Gazdasgstatisztika MINTAVTEL LER STATISZTIKA 2016 oktber 11 oktber

Gazdaságstatisztika MINTAVÉTEL, LEÍRÓ STATISZTIKA 2016. október 11. , október 13. 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Tudnivalók a következő 4 előadásra n Árva Gábor Ph. D hallgató o o n Első zárthelyi o o n arva@mvt. bme. hu QB 303 A Eredmények az ÜTI weblapon Pót ZH: 2016. 10. 21 12: 00 -tól, beosztás később Segédanyagok o o o Gazdaságstatisztika jegyzet II. rész (A matematikai statisztika alapjai) Gazdaságstatisztika példatár II. rész (A matematikai statisztika alapjai) Képletgyűjtemény (A matematikai statisztika alapjai) 2 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Tudnivalók a következő 4 előadásra n n 2016. 10. 11: Alapfogalmak, adatok csoportosítása és ábrázolása 2016. 10. 13: Leíró statisztikai mutatószámok 2016. 10. 18: Részekre bontott sokaság vizsgálata 2016. 10. 20: Feladatmegoldások 3 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Az előadás felépítése 1. 2. 3. 4. 5. 6. A matematikai statisztika tárgya Mintavételi alapok, mintavételi hiba Statisztikai sokaságok és ismérvek csoportosítása Mérési szintek, mérési skálák Leíró statisztika tárgya, célja, eszközei Adatok csoportosítása, osztályozása, ábrázolása 2016 ősz Gazdaságstatisztika 4

Valószínűségszámítás - Matematikai statisztika n n Valószínűségszámítás: a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata Valószínűségelmélet: ismert az eloszlásfüggvény és annak paraméterei Valóság: nem ismert az eloszlásfüggvény és/vagy annak paraméterei A matematikai statisztika célja: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire. o mintavétel, o adatfeldolgozás, o leíró statisztika, o következtető statisztika 5 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Matematikai statisztika lényege Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Következtetés A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók. Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki 2016 ősz Gazdaságstatisztika A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye 6

Mintavétel – részleges megfigyelés n n n Cél: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által A MINTA CSAK ESZKÖZ A SOKASÁG TELJES MEGISMERÉSÉHEZ! A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat! o o a statisztika szükségszerű velejárója, mintavételi hiba meghatározása 7 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Mintavételi és nem mintavételi hiba o o o Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA n Védekezési mechanizmus: alkalmazott technikák, technológiák fejlesztése A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA n Védekezési mechanizmus: olyan mintavételi eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta. 8 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Mintavételi hiba n n n A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől. 9 2016 ősz Gazdaságstatisztika

