FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU W ATOMIE WODORU Z UWZGLDNIENIEM

FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU W ATOMIE WODORU Z UWZGLĘDNIENIEM SPINU; SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU 1

Funkcje falowe elektronu w atomie wodoru z uwzględnieniem spinu Jak uwzględnić spin? Amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie przestrzennym |ℓ, m>, w punkcie , bez informacji o kierunku spinu Spin to moment pędu o stałej wartości: i rzucie na oś z: 2

Pole wektorowe: możemy przedstawić jako: 3

lub, w szczególnym przypadku, gdy orientacja wektora jest taka sama w każdym punkcie przestrzeni: gdzie a, b i c określają orientację wektora w przestrzeni przy czym: 4

Przez analogię możemy opisać stan elektronu wprowadzając następujący zapis: gdzie współczynniki a i b to amplitudy prawdopodobieństwa, że elektron ma spin „do góry” i do „dołu”. Dla ms = +1/2 Dla ms = -1/2 5

lub, przyjmując, że: i możemy zapisać: otrzymując pełną funkcję falową przedstawiającą amplitudę prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie |ℓ, m> i w punkcie r, θ, φ, ze spinem +1/2 lub – 1/2 6

SPINORY, to obiekty podobne do wektorów, transformujące się w odpowiedni sposób po obrocie układu współrzędnych: J = 1, m = 0, ± 1 transformuje się jak wektor Dla j = 1/2, m = ± 1/2: Obrót o kąt φ wokół osi z: Obrót o kąt θ wokół osi y: 7

Składanie momentów pędu: współczynniki rozwinięcia: współczynniki Clebscha – Gordana jeden z kalkulatorów dostępnych na internecie: http: //personal. ph. surrey. ac. uk/~phs 3 ps/cgjava. html 8

Dla atomu wodoru: orbitalny moment pędu, s, p, d, f własny moment pędu elektronu wszystkie potrzebne współczynniki rozwinięcia, czyli współczynniki Clebscha – Gordana, możemy otrzymać korzystając z następującej tabeli: 9

Współczynniki Clebscha - Gordana; J 2 = 1/2: 10

Przykład: Wyraź funkcję falową odpowiadającą stanowi 4 f 5/2 dla M = 3/2, poprzez funkcje. Dla: mamy 6 składowych o różnych wartościach M Na rzut wypadkowego momentu pędu na oś z o wartości: składają się tylko dwie pary M 1 i M 2: (1, 1/2) oraz (2, -1/2) 11

J = J 1 – 1/2, zatem korzystamy z dolnego wiersza w tabeli dla M 2 = +1/2 mamy: a dla M 2 = -1/2: 12

13