Fungsi Penerapan fungsi dalam bidang pertanian merupakan bagian

Fungsi Penerapan fungsi dalam bidang pertanian merupakan bagian yang sangat penting untuk dipelajari, karena model-model dalam matematika biasa disajikan dalam bentuk fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal antara dua himpunan data. Jika himpunan data = variabel. Maka fungsi dapat dikatakan sebagai hubungan antara dua variabel. Fungsi dapat berbentuk persamaan ( = ) juga dapat berbentuk pertidaksamaan (≤ atau ≥ ). Pengertian dan Unsur-Unsur Fungsi adalah suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yang mana unsur pembentuk nya terdiri dari : variabel, koefisien dan konstanta. Kehadiran unsur konstanta dari suatu fungsi persamaan maupun pertidaksamaan tidak harus.

Pengertian Variabel, Koefisien dan konstanta Variabel: Unsur pembentuk fungsi yang mewakili faktor tertentu. Dilambangkan dengan huruf latin kecil. Dalam suatu fungsi ada dua variabel yaitu variabel bebas dan variabel tidak bebas. Koefisien: adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Konstanta: adalah bilangan atau angka yang kadang-kadang turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu. Notasi sebuah fungsi secara umum Contoh konkret Atau karena y = f(x) bisa pula : y = f(x) : y = 5 + 3, 6 x : f(x) = 5 + 3, 6 x

Jenis-Jenis Fungsi F. Aljabar F. Irrasional F. Non Aljabar F. Rasional F. Polinom F. Linier F. Kuadratik F. Bikuadrat F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbola F. Pangkat

F. Polinomial: y = a 0 + a 1 x +a 2 x 2 + … + anxn. fungsi yang mengandung banyak suku(polinom) dalam variabel bebasnya. F. Linear: y = a 0 + a 1 x dimana a 1≠ 0 Fungsi polinomial khusus yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya pangkat satu F. Kuadratik : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 dimana a 2≠ 0 Fungsi polinomial khusus yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya pangkat dua F. Pangkat : y =xn. Dimana n bilangan bulat dan n bukan nol Fungsi yang variabel bebasnya sebuah bilangan nyata bukan nol F. eksponensial: y = nx dimana n > 0 Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol Fungsi Umum Linear Kuadrat Kubik Bentuk Eksplisit y= f(x) y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 implisit f(x, y) = 0 a 0 + a 1 x – y = 0 a 0 + a 1 x + a 2 x 2 - y = 0 a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 -y = 0

Penggambaran Fungsi Linear Suatu fungsi dalam penggambarannya lewat grafik dgn sumbu silang (koordinat). Caranya memindahkan koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya. Dimana variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertikal (ordinat) kemudian menghubungkan titik-titik menggunakan garis. Ringkasannya: 1. Tentukan persamaan fungsi 2. Tentukan nilai variabel x dan y 3. Buat sumbu silang untuk variabel x dan y 4. Sebarkan titik-titik koordinat ke sumbu silang 5. Hubungkan titik-titik koordinat y = 8 – 2 x X 0 1 2 3 4 Y 8 6 4 2 0

Penggambaran Fungsi Non Linier Pada dasarnya penggambaran fungsi non linier adalah sama dengan penggambaran fungsi linier namun karena bentuk persamaannya berbeda sehingga saat menghubungkan titik-titik koordinat maka garis yang terbentuk menjadi non linier (fungsi kuadrat parabola, fungsi kuadrat parabolik, fungsi kubik Ringkasannya: 1. Tentukan persamaan fungsi 2. Tentukan nilai variabel x dan y 3. Buat sumbu silang untuk variabel x dan y 4. Sebarkan titik-titik koordinat ke sumbu silang 5. Hubungkan titik-titik koordinat

1. Fungsi Kuadrat Parabolik y = 8 – 4 x+ x 2 X 0 1 2 3 4 y 2. Fungsi Kuadrat Parabolik x = 8 – 2 y- y 2 X y 3. Fungsi Kubik y = -2 + 4 x 2 – x 3 0 X y 5 -1 8 0 9 1 8 2 5 3 0 4

