket! Vizsgáljuk meg a szóródást, és számszerűsítsük, hogy a szak az elért eredmények ingadozását milyen mértékben magyarázza! Mennyire erős a kapcsolat a szak és az elért eredmény között? Gazdaságstatisztika, 2015

Példa n Főátlag: Szak AK GM MM NG Összesen Zh-t megírók száma (fő) 2 116 156 108 382 Gazdaságstatisztika, 2015 átlagok 15 14, 98 15, 86 16, 19 Tapasztalati szórások 4, 24 6, 25 6, 27

Példa n Varianciahányados mutató: n Szóráshányados mutató: A szak szerinti hovatartozás a pontszámok ingadozásának 0, 6%-át magyarázza… Igen gyenge a kapcsolat a szak szerinti hovatartozás és az elért eredmények között. Gazdaságstatisztika, 2015 24

Példa n Ismeretes, hogy a budapesti lakótelepeken a lakásárak különböző tényezők következtében lényegesen eltérnek egymástól. Ennek illusztrálása céljából egy hirdetési újságból kigyűjtötték mindazoknak a 3+1 fél szobás lakásoknak az árát, amelyek egy adott napon az újságban Budapest III. kerületében meghirdetésre kerültek. A négy lakótelepről aznap eladásra kínált sokaságokat egy-egy részsokaságnak tekintették. Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza (m. Ftban): 25 Gazdaságstatisztika, 2015

Példa n Első feladatunk az, hogy határozzuk meg és hasonlítsuk össze egymással az egyes részsokaságokba tartozó lakások átlagos kínálati árát, és állítsuk elő azokból az adott napon eladásra kínált 45 lakás átlagos árát. 26 Gazdaságstatisztika, 2015

Példa 27 Gazdaságstatisztika, 2015

28 Gazdaságstatisztika, 2015

29 Gazdaságstatisztika, 2015

30 Gazdaságstatisztika, 2015

31 Gazdaságstatisztika, 2015

Példa Varianciahányados: vegyes kapcsolat (mennyiségi ismérv: ár; területi ismérv: lakás elhelyezkedése) A kínálati lakásárak ingadozásának mintegy 71%-a azzal magyarázható, hogy a lakás a négy lakótelep közül melyiken található. Az ingadozás 29%-a pedig egyéb, itt külön nem vizsgált tényezőknek (pl. hányadik emeleten van a lakás, milyen a tájolása, tömegközlekedési viszonyok, a lakótelep infrastruktúrája stb. ) tulajdonítható. Szóráshányados: Közepesnél erősebb kapcsolat a két ismérv között. 32 Gazdaságstatisztika, 2015

1. példa Egy vállalatnál megvizsgálják a férfiak és a nők kereseteit. Jellemezze a munkavállalók keresetének homogenitását, állapítsa meg, hogy milyen szoros a kapcsolat a munkavállaló neme és a bruttó keresete között! Nem Bruttó kereset (ezer Ft/hó) Férfi 120, 83, 65, 190, 230, 120, 130, 190 Nő 70, 65, 90, 100, 120, 130 Megoldás: A kereset szerinti szóródást két részre kell bontani, a „Munkavállaló neme” ismérvhez kapcsolódó külső szórásra és a más tényezőkhöz (pl. tapasztalat, iskolai végzettség stb. ) kapcsolható belső szóródásra az SST=SSK+SSB összefüggés alapján. Gazdaságstatisztika, 2015 33

1. példa n Nem Férfi Nő Bruttó kereset (ezer Ft/hó) 120, 83, 65, 190, 230, 120, 130, 190 70, 65, 90, 100, 120, 130 Részátlagok: A vizsgált férfiak átlagkeresete 141 e. Ft/hó A vizsgált nők átlagkeresete 95, 83 e. Ft/hó A vizsgált vállalat esetében az átlagkereset 121, 64 e. Ft/hó. Gazdaságstatisztika, 2015 34

1. példa n Nem Férfi Nő Bruttó kereset (ezer Ft/hó) 120, 83, 65, 190, 230, 120, 130, 190 70, 65, 90, 100, 120, 130 Részszórások: a férfiak esetében az átlagkeresettől való átlagos eltérés 53, 46 e. Ft/hó a nők esetében az átlagkeresettől való átlagos eltérés 23, 88 e. Ft/hó Gazdaságstatisztika, 2015 35