A sokaságok csoportosítása n n n Álló sokaság: állapotot fejez ki, adatai időpontra értelmezhetőek. Mozgó sokaság: folyamatot fejez ki, időtartamra értelmezhető. Diszkrét sokaság: elkülönülő egységekből áll. Folytonos sokaság: olyan tömegből áll, amelynek egységeit önkényesen határozzuk meg. Véges sokaság: térben és időben lehatárolt egyedek összessége Végtelen sokaság: a megfigyelhető egységek száma korlátlan 10 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Ismérvek csoportosítása n Ismérv: Olyan szempont(ok), amely(ek) alapján a sokaságot megfigyeljük, a sokaság egységeinek jellemzője. o n n Közös és megkülönböztető ismérv Ismérv változat: az ismérv lehetséges kimeneteleit ismérv változatnak (tulajdonságnak) nevezzük. Alternatív ismérv: a két változattal rendelkező ismérvet alternatív ismérvnek nevezzük. Mennyiségi ismérv: méréses jellemző, kvantitatív változó. A sokaság egységeire vonatkozó számszerű megjelölést jelent, egy számmal írható le, amellyel matematikai műveletek végezhetők. Nem mennyiségi ismérv: a sokaság egységeire vonatkozóan valamilyen kategóriát rögzít, típusa szerint lehet időbeli, területi és minőségi ismérv. 11 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Ismérvek méréselméleti vonatkozásai n n A mérési skálákat, a mérés szintjét a hozzárendelési szabályok határozzák meg. A számok különféle relációk és műveletek szerint alkothatnak formális rendszert: egyenlőség, sorrendiség, additivitás. l. vagy A=B vagy A B 2. ha A=B, akkor B=A 3. ha A=B és B=C, akkor A=C 4. ha A B, akkor B<A 5. ha A B és B C, akkor A C 6. ha A=P és B 0, akkor A+B P 7. A+B=B+A 8. ha A=P és B=Q, akkor A+B=P+Q 9. (A+B)+C=A+(B+C) Egyenlőségi axiómák Sorrendiségi axiómák Additivitási axiómák 12 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Nominális (névleges) skála n Legegyszerűbb mérési forma: számok kötetlen hozzárendelés dolgokhoz. o o n n az egyedi objektumok azonosító számozása; osztályok azonosítása (az egyes osztályokon belül lévő objektumok azonos számot kapnak). Az objektumokhoz rendelt szimbólumok, számok csak az objektumok, vagy azok osztályainak azonosítására szolgálnak (egyéb jelentésük nincs!) Követelmény: megkülönböztethetőség, így csak az egyenlőségi reláció értelmezhető. l. vagy A=B vagy A B 2. ha A=B, akkor B=A 3. ha A=B és B=C, akkor A=C n n Példa: útlevélszám, repülőjáratok számozása, mezszámok Számítható statisztikai mutató: osztályok azonosítása esetén a gyakoriság, modális osztály 13 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Sorrendi (ordinális) skála n n Az egységeket valamilyen közös tulajdonság alapján összehasonlítjuk: a skála az egységek viszonylagos helyét is meghatározza, rendezi azokat. Egyenlőségi és sorrendiségi relációk: 4. ha A B, akkor B<A 5. ha A B és B C, akkor A C n n A sorrendi skálán mért egységek nincsenek egymástól egyenlő távolságra! Számtani átlag és szórás nem számítható!!!!! Számítható a kvantilis, medián, rangkorrelációs együttható. Bármilyen sorrendmegőrző transzformáció végezhető. Példa: termékek minőségi osztályozása, kérdőíves felméréseknél 3, 5, 7 fokozatú skála, tűzveszélyességi osztály, 1 -2 osztály a vonaton 14 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Intervallum skála n n n Sorrendi skála tulajdonságai + a skála bármelyik két pontja közötti különbség, távolság is értelmezhető. Nincs rögzített nullpont, a skála nullpontját és mértékegységét szabadon választhatjuk meg. A közös és állandó mértékegység jellemzi és a számokat ennek alapján rendeljük a sorba rendezett dolgokhoz. A skála bármilyen lineáris transzformációja megengedett. A mértani átlag és a relatív szórás kivételével valamennyi statisztikai jellemző és mutató számítható. Például: hőmérséklet, naptári idő, tengerszint feletti magasság, intelligencia 15 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Arányskála n n Legmagasabb rendű, a legerősebb mérési formát jelenti. Rendelkezik a korábbi skálák tulajdonságaival és teljesülnek az additivitási követelmények is: 6. ha A=P és B 0, akkor A+B P 7. A+B=B+A 8. ha A=P és B=Q, akkor A+B=P+Q 9. (A+B)+C=A+(B+C) n n A skálának valódi nullpontja van, és bármelyik két pontjának aránya független a mértékegységtől. Például: testsúly, termelés, forgalom, jövedelem, kereset stb. mérése 16 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Ismérvek és mérési skálák Ismérv Mérési skála Területi Nominális skála Minőségi Sorrendi skála Mennyiségi Intervallum skála Időbeli Arányskála 17 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Statisztikai módszertan ágai n n LEÍRÓ vagy DESKRIPTÍV statisztika o tömör, számszerű jellemzés: a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglalására törekszik. Például: o Népszámlálási adatok feldolgozása, elemzése, a népesség számával, összetételével kapcsolatos jellemzők közzététele, megjelenítése o Gazdasági szervezetek legfontosabb adatainak közzététele statisztikai évkönyvekben o Lakásépítésről, oktatásról készített statisztikai összefoglaló o Vállalat gazdálkodásának vizsgálata 2016 ősz Gazdaságstatisztika 18

Statisztikai módszertan ágai n KÖVETKEZTETŐ statisztika o Fő célja a mintából való következtetés, általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan. n Például: o Minőség-ellenőrzés o Lakosság jövedelmi különbségeinek elemzése o Ingatlan árbecslések o Befektetési tanácsadások o Könyvvizsgálat o Mezőgazdaság 2016 ősz Gazdaságstatisztika 19

