Funkce Linern funkce pklady Opakovn Funkce definice Funkce

  • Slides: 29
Download presentation
Funkce Lineární funkce - příklady

Funkce Lineární funkce - příklady

Opakování: Funkce - definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který

Opakování: Funkce - definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme obvykle písmenem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmena, např. g, h, … a obvykle zapisujeme ve tvaru: y = f(x), např. y = 2 x+1 nebo ve tvaru: f: y = 2 x + 1 kde proměnná x je argument funkce.

Opakování: zápis funkce f: y = 2 x + 1 kde proměnná x je

Opakování: zápis funkce f: y = 2 x + 1 kde proměnná x je argument funkce, nebo-li nezávisle proměnná. Nezávislost je dána tím, že její hodnotu můžeme libovolně měnit, ovšem jen v rámci definované množiny, definičního oboru. Množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor. Značí se: D(f)

Opakování: obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x, přísluší právě jedna funkční hodnota.

Opakování: obor hodnot Ke všem přípustným hodnotám argumentu x, přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot). Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo, které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x. Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce. Obvykle ji značíme y nebo f(x). Hodnota závisle proměnné ječísel, pro danou Obor hodnot je množina všech reálných které funkci jednoznačně dostaneme jako výstupní hodnotu určena funkce f, jestliže hodnotou x - proto za x dosadíme všechny přípustnéargumentu hodnoty z D(f). „závisle“ proměnná. Značí se: H(f)

Opakování: zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) f: y = 2 x +

Opakování: zadání, zápis funkce 1) Předpisem (vzorcem, rovnicí) f: y = 2 x + 1 3) Grafem 2) Tabulkou x -2 -1 0 1 2 y -3 -1 1 3 5

Opakování: Lineární funkce je funkce daná rovnicí y = ax + b kde a,

Opakování: Lineární funkce je funkce daná rovnicí y = ax + b kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem množina všech reálných čísel. Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel, hovoříme o části lineární funkce. y 3 x = y = - 5 x , 5 1 + y = 2 x + 3/4 y = 0, 5 x - 3 +1 y= x 2 / -1 5 7 , – 0

Opakování: Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y=2 x-1, pro x R. x

Opakování: Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y=2 x-1, pro x R. x -2 -1 0 y 1 2 -5 -3 -1 1 3 Grafem funkce je přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což označuje čáru nebo přímku. Funkci, jejímž grafem je přímka říkáme lineární funkce.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: x 2 4

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: x 2 4 y 2 1 x 2 4 y 0 -1 x 2 4 y -2 -3 Jsou-li dvě lineární rovnice určeny rovnicemi y=a 1 x+b 1; y=a 2 x+b 2 a jestliže a 1=a 2, pak grafy těchto funkcí jsou navzájem rovnoběžné přímky.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b (koeficient a=1). b=2: y=x+2 b=1: y=x+1 b=0: y=x b=-1: y=x-1 b=-2: y=x-2 x 0 1 y 2 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 0 1 x 0 1 y -1 0 x 0 1 y -2 -1 Koeficient b určuje posunutí grafu ve směru osy y. Udává y-ovou souřadnici průsečíku s osou y.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b=1). a=2: y=2 x+1 a=1: y=x+1 a=0: y=1 a=-1: y=-x+1 a=-2: y=-2 x+1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1 a>1 funkce rostoucí Funkce f je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1<x 2, pak f(x 1)<f(x 2).

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b=1). a=2: y=2 x+1 a=1: y=x+1 a=0: y=1 a=-1: y=-x+1 a=-2: y=-2 x+1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1 a<1 funkce klesající Funkce f je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x 1, x 2 jejího definičního oboru D platí: Je-li x 1<x 2, pak f(x 1)>f(x 2).

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a (koeficient b=1). a=2: y=2 x+1 a=1: y=x+1 a=0: y=1 a=-1: y=-x+1 a=-2: y=-2 x+1 x 0 1 y 1 3 x 0 1 y 1 2 x 0 1 y 1 1 x 0 1 y 1 0 x 0 1 y 1 -1 a=0 funkce konstantní Zvláštní případ lineární funkce y=b se nazývá konstantní funkce. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x.

Příklady Je dána funkce f: y=-3 x+2 ; x -3; 3). Rozhodněte, která z

Příklady Je dána funkce f: y=-3 x+2 ; x -3; 3). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. 1) [1; -1] … pokud daná uspořádaná dvojice patří funkci f, musí po dosazení za souřadnice x a y do její rovnice nastat rovnost. A samozřejmě x-ová souřadnice musí patřit do definičního oboru funkce. -1=-3. 1+2 -1=-1 … uspořádaná dvojice [1; -1] funkci patří. 2) [2; 4] 4=-3. 2+2 4 -4 … uspořádaná dvojice [2; 4] funkci nepatří. 3) [3; -7] … x-ová souřadnice nepatří do definičního oboru! … uspořádaná dvojice [3; -7] funkci nepatří.

