Gazdasgstatisztika LER STATISZTIKA HETEROGN SOKASG BECSLSELMLET sszefoglals 2017

Gazdaságstatisztika LEÍRÓ STATISZTIKA, HETEROGÉN SOKASÁG, BECSLÉSELMÉLET Összefoglalás 2017. október 31. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Valószínűségszámítás - Matematikai statisztika n n Valószínűségszámítás: a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata Valószínűségelmélet: ismert az eloszlásfüggvény és annak paraméterei Valóság: nem ismert az eloszlásfüggvény és/vagy annak paraméterei A matematikai statisztika célja: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire. o mintavétel, o adatfeldolgozás, o leíró statisztika, o következtető statisztika 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Matematikai statisztika lényege Sokaság: a vizsgálat tárgyát képező egységek összessége Következtetés A minta elemei az alapsokaság eloszlásával megegyező eloszlású valószínűségi változók. Mintavétel: a statisztikai sokaságból információszerzés céljából véletlenszerűen egyedi elemeket emelünk ki 2017 ősz Gazdaságstatisztika A megfigyelési eredmények a minta elemei, a megfigyelések száma a minta nagysága vagy elemszáma. Minta: valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye

Statisztikai módszertan ágai n n LEÍRÓ vagy DESKRIPTÍV statisztika o Tömör, számszerű jellemzés: a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglalására törekszik. KÖVETKEZTETŐ statisztika o Fő célja a mintából való következtetés, általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Mintavétel – részleges megfigyelés n n n Cél: következtetéseket vonjunk le a teljes sokaságra vonatkozóan a sokaság részleges megismerése által A MINTA CSAK ESZKÖZ A SOKASÁG TELJES MEGISMERÉSÉHEZ! A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések mindig tartalmaznak hibákat! o o a statisztika szükségszerű velejárója, mintavételi hiba meghatározása 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Mintavételi és nem mintavételi hiba o o o Adatgyűjtéshez kapcsolódó hibák: pl. definíciós hibák, nemválaszolási hibák, végrehajtási hibák – NEM MINTAVÉTELI HIBA n Védekezési mechanizmus: alkalmazott technikák, technológiák fejlesztése A teljes sokaság megismeréséről való lemondás ára – MINTAVÉTELI HIBA n Védekezési mechanizmus: olyan mintavételi eljárásokat keresünk, hogy ez a lehető legkisebb legyen A mintavételi hiba annál kisebb, minél nagyobb a minta. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Mintavételi hiba n n n A mintából számított bármely mutató értéke mintáról mintára változik. A mintából számított értékek a megfelelő sokasági jellemző körül szóródnak. Ez a szóródás kisebb minták esetében nagyobb, nagyobb minták esetében kisebb. A mintavételi hiba a vizsgált mutató lehetséges mintákból számított értékeinek átlagos eltérését mutatja a megfelelő sokasági értéktől. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Véletlen mintavétel n Olyan kiválasztási eljárás, melynek során ismert vagy meghatározható a sokaság egyes elemeinek mintába kerülési esélye. o o n n n Mintavételi hiba számszerűsítése Reprezentativitás biztosítása: a minta összetétele csak a véletlen hatások miatt tér el a sokaságétól Visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel Visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel Rétegzett mintavétel Csoportos mintavétel Többlépcsős mintavétel 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Véletlen mintavétel n Visszatevéses egyszerű véletlen mintavétel o o n Visszatevés nélküli egyszerű véletlen mintavétel o o n A sokaságból egyenlő valószínűséggel, a visszatevéses technika miatt egymástól függetlenül veszünk mintát. Inkább elméleti, mint gyakorlati jelentőség. A sokaságból egyenlő valószínűséggel veszünk mintát, a mintaelemek egymástól nem függetlenek. Inkább gyakorlati, mint elméleti jelentőség. Következtetés pontosságát meghatározó tényezők: o o 2017 ősz Minta elemszáma Sokaság heterogenitása Gazdaságstatisztika

Véletlen mintavétel n Rétegzett mintavétel: a sokaságot egy csoportképző ismérv szerint rétegekre bontjuk, majd minden rétegből egyszerű véletlen mintát veszünk. o n Teljes lista Következtetés megbízhatóságát meghatározó tényező: n n Rétegek heterogenitása Rétegképző ismérv „jósága” o 2017 ősz Szóráshányados mutató Gazdaságstatisztika