Matematikai statisztika lényege Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Következtetés A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók. Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki 2016 ősz Gazdaságstatisztika A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye 20

Leíró statisztika n Főbb területei: 1. adatgyűjtés 2. adatok ábrázolása 3. adatok csoportosítása, osztályozása 4. adatokkal végzett egyszerűbb aritmetikai műveletek 5. eredmények megjelenítése 21 2016 ősz Gazdaságstatisztika

1. Adatgyűjtés n Egyedi mérések adatai: o n Egy diszkrét mennyiségi ismérv csak véges vagy megszámlálhatóan sok, egymástól jól elkülöníthető értéket vehet fel. o n Diszkrét vagy folytonos Pl: háztartások nagysága, gazdálkodó szervezetek nagysága, balesetek száma, mogyorós csokiban a mogyorók száma, adott időszak alatti meghibásodások száma Egy folytonos mennyiségi ismérv valamely adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet. o Pl. háztartások jövedelme, lakások alapterülete, gépkocsi abroncsok futásteljesítménye, Bux index havi hozamadata 22 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Adatfelvételi módok Adatfelvétel Teljes körű – csak véges sokaság esetén (pl. népszámlálás) Kísérleti eredmények gyűjtése reprezentativitás Mintavételes megfigyelés Véletlen(szerű) kiválasztás Részleges Egyéb részleges megfigyelés Nemvéletlen(szerű) kiválasztás Mintavételi hiba ismert vagy meghatározható a sokaság elemeinek számszerűsítési képessége mintába kerülési esélye 2016 ősz Gazdaságstatisztika 23

2. Az adatok ábrázolása n vonaldiagram Eszközei: oszlopdiagram kördiagram sávdiagram 24 2016 ősz Gazdaságstatisztika

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n n n Egy mennyiségi ismérv szerinti rendezés és osztályozás o X mennyiségi ismérv (változó), Xi (ismérv)érték Rangsor o A rangsor a megfigyelési egységeknek és/vagy azokhoz tartozó Xi ismérvértékeknek monoton nemcsökkenő sorrendben történő felsorolása. o Készítésének célja: megkönnyítse a sokaság egységeinek X változó szerinti osztályozását Osztályozás o Gyakorisági sor, gyakorisági eloszlás 25 2016 ősz Gazdaságstatisztika

3. Adatok csoportosítása, osztályozása Az X szerint képzett osztály alsó Osztályközép felső abszolút relatív gyakoriság határa X 10 X 11 X 1* f 1 g 1 X 20 X 21 X 2* f 2 g 2 Xi 0 Xi 1 Xi* fi gi … … … Xk 0 Xk 1 Xk * fk gk N 1 Összesen Osztályközhosszúság: 26 2016 ősz Gazdaságstatisztika

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n X ismérv szerinti osztályozás kérdései: o o n Az X változó diszkrét, és az általa felvehető értékek száma kicsi n Annyi osztályt képezünk ahány különböző X érték lehetséges n az i-edik osztály esetében fennáll az alsó és felső osztályhatár egybeesése Az X változó folytonos, vagy diszkrét ugyan, de az általa felvehető különböző értékek száma nagy n X lehetséges értékeinek tartományát osztályközökre bontjuk n az i-edik osztályköz Xi 1 felső határa nem eshet egybe az (i+1)-dik osztályköz Xi+1, 0 alsó határával Hány osztályt képezzünk? o Az osztályok számának és határainak egy bizonyos sávon belüli változtatása nem nagyon befolyásolja a grafikus képet. (5 -15 osztály) 27 2016 ősz Gazdaságstatisztika

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n 28 2016 ősz Gazdaságstatisztika

