Gazdasgstatisztika Korrelci s regressziszmts II Gazdasgstatisztika Hol jrunk

Gazdaságstatisztika Korreláció- és regressziószámítás II. Gazdaságstatisztika

Hol járunk? 2 Gazdaságstatisztika

A kétváltozós lineáris regressziós modell paramétereinek intervallumbecslése n 3 Gazdaságstatisztika

A lineáris regressziós modell eredményeinek ellenőrzése: hipotézisvizsgálatok n 4 Gazdaságstatisztika

A paraméterek szeparált tesztelése n 5 Gazdaságstatisztika

A paraméterek szeparált tesztelése n 6 Gazdaságstatisztika

A paraméterek együttes tesztelése n 7 Gazdaságstatisztika

A paraméterek együttes tesztelése n 8 Gazdaságstatisztika

Példa n Lakás sorszáma Eladási ár (Y) Alapterület (X) 1 24, 8 83 2 34, 0 88 3 40, 6 117 4 40, 8 120 5 45, 8 177 6 47, 6 164 7 50, 2 186 8 52, 1 192 9 56, 3 191 10 74, 9 233 11 80, 3 211 9 Gazdaságstatisztika

Példa: grafikus ábrázolás 90 80 70 60 Eladási ár n 50 40 30 20 10 0 0 50 100 150 200 250 Alapterület 10 Gazdaságstatisztika

Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése n A paraméterek becslései: n Az alapterületek átlagos nagysága a minta alapján: n Az eladási árak átlagos nagysága a minta alapján: 11 Gazdaságstatisztika

Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése Lakás Eladási ár Alapterület sorszáma dy dx dx dy dx 2 1 24, 8 83 -25, 0 -77, 2 1926, 7 5957, 0 2 34 88 -15, 8 -72, 2 1137, 8 5210, 2 3 40, 6 117 -9, 2 -43, 2 395, 7 1864, 7 4 40, 8 120 -9, 0 -40, 2 360, 2 1614, 6 5 45, 8 177 -4, 0 16, 8 -66, 7 282, 9 6 47, 6 164 -2, 2 3, 8 -8, 3 14, 6 7 50, 2 186 0, 4 25, 8 11, 3 666, 6 8 52, 1 192 2, 3 31, 8 74, 3 1012, 4 9 56, 3 191 6, 5 30, 8 201, 4 949, 8 10 74, 9 233 25, 1 72, 8 1830, 4 5302, 5 11 80, 3 211 30, 5 50, 8 1551, 8 2582, 5 Össz. 547, 4 1762 0 0 7414, 8 25457, 6 Átlag 49, 8 160, 2 12 Gazdaságstatisztika

Példa: lineáris regressziós modell paramétereinek becslése n A táblázatban szereplő értékek alapján: n A regressziós egyenes egyenlete: n A paraméterek közül a meredekségi paraméter jelentése az, hogy négyzetméterenként átlagosan 0, 291 m. Ft-tal (291 000 Ft-tal) nő az eladási ár. A tengelymetszet-paraméter jelentése az, hogy modellünk szerint a 0 négyzetméteres lakások ára 3, 18 millió Ft. E paraméter kapcsán fontos kiemelni, hogy nem lehet neki minden esetben tárgyi jelentést tulajdonítani! n Gazdaságstatisztika 13

Példa: rugalmassági együttható n A rugalmassági együttható: n Ez minden x esetében más és más értéket ad. Ha rögzítjük az x értékét valamilyen szinten (pl. 60 négyzetméterben), akkor az elaszticitás egy konkrét értékét kapjuk eredményként Elaszticitás x=60 esetén: o o Ez azt jelenti, hogy ha a 60 négyzetméteres szintről kiindulva 1%-kal növeljük a területet, akkor az eladási ár átlagosan 0, 84 6%-kal nő. 14 Gazdaságstatisztika

Példa: regressziós egyenes pontjainak és a reziduumok meghatározása n Az elemzés következő lépése, hogy kiszámítjuk a regressziós egyenes pontjainak értékét, majd a megfigyelt és a becsült értékek különbözeteként a reziduumokat. Lakás sorszáma Eladási ár Alapterület dy dx dxdy dx 2 dy 2 y ei 1 24, 8 83 -25, 0 -77, 2 1926, 7 5957, 0 623, 2 27, 3 2, 5 2 34 88 -15, 8 -72, 2 1137, 8 5210, 2 248, 5 28, 8 -5, 2 3 40, 6 117 -9, 2 -43, 2 395, 7 1864, 7 84, 0 37, 2 -3, 4 4 40, 8 120 -9, 0 -40, 2 360, 2 1614, 6 80, 3 38, 1 -2, 7 5 45, 8 177 -4, 0 16, 8 -66, 7 282, 9 15, 7 54, 7 8, 9 6 47, 6 164 -2, 2 3, 8 -8, 3 14, 6 4, 7 50, 9 3, 3 7 50, 2 186 0, 4 25, 8 11, 3 666, 6 0, 2 57, 3 7, 1 8 52, 1 192 2, 3 31, 8 74, 3 1012, 4 5, 5 59, 1 7, 0 9 56, 3 191 6, 5 30, 8 201, 4 949, 8 42, 7 58, 8 2, 5 10 74, 9 233 25, 1 72, 8 1830, 4 5302, 5 631, 8 71, 0 -3, 9 11 80, 3 211 30, 5 50, 8 1551, 8 2582, 5 932, 5 64, 6 -15, 7 Össz. 547, 4 1762 0 0 7414, 8 25457, 6 2669, 1 Átlag 49, 8 160, 2 15 Gazdaságstatisztika