Véletlen mintavétel n Csoportos mintavétel: olyan nyilvántartásból történik a kiválasztás, amely a sokaság egységeit nem elkülönítve, hanem természetes vagy mesterséges csoportokban tartalmazza. o o n Következtetés megbízhatóságát meghatározó tényező: o n Csoportképző ismérv Csoportok közül egyszerű véletlen mintavétel Csoport heterogenitása Többlépcsős mintavétel: csoportos általánosítása 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Mérési skálák n Nominális (névleges) o o o n Sorrendi o o n Egységek összehasonlítása, rendezése; pl. versenyen elért helyezés Egyenlőségi és sorrendi relációk Intervallum o o n Osztályok vagy elemek azonosítása; pl. járatszám Egyenlőségi reláció Gyakoriság, modális osztály számolható Skála pontjai közötti távolság értelmezhető, szabadon választható nullpont és mértékegység Pl. : hőmérséklet Arány o o 2017 ősz Additivitási tulajdonság Valódi nullpont; pl. tömeg, ellenállás Gazdaságstatisztika

Adatok csoportosítása, osztályozása n n Rangsor készítése X ismérv szerinti osztályozás kérdései: o o 2017 ősz Az X változó diszkrét, és az általa felvehető értékek száma kicsi n Annyi osztályt képezünk ahány különböző X érték lehetséges n az i-edik osztály esetében fennáll az alsó és felső osztályhatár egybeesése Az X változó folytonos, vagy diszkrét ugyan, de az általa felvehető különböző értékek száma nagy n X lehetséges értékeinek tartományát osztályközökre bontjuk n az i-edik osztályköz Xi 1 felső határa nem eshet egybe az (i+1)-dik osztályköz Xi+1, 0 alsó határával Gazdaságstatisztika

Adatok csoportosítása, osztályozása Az X szerint képzett osztály alsó Osztályközép felső abszolút relatív gyakoriság határa X 10 X 11 X 1* f 1 g 1 X 20 X 21 X 2* f 2 g 2 Xi 0 Xi 1 Xi* fi gi … … … Xk 0 Xk 1 Xk * fk gk N 1 Összesen Osztályközhosszúság: 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Adatok csoportosítása, osztályozása n n fi gyakoriságok: a sokaság hány egysége tartozik az X változó szerint képzett i-edik osztályba gi relatív gyakoriságok: a sokaság hány %-a tartozik az X változó szerinti i-edik osztályba, azaz, hogy oszlik meg a sokaság az egyes osztályok között fi’ kumulált gyakoriság: a sokaság hány egysége tartozik összesen az i-edik, illetve az azt megelőző osztályokba gi’kumulált relatív gyakoriság: a sokaság hány %-a tartozik összesen az i-edik, illetve az azt megelőző osztályokba o n Tapasztalati eloszlásfüggvény Osztályközép Xi*: az összes, az adott osztályba tartozó adat helyettesítése 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Pálcikadiagram – diszkrét adat Érdemjegy Tapasztalati gyakoriság Relatív gyakoriság (fi) (gi) 1 68 0, 089 2 280 0, 368 3 274 0, 361 4 91 0, 120 5 47 0, 062 Összesen 760 1 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Lépcső alakú diagram Érdemjegy 1 2 3 4 5 2017 ősz Kumulált tapasztalati gyakoriság (fi) 68 348 622 713 760 Gazdaságstatisztika Kumulált relatív gyakoriság (gi) 0, 089 0, 458 0, 818 0, 938 1

Gyakorisági hisztogram alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen felső határ osztály gi [%] közép -15, 00% -17, 5% 2, 02% GYAKORISÁGI HISZTOGRAM -10, 00% -12, 5% 9, 09% (tapasztalati sűrűségfüggvény) -5, 00% -7, 5% (empirikus) 9, 09% 0, 00% -2, 5% 23, 23% 5, 00% 2, 5% 32, 32% 10, 00% 7, 5% 15, 15% 15, 00% 12, 5% 8, 08% 20, 00% 17, 5% 1, 01% 100, 00% Gyakoriság vonaldiagramja 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Gyakorisági vonaldiagram 50% Relatív gyakoriság 40% 32. 32% 30% 23. 23% 20% 15. 15% 9. 09% Gyakorisági görbe 10% 8. 08% 2. 02% 9. 09% 1. 01% 0% -17. 50% 2017 ősz -12. 50% -7. 50% -2. 50% Osztályközép Gazdaságstatisztika 7. 50% 12. 50% 17. 50%