Příklady Je dána funkce f: y=2 x-1 ; x R. Rozhodněte, která z následujících

Příklady Je dána funkce f: y=2 x-1 ; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [0; 1] [0; -1] [3/2; -2] [0, 25; -1/2] [-1/4; -1, 5]

Příklady Je dána funkce f: y=2 x-1; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic

Příklady Je dána funkce f: y=2 x-1; x R. Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [0; 1] Ne [0; -1] Ano [3/2; -2] Ne [0, 25; -1/2] Ano [-1/4; -1, 5] Ano

Příklady Je dána funkce f: y=-2/3 x+0, 5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která

Příklady Je dána funkce f: y=-2/3 x+0, 5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [-3; 2, 5] [0; -0, 5] [-9; 6, 5] [3; -1, 5] [6; -3, 5]

Příklady Je dána funkce f: y=-2/3 x+0, 5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která

Příklady Je dána funkce f: y=-2/3 x+0, 5 ; x -3; 6). Rozhodněte, která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f. [-3; 2, 5] Ano [0; -0, 5] Ne [-9; 6, 5] Ne [3; -1, 5] Ano [6; -3, 5] Ne

Příklady Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4 x - 3 s osami

Příklady Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4 x - 3 s osami souřadnic.

Příklady Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4 x - 3 s osami

Příklady Vypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4 x - 3 s osami souřadnic. Průsečík s osou y má souřadnice: [0; y] Dosazením do rovnice dostaneme: y=-3 [0; -3] Jinak také na základě znalostí vlastností lineárních funkcí a průběhu jejich grafů víme, že koeficient b v rovnici lineární funkce určuje průsečík s osou y, přesněji řečeno jeho y-ovou souřadnici, přičemž x-ová je samozřejmě nulová. Z toho tedy bez jakéhokoliv výpočtu také vyplývá, že souřadnice průsečíku s osou x jsou: [0; -3] Obecně tedy platí, že průsečík s osou y má vždy souřadnice [0; b]. Průsečík s osou y má souřadnice: [x, 0] Dosazením do rovnice dostaneme: 0=4 x-3 4 x=3 x=3/4 [3/4; 0]

Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2

Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2 x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.

Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2

Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2 x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající a zdůvodněte. f: y = 3 a=0 funkce konstantní

Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2

Příklady Jak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2 x ? Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte. f: y = -2 x a<0 funkce klesající

Příklady Jsou dány tři lineární funkce: f: y = 2 x - 3, g:

Příklady Jsou dány tři lineární funkce: f: y = 2 x - 3, g: y = 2 x + 5, h: y = 7 x + 5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?

Příklady Jsou dány tři lineární funkce: f: y=2 x-3, g: y=2 x+5, h: y=7

Příklady Jsou dány tři lineární funkce: f: y=2 x-3, g: y=2 x+5, h: y=7 x+5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h? Lineární funkce f a g mají stejný kladný koeficient a, jsou tedy rostoucí pod stejným sklonem (úhlem). Liší se jen koeficientem b, tedy jejich grafy jsou rovnoběžné přímky. Lineární funkce g a h mají stejný koeficient b, jejich grafy tedy mají společný průsečík s osou y … [0; 5].

Příklady Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body: A[0, 2] a B[2, 3].

Příklady Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body: A[0, 2] a B[2, 3].

Příklady Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body: A[0, 2] a B[2, 3].

Příklady Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body: A[0, 2] a B[2, 3]. Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce: y = ax + b Dostaneme tak Dosazením vypočítaných soustavu dvou koeficientů a a b do lineárních rovnic obecné rovnice lineární o dvou neznámých: funkce dostaneme námi koeficientech lineární hledanou rovnici funkce a a b. procházející zadanými 2 body. 2 = a. 0 + b 3 = a. 2 + b 2=b 3 = 2 a + 3 - 2 = 2 a 1 = 2 a a = 0, 5 y = 0, 5 x + 2

Příklady Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů.

Příklady Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky.

Příklady: Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů.

Příklady: Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky. y = 150 – 30. x Množství vody v sudu. 20 = 150 – 30. x = 150 – 20 30. x = 130 : 30 Čas, počet minut vytékání. x = 13/3 min 20 litrů bude v sudu za 4 minuty a 20 sekund.

Příklady Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů.

Příklady Ze sudu, v němž je 150 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapište rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? Řešte početně i graficky. x y 0 1 150 120 2 3 4 5 90 60 30 0 x = 13/3 min