Funktsioonid ja nende graafikud T Lepikult 2010 Funktsioon

Funktsioonid ja nende graafikud © T. Lepikult, 2010

Funktsioon Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne.

Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk.

Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne:

Ülesanded 1. Leidke funktsiooni määramispiirkond 1) 2) 3) 2. Ümmarguse seibi avause raadius on r (r = const). Avaldada seibi pindala (S) seibi ääre laiuse (x) funktsioonina. Missugune on selle funktsiooni määramispiirkond? Seda funktsiooni esitava avaldise määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi. Esimesed 5 tundi liiguti kiirusega 4, 5 km/h, siis puhati pool tundi ja ülejäänud aja liiguti kiirusega 4 km/h. Avaldada läbitud teepikkus (s) aja t funktsioonina. Leidke selle funktsiooni määramispiirkond.

Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x) = f(x), ja paarituks funktsiooniks, kui f(-x) = -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, paaritufunktsiooni graafik aga 0 -punkti suhtes. y Paaritu funktsioon 0 x Paarisfunktsioon

Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f(x + ) = f(x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nimetatakse funktsiooni y = f(x) perioodiks. Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid. Sealjuures on funktsiooni y = tan(x) perioodiks = , funktsioonide y = cos(x) ja y = sin(x) periood aga = 2.

Kasvavad ja kahanevad funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse piirkonnas A kasvavaks, kui a < b f(a) < f(b); kahanevaks, f(a) > f(b); kui a < b iga a, b A korral. Näiteks on funktsioon y = ln x kasvav funktsioon, funktsioon y = -2 x + 1 aga kahanev funktsioon.

Pöördfunktsiooni definitsioon Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga korral leidub täpselt üks , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f -1(y). Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooni tähistuse x = f -1(y) asemel kasutatakse ka kuju y = f -1(x) (vahetatakse sõltuva ja sõltumatu muutuja tähistused). Funktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon ise, st. (f -1)f -1(x) = f(x). Kehtib ka seos (f -1)f(x) = x

Pöördfunktsiooni näited (1) Näide Funktsioonil pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. y x Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks ; sel korral on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon:

Pöördfunktsiooni näited (2) Näide Galilei seadus ütleb, et kõrguselt h vabalt langeva keha kiiruse v määrab valem Siit saame kas või Esimene valem annab lõppkiiruse v, mille keha omandab kõrguselt h langedes. Teine valem annab kõrguse h, millelt keha peab langema, et omandada lõppkiirus v. Funktsioonid v ja h on teineteise suhtes pöördfunktsioonid.

Pöördfunktsiooni näited (3) Näide. Leiame funktsiooni pöördfunktsiooni. Lahendus Kuna funktsioonid z = 1 – x ja y = log z on üksühesed funktsioonid, siis on seda ka liitfunktsioon y = log(1 - x) ja pöördfunktsioon on leitav. Funktsiooni määramispiirkonnaks saame: Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: Pöördfunktsiooni määramispiirkond: Pöördfunktsiooni muutumispiirkond:

Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 a, b - antud arvud Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge. y 2 x a = y , a b + >0 0 -1 -2 y=a 1 x+b 2 , a< 0 x

Astmefunktsioon y = xa y y y = x 3 y = x 4 x 0 0 x y y= y 1/x 2 y = 1/x 3 0 0 x x

Astmefunktsioon y y= x 2/3 y y = x 1/3 0 0 x x Määramispiirkond: 1. Kui a on positiivne täisarv, siis X = (- ; ); 2. Kui a on negatiivne täisarv, siis X = (- ; 0) (0; ); 3. Kui a on positiivne murd, siis paarisarvulise nimetaja korral X = [0; ), paarituarvulise nimetaja korral aga X = (- ; ); 4. Kui a on negatiivne murd, siis paarisavulise nimetaja korral X = (0; ), paarituarvulise nimetaja puhul X = (- ; 0) (0; );

Eksponentfunktsioon y =(1/2)x y y = 2 x 1 x Määramispiirkond: X = (- ; );