1. példa n Belső szórás n Külső szórás: n Teljes szórás: a vizsgált vállalat esetében az átlagos keresettől való átlagos eltérés (a részátlagoktól való átlagos eltérés) 43, 33 e. Ft/hó. a nemenkénti átlagkeresetek átlagosan 22, 35 e. Ft/hó-val térnek el a főátlagtól az egyes munkavállalók keresete átlagosan 48, 76 e. Ft/hó-val tér el a főátlagtól Gazdaságstatisztika, 2015 36

1. példa n SST=SSK+SSB SST = SSK +SSB= 6995, 41 + 26285, 3 = 33280, 71 n Varianciahányados: A munkavállaló neme 21%-ban magyarázza a fizetésekben megfigyelhető szóródást. n Szóráshányados: A két ismérv között gyenge közepes kapcsolat van Gazdaságstatisztika, 2015 37

2. példa Három hallgatói csoportot vizsgálunk. Az első csoportba azok a hallgatók kerültek, akik a szüleikkel laknak, a másik csoportba pedig azok, akik kollégiumban, míg a harmadik csoportba azok kerültek, akik albérletben laknak. Az alábbi táblázat mutatja az egyes csoportokban megkérdezett hallgatók heti költéseit ezer Ft-ban. Számítsuk ki az átlagos heti kiadást a különböző lakáshelyzetű hallgatói csoportokban! Vonjunk le következtetéseket! Vizsgáljuk meg a szóródást különböző módokon! Számítsuk ki, hogy a szóródás milyen mértékben magyarázható a lakáshelyzettel! Milyen szoros a kapcsolat a lakhely és a kiadások között? Hallgató lakhelye Szülőknél Kollégiumban Albérletben Heti költség (e. Ft) 13, 18, 20, 28, 30, 31, 40 25, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 44, 50 40, 48, 50, 52 Gazdaságstatisztika, 2015 38

2. példa n Átlagos heti kiadások kiszámítása: A szülőknél lakók átlagos heti kiadása 25 e. Ft, a kollégistáké 36 e. Ft, és az albérletben lakóké 48 e. Ft, így ez utóbbi csoport esetében a legmagasabb a heti kiadás. A megkérdezett hallgatók átlagos heti költsége 34, 83 e. Ft. Hallgató lakhelye Szülőknél Kollégiumban Albérletben Heti költség (e. Ft) 13, 18, 20, 28, 30, 31, 40 25, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 44, 50 40, 48, 50, 52 Gazdaságstatisztika, 2015 39

2. példa n Részszórások kiszámítása: Hallgató lakhelye 8, 2 Heti költség (e. Ft) A szülőknél lakók átlagos költése átlagosan e. Ft-tal tér el az átlagtól, Szülőknél az átlagtól való átlagos 13, 18, 20, 28, 30, 31, 40 eltérés 6, 9 e. Ft a kollégistáknál és 4, 2 e. Ft az 25, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 44, 50 Kollégiumban albérletben lakóknál Albérletben 40, 48, 50, 52 Gazdaságstatisztika, 2015 40

2. példa n Belső szórás: a hallgatók heti költése átlagosan 6, 92 e. Ft-tal tér el a saját részsokaságuk (lakhely szerint számított) átlagától n Külső szórás: az egyes részsokságok költésének átlagai 8, 3 e. Ft-tal térnek el a heti költések főátlagától n Teljes szórás: Az egyes hallgatók heti költése átlagosan 10, 81 e. Ft-tal tér el a vizsgálatba bevont hallgatók átlagos heti költségétől Gazdaságstatisztika, 2015 41

2. példa n Vegyes kapcsolat mérése o Varianciahányados A heti költések ingadozását 59%-ban magyarázza a hallgató lakhelye o Szóráshányados a két ismérv (hallgató lakhelye és a heti költés) között közepesnél erősebb kapcsolat áll fenn Gazdaságstatisztika, 2015 42

Köszönöm a figyelmet! Árva Gábor Gazdaságstatisztika, 2015