3. Adatok csoportosítása, osztályozása n 29 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Példa – kevés számú diszkrét adat n A Gazdaságstatisztika c. tárgyat a 2012 őszi félévben felvett hallgatók érdemjegyeinek gyakorisági táblázata Diszkrét ismérv által felvehető értékek pálcikadiagram lépcső alakú diagram 30 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Pálcikadiagram – diszkrét adat Érdemjegy Tapasztalati gyakoriság Relatív gyakoriság (fi) (gi) 1 68 0, 089 2 280 0, 368 3 274 0, 361 4 91 0, 120 5 47 0, 062 Összesen 760 1 31 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Lépcső alakú diagram Érdemjegy 1 2 3 4 5 Kumulált tapasztalati gyakoriság (fi) 68 348 622 713 760 Kumulált relatív gyakoriság (gi) 0, 089 0, 458 0, 818 0, 938 1 32 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Példa – nagy számú folytonos adat hónap 2005. március 2005. április 2005. május 2005. június 2005. július 2005. augusztus 2005. szeptember 2005. október 2005. november 2005. december 2006. január 2006. február 2006. március 2006. április 2006. május 2006. június 2006. július 2006. augusztus 2006. szeptember 2006. október 2006. november 2006. december 2007. január 2007. február 2007. március hozam -7, 188% -4, 360% 3, 185% 10, 292% 10, 053% 4, 021% 6, 182% -11, 159% 3, 112% -1, 857% 6, 599% 4, 480% -0, 669% 5, 447% -13, 671% 0, 764% 5, 398% -2, 072% -1, 713% 2, 883% 2, 161% 8, 234% -3, 210% -2, 902% 0, 222% hónap 2007. április 2007. május 2007. június 2007. július 2007. augusztus 2007. szeptember 2007. október 2007. november 2007. december 2008. január 2008. február 2008. március 2008. április 2008. május 2008. június 2008. július 2008. augusztus 2008. szeptember 2008. október 2008. november 2008. december 2009. január 2009. február 2009. március 2009. április hozam 8, 200% 4, 917% 7, 997% 1, 152% -6, 569% 3, 616% -3, 696% -6, 113% 1, 836% -11, 116% 0, 111% -7, 927% 3, 986% -0, 057% -10, 216% 8, 558% -5, 564% -10, 735% -33, 440% -6, 192% -3, 634% -6, 110% -12, 233% 8, 298% 15, 066% hónap 2009. május 2009. június 2009. július 2009. augusztus 2009. szeptember 2009. október 2009. november 2009. december 2010. január 2010. február 2010. március 2010. április 2010. május 2010. június 2010. július 2010. augusztus 2010. szeptember 2010. október 2010. november 2010. december 2011. január 2011. február 2011. március 2011. április 2011. május hozam 14, 878% 2, 533% 12, 038% 11, 520% 4, 223% 1, 698% 1, 132% 1, 999% 2, 808% -2, 616% 13, 104% 2, 119% -11, 369% -4, 881% 5, 612% 1, 320% 2, 963% -0, 402% -11, 464% 3, 276% 6, 280% 1, 946% -0, 414% 4, 667% -3, 304% hónap 2011. június 2011. július 2011. augusztus 2011. szeptember 2011. október 2011. november 2011. december 2012. január 2012. február 2012. március 2012. április 2012. május 2012. június 2012. július 2012. augusztus 2012. szeptember 2012. október 2012. november 2012. december 2013. január 2013. február 2013. március 2013. április 2013. május 2013. június hozam -2, 963% -4, 857% -15, 731% -15, 778% 10, 947% 0, 196% -3, 817% 10, 699% 2, 072% -3, 433% -2, 173% -12, 454% 7, 427% 0, 385% 0, 606% 5, 956% 3, 343% -5, 098% -0, 505% 6, 368% -2, 950% -5, 170% 2, 372% 5, 203% -1, 247% 33 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Példa – nagy számú folytonos adat n Rangsor -15, 778% -10, 216% -4, 881% -2, 950% -0, 414% 1, 152% 2, 533% 4, 021% 6, 182% 10, 053% -15, 731% -7, 927% -4, 857% -2, 902% -0, 402% 1, 320% 2, 808% 4, 223% 6, 280% 10, 292% -13, 671% -7, 188% -4, 360% -2, 616% -0, 057% 1, 698% 2, 883% 4, 480% 6, 368% 10, 699% -12, 454% -6, 569% -3, 817% -2, 173% 0, 111% 1, 836% 2, 963% 4, 667% 6, 599% 10, 947% -12, 233% -6, 192% -3, 696% -2, 072% 0, 196% 1, 946% 3, 112% 4, 917% 7, 427% 11, 