Logaritmfunktsioon y y = loga x 1 0 Määramispiirkond: 1 X = (0; ) a x

Trig. funktsioonid siinus ja koosinus y 1 - y = cos x /2 - /2 0 x y = sin x -1 1) Tõkestatud: -1 y 1 2) perioodilised, w = 2 p 3) siinus on paaritu, koosinus – paarisfunktsioon 4) Faasinihe siinuse ja koosinuse vahel: cos x = sin (x + p/2) 5) Määramispiirkond: X = (- ; )

Trig. funktsioonid: tangens y y = tan x -3 /2 - /2 0 x 1. Perioodiline; periood = . 2. Määramispiirkond: X = (- ; ){(2 k + 1)p/2} (määramispiirkonda ei kuulu arvu /2 paarituarvkordsed)

Arkusfunktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid y p/2 -1 y = arcsin x y = arccos x y p p/2 0 1 x -p/2 0 -1 1 x 1. Määramispiirkond: -1 ≤ x ≤ 1 2. Muutumispiirkond: -p/2 ≤ x ≤ p/2 2. Muutumispiirkond: 0 ≤ x ≤ p. 3. Kasvav funktsioon. 3. Kahanev funktsioon.

Arkustangens y p/2 p/4 0 y = arctan x 1 -p/2 1. Määramispiirkond: - ≤ x ≤ 2. Muutumispiirkond: -p/2 ≤ x ≤ p/2 3. Kasvav funktsioon. x

Ülesanne Antud on joonisel kujutatud ristküliku küljed AB = 8 cm, BC = 6 cm ja AP = BQ A = CR = DS = x cm. 1) näidake, et kujundi PQRS pindala esitab funktsioon 2) Leidke, millise x väärtuse korral on S kujundi PQRS pindala minimaalne; 3) Arvutage kujundi PQRS minimaalne pindala. P D Lahendus Sirglõigud PQ, QR, RS ja PS lõikavad ristkülikust välja neli paarikaupa võrdset täisnurkset kolmnurka. B Q R C

Lahendus (II) Esimese kolmnurkade paari korral on kaatetite pikkusteks x ja 8 - x, teise paari korral aga x ja 6 - x, Q D Kujundi (lihtne on näidata, et rööpküliku) pindala saame, kui ristküliku ABCD pindalast lahutada nelja kolmnurga pindalad: mida oligi tarvis tõestada. B P S x ja 8 -x x 6 -x Sirglõigud PQ, QR, RS ja PS lõikavad A ristkülikust välja neli paarikaupa võrdset täisnurkset kolmnurka: R C

Lahendus (III) Pindalafunktsiooni miinimumkoha määramiseks märgime, et funktsiooniks on ülespoole avanev ruutparabool, mille miinimumkoha leidmiseks tuleb funktsiooni diferentseerida ja leida seepeale tuletisfunktsiooni nullkoht: millest Uurimaks, kas leitud kriitilises punktis on miinimum, leiame ka funktsiooni S(x)teist järku tuletise: Teist järku tuletis osutus kriitilises punktis positiivseks ja seega on tõesti funktsioonil S(x) sellel kohal miinimumkoht.

Lahendus (IV) Pindala minimaalseks väärtuseks saame: Vastus Kujundi pindala on minimaalne, kui x = 3, 5 ja sellele vastab pindala S = 23, 5 cm 2. 3. Joonestage funktsiooni graafik lõigul [-3; 3] ja leidke nullkohad.

Ülesanne 2. Joonestage funktsiooni graafik lõigul [-3; 3] ja leidke nullkohad. Lahendus Kuna siis Seega tuleb funktsiooni graafik joonestada eraldi kahes piirkonnas: piirkonnas, kus x < 1 ja piirkonnas x 1.

Lahendus (II) Kummaski piirkonnas on graafikuks ruutparabool, esimesel juhul alla ja teisel juhul üles avanev. Ka paraboolide nullkohad on samad: x = 0 ja x = 1. y Parabooli kuju täpsustamiseks leiame funktsiooni z = x(x – 1) väärtused argumendi täisarvuliste väärtuste korral x -3 -2 -1 0 1 2 3 z 12 6 2 0 0 2 6 y -12 -6 -2 0 0 2 6 6 3 -3 -2 -3 -6 -9 -12 x 0 1 2 3