Kumulált relatív gyakorisági hisztogram alsó határ -20, 00% -15, 00% -10, 00% -5, 00% 0, 00% 5, 00% 10, 00% 15, 00% összesen 2017 ősz felső határ osztály közép -15, 00% -17, 5% -10, 00% -12, 5% -5, 00% -7, 5% 0, 00% -2, 5% 5, 00% 2, 5% 10, 00% 7, 5% 15, 00% 12, 5% 20, 00% 17, 5% g’i [%] 2, 02% 11, 11% 20, 20% 43, 43% 75, 76% 90, 91% 98, 99% 100, 00% Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Gazdaságstatisztika

Kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény) Ogiva 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Leíró statisztikai mutatószámok n Helyzetmutatók, középértékek: o n Az eloszlás helyzetét egyetlen, az adatokkal azonos mértékegységű számértékkel jellemzik Ingadozásmutatók: o Az adathalmaz szóródása, változékonysága n n 2017 ősz Az adatok egymás közötti különbségei Kitüntetett értéktől való eltérés, ingadozás valamilyen középérték körül Gazdaságstatisztika

Helyzetmutatók (középértékek) n Csoportosításuk: o Helyzeti középértékek: az adatok közötti elhelyezkedésüknél fogva jellemzik a vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét n o Számított középértékek: az adatokkal kapcsolatos számszerű összefüggésük révén jellemzik a vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét n n medián, módusz számtani átlag, mértani átlag, négyzetes átlag, harmonikus átlag Elvárások: o Közepes helyzetűek o Tipikusak o Egyértelműen meghatározhatóak o Könnyen értelmezhetőek 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Medián n me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy helyzeti középérték mutató a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele A mediánt tartalmazó kisebb, fele pedig nagyobb, így a rangsorba állított sokasági számértékeket két osztály bal végpontja. egyenlő gyakoriságú osztályra bontja Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: A mediánt tartalmazó osztály hossza. n Előnye: o o n Hátránya: o n Mindig egyértelműen meghatározható Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem. Nem használható, ha az adatsorban sok az egyforma ismérvérték Egyéb tulajdonsága: ha 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Módusz n n n helyzeti középérték, a tipikus ismérvérték diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén a gyakorisági görbe maximumhelye. Előnye: o o n érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ sem az összes, sem a kiugró ismérvértékektől. Hátránya: nem mindig határozható meg egyértelműen, és nem is mindig létezik A móduszt tartalmazó o nagy bizonytalansággal becsülhető o osztály hossza. osztály bal végpontja. n Egyéb tulajdonsága: nyers módusz, osztályköz megválasztása n Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is: mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Számtani átlag n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Számtani átlag n Egyéb fontos tulajdonsága: minimális, ha 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Kvantilisek n n a rangsorban olyan osztópontok (osztályhatárok), amelyek egyenlő relatív gyakoriságokat fognak közre Az Xi/k i-edik k-ad rendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvértékek i/k-ad része kisebb, (1 -i/k)-ad része pedig nagyobb, ahol k≥ 2 és i=1, 2 , …, k-1. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Ingadozásmutatók (szóródásmutatók) n Csoportosításuk: o o 2017 ősz Az adathalmazban szereplő értékek változékonyságát n az egyes értékek egymás közötti különbségein, vagy n egyes értékeknek egy kitüntetett értéktől (középérték) való eltérésein keresztül ragadja meg. Mértékegységüket tekintve: n Abszolút mutatók: mértékegysége megegyezik az alapadatokéval n Relatív mutatók: mértékegység nélküli [%] Gazdaságstatisztika