520% -11, 464% -6, 113% -3, 634% -1, 857% 0, 222% 1, 999% 3, 185% 5, 203% 7, 997% 12, 038% -11, 369% -6, 110% -3, 433% -1, 713% 0, 385% 2, 072% 3, 276% 5, 398% 8, 200% 13, 104% -11, 159% -5, 564% -3, 304% -1, 247% 0, 606% 2, 119% 3, 343% 5, 447% 8, 234% 14, 878% -11, 116% -5, 170% -3, 210% -0, 669% 0, 764% 2, 161% 3, 616% 5, 612% 8, 298% 15, 066% -10, 735% -5, 098% -2, 963% -0, 505% 1, 132% 2, 372% 3, 986% 5, 956% 8, 558% A teljes értékköz: 30, 844 (%) 34 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Példa – nagy számú folytonos adat No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. osztály Osztály. Alsó Felső köz határ -20% -15% -17, 50% -15% -10% -12, 50% -10% -5% -7, 50% -5% 0% -2, 50% 0% 5% 2, 50% 5% 10% 7, 50% 15% 12, 50% 15% 20% 17, 50% összesen fi fi’ 2 9 9 23 32 15 8 1 99 gi [%] 2 11 20 43 75 90 98 99 2, 02% 9, 09% 23, 23% 32, 32% 15, 15% 8, 08% 1, 01% 100, 00% gi’ [%] 2, 02% 11, 11% 20, 20% 43, 43% 75, 76% 90, 91% 98, 99% 100, 00% GYAKORISÁGI TÁBLÁZAT 35 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Példa- a gyakorisági táblázat adatainak értelmezése Alsó határ Felső határ fi fi’ gi gi’ -5% 0% 23 43 23, 23% 43, 43% § fi: A BUX index hozama 23 hónapban volt -5% és 0% között § fi’: A BUX index hozama 43 hónapban volt 0%-nál kisebb § gi: A BUX index hozama a megfigyelt hónapok 23, 23 %ban (99 -ből 23 hónapban) volt -5% és 0% között § gi’: A BUX index hozama a megfigyelt hónapok 43, 43%ban volt 0%-nál kisebb 36 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Gyakorisági hisztogram alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen felső határ osztály gi [%] közép -15, 00% -17, 5% 2, 02% GYAKORISÁGI HISZTOGRAM -10, 00% -12, 5% 9, 09% (tapasztalati sűrűségfüggvény) -5, 00% -7, 5% (empirikus) 9, 09% 0, 00% -2, 5% 23, 23% 5, 00% 2, 5% 32, 32% 10, 00% 7, 5% 15, 15% 15, 00% 12, 5% 8, 08% 20, 00% 17, 5% 1, 01% 100, 00% Gyakoriság vonaldiagramja 37 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Gyakorisági vonaldiagram 50% Relatív gyakoriság 40% 32. 32% 30% 23. 23% 20% 15. 15% 9. 09% Gyakorisági görbe 10% 8. 08% 2. 02% 9. 09% 1. 01% 0% -17. 50% -12. 50% -7. 50% -2. 50% Osztályközép 7. 50% 12. 50% 17. 50% 38 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Kumulált relatív gyakorisági hisztogram alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen 2016 ősz felső határ osztály közép -15, 00% -17, 5% -10, 00% -12, 5% -5, 00% -7, 5% 0, 00% -2, 5% 5, 00% 2, 5% 10, 00% 7, 5% 15, 00% 12, 5% 20, 00% 17, 5% g’i [%] 2, 02% 11, 11% 20, 20% 43, 43% 75, 76% 90, 91% 98, 99% 100, 00% Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Gazdaságstatisztika 39

Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény) Ogiva 40 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Feladat- 2 pluszpont n 200, véletlenszerűen kiválasztott gimnazista matematika érettségin elért pontszámát, illetve az ez alapján kapott érdemjegyet vizsgáltuk. Készítsen gyakorisági táblázatot és ábrázolja a gyakorisági sort valamint a kumulált relatív gyakoriságokat mind a kapott érdemjegyek, mind a kapott pontszám szerint! Érdemjegy Pontszám Tanulók száma 1 16 2 44 3 56 4 60 5 24 41 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Összefoglalás n Matematikai statisztika lényege o o n n Sokaságok és ismérvek csoportosítása Mérési skálák o n Intervallum és arányskálán mért mennyiségekkel dolgozunk Leíró statisztika o o o n Következtetés a minta alapján a sokaság ismeretlen tulajdonságaira Mintavételi és nem mintavételi hiba Adatok gyűjtése Ábrázolás Csoportosítás Hogyan tovább? o Leíró statisztikai mutatószámok: középérték és ingadozásmutatók 42 2016 ősz Gazdaságstatisztika

Köszönöm a figyelmet! Árva Gábor 2016 ősz Gazdaságstatisztika