Példa: empirikus lineáris korrelációs együttható számítása n Az empirikus lineáris korrelációs együttható. n Az eredmény azt mutatja, hogy a vizsgált két változó között meglehetősen szoros, pozitív irányú kapcsolat tapasztalható. A korrelációs együttható értéke közel áll a +1 -hez, ami arra utal, hogy a regressziós egyenes jól illeszkedik a megfigyelési pontokhoz. 16 Gazdaságstatisztika

Példa: A teljes eltérésnégyzet-összeg felbontása Lakás sorszáma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Össz. Átlag n SST=2669, 1 n Eladási ár Alapterület 24, 8 34 40, 6 40, 8 45, 8 47, 6 50, 2 52, 1 56, 3 74, 9 80, 3 547, 4 83 88 117 120 177 164 186 192 191 233 211 1762 49, 8 160, 2 dy 2 623, 2 248, 5 84, 0 80, 3 15, 7 4, 7 0, 2 5, 5 42, 7 631, 8 932, 5 2669, 1 y i ei y i - y (y i - y )2 ei 2 27, 3 2, 5 28, 8 -5, 2 37, 2 -3, 4 38, 1 -2, 7 54, 7 8, 9 50, 9 3, 3 57, 3 7, 1 59, 1 7, 0 58, 8 2, 5 71, 0 -3, 9 64, 6 -15, 7 0, 0 -22, 4 -21, 0 -12, 5 -11, 7 4, 9 1, 1 7, 5 9, 3 9, 0 21, 2 14, 8 503, 1 440, 0 157, 2 136, 0 24, 2 1, 3 56, 9 86, 3 81, 0 450, 3 219, 6 2155, 8 6, 4 27, 2 11, 4 7, 3 79, 0 10, 9 50, 5 48, 3 6, 1 15, 3 247, 1 509, 5 SSR=2155, 6 SSE=509, 5 (Az értékek eltérései a korábbi egy tizedesre történő kerekítésekből adódnak. ) 17 Gazdaságstatisztika

Példa: a regressziós függvény paramétereinek intervallumbecslése n A regressziós becslés során elkövetett hiba: n Ez önmagában azt jelenti, hogy az egyes lakások ára átlagosan mintegy 7, 5 m. Ft-tal tér el attól, amit a regressziós modellel becsülni tudnánk. A paraméterek standard hibái: o n Ha megbízhatóságot 95%-os szinten rögzítjük, akkor , a keresett konfidencia intervallumok: 18 Gazdaságstatisztika

Példa: a regressziós függvény paramétereinek szeparált tesztelése n 19 Gazdaságstatisztika

Példa: a regressziós függvény paramétereinek szeparált tesztelése n 20 Gazdaságstatisztika

Példa: a regressziós függvény paramétereinek együttes tesztelése n A variancia forrása Négyzetösszeg Szabadságfok Átlagos négyzetösszeg F Regresszió SSR=2155, 8 1 Maradék SSE=509, 5 n-2=11 -2=9 Teljes SST=2665, 3 n-1=10 21 Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika GYAKORLÓ FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL Gazdaságstatisztika

1. Feladat n Egy vállalat havi árbevétele (x) és havi üzleti eredménye (y) közötti kapcsolat egy 10 elemű minta alapján az y = -9+0, 1 x lineáris regressziós függvénnyel írható le. A mintában az árbevétel korrigált empirikus szórása 9, 8 millió Ft, az üzleti eredményé 1, 1 millió Ft. o a. ) Értelmezze a regressziós egyenes meredekségét! o b. ) Határozza meg az árbevétel és az üzleti eredmény közötti determinációs együtthatót, és értelmezze az eredményt! Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás o a. ) A regressziós egyenes: y = -9+0, 1 x. Ennek meredeksége 0, 1. Ez azt jeleneti, hogy az árbevétel egységnyi növekedése az üzleti eredmény átlagosan 0, 1 egységnyi növekedését vonja maga után. o b. ) Az árbevétel (x) és az üzleti eredmény (y) közötti determinációs együttható meghatározása n Egyrészt a determinációs együttható: n Másrészt a regressziós egyenes meredeksége: n Ez utóbbi két összefüggésből a determinációs együttható: Gazdaságstatisztika

1. Feladat - megoldás n A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: n A determinációs együttható: n A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben ez azt jelenti, hogy az üzleti eredmény varianciáját (változékonyságát) 79, 37%-ban magyarázza az árbevétel. Gazdaságstatisztika

2. Feladat n Teherhajók tömege (x) és kirakodási idejük (y) között a tapasztalati lineáris korrelációs együttható értéke egy 10 elemű minta alapján 0, 87. A mintában a hajótömegek korrigált tapasztalati szórása 7, 2 tonna, a kirakodási időé 2, 1 óra. o a. ) Hány %-ban magyarázza a kirakodási idő varianciáját a teherhajók tömege? o b. ) Adja meg a kirakodási idő és a hajótömeg közötti regressziós egyenes meredekségét! Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás o a. ) A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben a korrelációs együttható értéke 0, 87. Ennek négyzete 0, 7569 a determinációs együttható értéke, azaz a kirakodási idő varianciájának 75, 69% -át magyarázza a teherhajók tömege. o b. ) A regressziós egyenes meredekségének meghatározása: n Egyrészt a regressziós egyenes meredeksége: n Másrészt a korrelációs együttható: n Ez utóbbi két összefüggésből a regressziós egyenes meredekségére: Gazdaságstatisztika

2. Feladat - megoldás n A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: n A regressziós egyenes meredekségéről tudjuk, hogy n A teherhajók tömegének 1 egységnyi növekedése a kirakodási idő átlagosan 0, 254 egységnyi növekedését eredményezi. Gazdaságstatisztika