Terjedelem n n a szóródást az adathalmazban szereplő legnagyobb és legkisebb adat különbségeként jellemzi abszolút ingadozásmutató n Előnye: a könnyű számítás Hátránya: értéke csak a két legszélsőségesebb ismérvértéktől függ, amelyeket sokszor a véletlen szeszélyeinek köszönhetünk. n Interkvantilis terjedelem n o o csökkenti a véletlen szélsőértékeket (legkisebb és legnagyobb értéket) alakító szerepét az adathalmaz két szélső k-adrendű kvantilisének különbsége 2017 ősz Gazdaságstatisztika

(Korrigált) tapasztalati szórás n n n a szóródást az alapadatoknak egy kitüntetett értéktől (számtani átlagtól) való eltérésein keresztül méri, abszolút ingadozásmutató A szórás az egyes Xi ismérvértékek átlagtól vett di eltéréseinek négyzetes átlaga: azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hiba, amit akkor követünk el, ha minden alapadatot a számtani átlaggal helyettesítünk. A számtani átlag tulajdonsága szerint ez a hiba minimális. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Részekre bontott sokaság vizsgálata n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Fősokaság 1. részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Rész- és főátlagok 1. részsokaság Fősokaság A j-edik részsok értékösszege 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika N

Teljes-, belső- és külső eltérés Fősokaság 1. részsokaság 2. részsokaság dij Bij Kj M. részsokaság i. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Teljes-, belső- és külső eltérés n A szórásszámítás alapja: n belső eltérés Csoportképző ismérven kívüli össze egyéb tényezőnek tulajdonítható külső eltérés Csoportképző ismérvnek tulajdonít A teljes eltérés azt mutatja, hogy Yij eltérhet a főátlagtól, mert: o o az ismérvértékek ingadoznak a részátlag körül => belső eltérések a részátlagok ingadoznak a főátlag körül => külső eltérések 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Részszórás 1. részsokaság Fősokaság 2. részsokaság M. részsokaság 3. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Belső szórás 1. részsokaság Fősokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika

A részvarianciák és a belső variancia kapcsolata n A j-edik részsokaság varianciája n Ebből n Egyes részvarianciák részsokasági elemszámma súlyozott számtani átlaga A belső variancia 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Külső szórás 1. részsokaság Fősokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Teljes szórás Fősokaság 1. részsokaság 2. részsokaság M. részsokaság i. részsokaság 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Teljes-, belső- és külső szórás n Teljes szórás n Részszórás: o n A j-edik részsokaság szórása Belső szórás o n Teljes eltérés-négyzetösszeg A fősokaság egyes egységeihez tartozó Yij ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól – a részsokaságok összességére vonatkozik Belső eltérés-négyzetösszeg: S Külső szórás o A részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól Külső eltérés-négyzetösszeg: S 42 2017 ősz Gazdaságstatisztika

A teljes-, a belső- és a külső variancia kapcsolata 2017 ősz Gazdaságstatisztika

SST, SSB, SSK n Az Y ismérv SST teljes eltérés-négyzetösszegének, változékonyságának o o 2017 ősz SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. n SSK csak a külső eltérésektől függ. SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. n SSB csak a belső eltérésektől függ. Gazdaságstatisztika

Vegyes kapcsolat szorossága, a varianciahányados n n n X: csoportképző minőségi ismérv Y: mennyiségi ismérv X és Y kapcsolatának szorosságát mérő mutatót H 2 -tel jelöljük, és varianciahányadosnak, vagy szórásnégyzet-hányadosnak nevezzük: A H 2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. H 2=0, ha SSK=σ2 k=0, vagyis az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai egyformák H 2=1, ha σ2 k= σ2 T, azaz σ2 B=0, vagyis az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

A vegyes kapcsolat szorosságának mérése: a szóráshányados n n H a szóráshányados, ami ugyancsak 0 és 1 között mozog. H=0 értéke a vizsgált két ismérv függetlenségét jelzi, H=1 pedig az X és Y közötti függvényszerű kapcsolatra utal. Nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0 -hoz, illetve az 1 -hez való közelségét figyelembe véve. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