PENGGAL Penggal/intercept atau garis yang memotong garis koordinat. Penggal sebuah kurva adalah titik potong kurva tersebut pada sumbu-sumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat diketahui. Penggal pada sumbu y dapat ditentukan dengan cara memisalkan x = 0 sehingga nilai y dapat dihitung. Sebagai contoh: y = 16 – 8 x Penggal pada sumbu x : y=0 maka x = 2 Penggal pada sumbu y; x=0 maka y = 16

SIMETRIS Dua buat titik dikatakan simeteris terhadap sebuah garis jika garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simeteris terhadap titik ketiga jika titik ketiga terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi. Dapat disimpulkan: 1. Titik (x, y) simeteris terhadap titik : (x, -y), sehubungan dengan sumbu x. (-x, y), sehubungan dengan sumbu y (-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal 2. Sebuah kurva simetris terhadap: sumbu horizontal x, sumbu vertikal y atau titik pangkal

Sebuah kurva akan simetris terhadap sumbu x jika setiap titik (x, y) pada kurva itu dititik simetris (x, -y) jg terdapat kurva tersebut, yakni jika penggantian y oleh –y dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen. Sebuah kurva akan simetris terhadap sumbu y jika setiap titik (x, y) pada kurva itu titik simetris (-x, y) jg terdapat pada kurva tersebut, yakni penggantian x oleh –x dalam persamaannya menghasilkan persamaaan yang ekivalen. Sebuah kurva akan simetris terhadap titik pangkal jika setiap titik (x, y) pada kurva itu titik simetris (-x, -y) juga terdapat pada kurva tersebut yakni jika penggantian x oleh –x dan y oleh –y dalam persamaannya menghasilkan persamaan yang ekivalen.

Secara Ringkas bahwa kurva dari suatu persamaan f(x, y) = 0 adalah simeteris terhadap: : 1. Sumbu x jika f(x, y) = f(x, -y) = 0 2. Sumbu y jika f(x, y) = f(-x, y) = 0 3. Titik pangkal jika f(x, y)= f(-x, -y) = 0 Sebuah kurva yang simetris terhadap kedua sumbu x dan sumbu y, dengan sendiri akan simetris pula terhadap titik pangkal. Akan tetapi simetris terhadap titik pangkal tidak berarti dengan sendirinya simetris terhadap salah satu, apalagi kedua sumbu.

Contoh: 1. Kurva dari persamaan x 2 + y 2 - 5 = 0 Adalah simeteris terhadap sumbu x, sumbu y dan titik pangkal, coba selidiki Simetris terhadap sumbu x adalah: f(x, -y) = x 2 + (-y)2 - 5 = 0 = x 2 + y 2 - 5, ternyata f(x, -y) = 0 ekivalen dengan f(x, y) = 0 berarti f(x, y) = 0 simeteris terhadap sumbu x. caranya f(x, y) = f(x, -y)= 0 Simetris terhadap sumbu y adalah: f(-x, y) =(- x)2 +y 2 - 5 = 0 = x 2 + y 2 - 5, ternyata f(-x, y) = 0 ekivalen dengan f(x, y) = 0 berarti f(x, y) = 0 simeteris terhadap sumbu y. Simeteris terhadap titik pangkal adalah : f(-x, -y) =(- x)2 + (-y)2 - 5 = 0 = x 2 + y 2 - 5, ternyata f(-x, y) = 0 ekivalen dengan f(x, y) = 0 berarti f(x, y) = 0 simeteris terhadap titik pangkal. 2. Kurva dari persamaan x 4 + x 2 y + 3 y - 7 = 0 Adalah simeteris hanya terhadap sumbu y tetapi tidak simeteris terhadap sumbu x dan titik pangkal coba selidikilah ? 3. Selidikilah kesimterisan kurva yang dicerminkan oleh persamaan 3 x 2+ 4 x - 5 y= 0 terhadap sumbu x, sumbu y dan titik pangkal.