A becslés elmélete Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Becslési kritériumok n Torzítatlanság o o o A becslés várható értéke a becsülendő sokasági paraméter A becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozik Asszimptotikusan torzítatlan becslések n n Hatásosság o n A becslés ingadozása (szórása) a becsülendő paraméter körül Konzisztencia o n A becslés torzításának mértéke csökken a minta elemszámának növelésével A becslés ingadozása növelve a mintaszámot egyre csökken Elégséges o Lényegében minden információt tartalmaz a becsülendő paraméterről 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Intervallumbecslés Minta-1 mintáról mintára változik Minta-2 maga is valósz. változó Minta-3 adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Intervallumbecslés n Pontbecslés: az ismeretlen sokasági jellemző értékére egy mintából egyetlen pontot határoztunk meg, amely eleget tett valamilyen követelménynek. n Intervallumbecslés: a minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt jellemzőt. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Intervallum szélessége Sokasági szórás Mintaszám 2017 ősz Megbízhatósági szint Gazdaságstatisztika

Várható érték becslése – ismert alapsokasági szórás n n A valószínűségi változó N( , 0) eloszlású, ahol 0 szórás ismert A sokasági paramétert statisztikai mintából a számtani átlaggal becsüljük. Az átlag eloszlása normális: A konfidencia- intervallum sugarát adott megbízhatósági szinthez tartozó maximális hibának nevezzük. 2017 ősz Gazdaságstatisztika

A megfelelő z-érték keresése n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Mintanagyság meghatározása n Adottak a megbízhatósági és pontossági követelmények, és ennek tükrében kell a minta elemszámát meghatározni 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Várható érték becslése – ismeretlen alapsokasági szórás n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

A t-érték meghatározása Szabadságfok: DF=n-1 Megbízhatósági szint 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Várható érték becslése n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Sokasági arány becslése n n n A sokaságon belül egyetlen (mennyiségi vagy minőségi) ismérv szerint 2 csoportba soroljuk a sokasági elemeket. A sokasági arány: P Torzítatlan becslőfüggvénye: p = k/n M(p) = P Binomiális eloszlás D 2(p) = P(1 -P)/n Közelítjük normális eloszlással 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Szorgalmi feladat Egy vasútvonalon egy hétig minden vonaton feljegyezték az utasok számát. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: Utasok száma Vonatok n száma 6 12 28 30 16 8 n Adjunk 95%-os megbízhatóságú intervallumot azon vonatok arányára, amelyen 60 -nál kevesebben utaztak! 59 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Szorgalmi feladat megoldása n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Sokasági variancia becslése n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Sokasági variancia becslése Normális el. !! M( )= , D 2( )= 2 - csak pozitív értékekre értelmezett - nem szimmetrikus !! mintából becsüljük, 2 -eloszlású s 2 vagy s*2 (Mintavételi eloszlás) 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Példa A Felvillanyozzuk Kft. karácsonyfaégőinek élettartamát n = 16 elemű mintából vizsgálva azt találták, hogy az élettartamok korrigált tapasztalati szórása 10 óra. Határozzuk meg az égők varianciájára, ill. szórására vonatkozó 95%-os konfidencia-határokat! Megoldás: n = 16 s* = 10 óra 95%-os megbízhatósági szinten a DF = n – 1 = 16 – 1 = 15 sokasági szórás 7, 38 és 15, 5 óra között van. = 0, 95 = 0, 05 kétoldali becslés: /2 = 0, 025 1 – /2 = 0, 975 54, 5 < 239, 6 2017 ősz 7, 38 < < 15, 5 Gazdaságstatisztika

Szorgalmi feladat n Egy vasútvonalon egy hétig minden vonaton feljegyezték az utasok számát. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: Utasok száma Vonatok száma 6 12 28 30 16 8 n Adjunk 99%-os megbízhatóságú intervallumot az utasok számának szórására! 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Szorgalmi feladat megoldása n 2017 ősz Gazdaságstatisztika

Kvíz – játék- pluszpont !!! n n https: //kahoot. it/ Game PIN-t be kell írni Nickname: Vezetéknév Neptun kód!!! Pluszpontok o o o 2017 ősz 1. hely: 3 pont 2. hely: 3 pont 3. hely: 3 pont 4 -10 hely: 2 pont Legalább 6 helyes válasz: 1 pont Gazdaságstatisztika

Köszönöm a figyelmet! Árva Gábor 2017 ősz Gazdaságstatisztika