PERPANJANG AN Dalam menggambarkan kurva dari suatu persamaan f(x, y) =0 pada umumnya kita membatasi diri hanya sampai nilai x dan y tertentu. Kita tidak tahu sampai seberapa jauh ujung-ujung kurva tersebut dapat diperpanjang. , apakah sampai nilai–nilai x atau y tak terhingga (± ) ataukah terbatas hanya sampai nilai-nilai x atau y tertentu. Konsep perpanjangan berperan menjelaskan suatu kurva itu dapat diperpanjang terus-menerus atau tidak ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau nilai y tertentu.

Pada prinsipnya titik-titik(x, y) yang dapat dimanfaatkan dalam sumbu silang adalah bilangan yang nyata bukan bilangan khayalan. Jika sebuah persamaan mengandung variabel berpangkat genap maka penyelesaiannya untuk variabel yang bersangkutan akan melibatkan akar berpangkat genap konsekuensinya perpanjangannya menjadi terbatas karena bilangan negatif akan menghasilkan bilangan khayalan. sehingga tidap dapat dimasukkan dan tidak dimanfaatkan.

Contoh Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh persamaan x 2 - y 2 -25 = 0 Penyelesaian untuk x: x = ± 25 + y 2 Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga x akan selalu berupa bilangan nyata. Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y tidak terbatas. Penyelesaian untuk y: y = ± x 2 - 25 Jika x< 5 atau x > -5 (ringkasnya: x I < 5), bil di bawah tanda akar akan negative dan y akan menjadi bil khayal atau maya (tidak nyata) berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x = ± 5. Kesimpulan kasus di atas Jadi, dalam kasus contoh 1 ini tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk variable x (searah sumbu y), tetapi terdapat batas perpanjangan untuk variable y (searah sumbu x) Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh persamaan x 2 + y 2 -25 = 0 Penyelesaian untuk x: x = ± 25 + y 2 Jika y> 5 atau y < -5 (ringkasnya: y I > 5), bil di bawah tanda akar akan negative dan x akan menjadi bil khayal atau maya (tidak nyata) sehingga tidak dapat ditempatkan pada system koordinat. Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y terbatas hanya sampai y = ± 5, dengan perkataan lain perpanjangan tersebut terbatas hanya untuk interval -5≤ y ≤ 5. Penyelesaian untuk y: y = ± 25 - x 2 Jika x< 5 atau x > -5 (ringkasnya: x I > 5), bil di bawah tanda akar akan negative dan y akan menjadi bil khayal atau maya (tidak nyata) berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya untuk interval -5≤ x ≤ 5. Kesimpulan Kasus ke dua Perhatikan bahwa dalam kasus contoh 2, ini keterbatasan perpanjangan pada variable x membatasi pula perpanjangan pada variable y.

Latihan Fungsi Tentukan penggal –x dan penggal –y dari persamaan-persamaan: a. 5 x -10 y -20 = 0 b. X 2 -6 x + y + 2 = 0 c. X 2 + y 2 -8 x -6 y -11= 0 d. X 3 - 4 x 2 -3 x –y + 18 = 0 Selidiki kesimetrian kurva dari persamaan-persamaan berikut terhadap sumbu -x, sumbu -y dan titik pangkal: a. 6 x 2+5 x –y = 0 b. X 3+8 x 2 y+ 3 y = 0 c. X 4 + 5 y 2 -3 = 0 d. X 3 – y 2 = 0 Untuk persamaan-persamaan di bawah ini, selidikilah apakah terdapat balas perpanjangan bagi kurva-kurvanya: a. X 2 + y 2 =100 b. 0, 5 x 2 – 0, 5 y 2 = 147, 92 c. 2 x – 5 = y 2 d. X 2 +y 4 -6 = 0

Tentukan apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini benar atau salah dan betulkan jika salah: 1. Persamaan x 2 y =9 tidak mempunyai penggal –x dan penggal -9 2. Kurva dari persamaan x 3 - 4 y = 0 simetris terhadap titik pangkal dan perpanjangannya tak terbatas 3. Kurva x 2 (x 2 -1) –y = 0 simetris terhadap titik pangkal 4. Kurva x 3 -4 y = 0 simetris terhadap sumbu -y