FUNGSI PELUANG DISKRIT KONTINU DAN BERSAMA Kelompok I

“FUNGSI PELUANG DISKRIT, KONTINU, DAN BERSAMA” Kelompok I : Christian Koba Riskika Fauziah Kodri Yulin Tipaka

◊ Fungsi Peluang Diskrit

Didapat: X P(X) 0 ¼ 1 ½ 2 ¼ Jumlah 1

Distribusi Probabilitas Diskrit Tiap nilai sebuah variabel random memiliki probabilitas tertentu untuk muncul. Contoh: � Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam pelemparab tsb. Maka ruang sampelnya: S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA} x = 0 {AAA} P(X=0) = 0 x = 1 {GAA, AGA, AAG} P(X=1) = 3/8 x = 2 {GGA, GAG, AGG} P(X=2) = 3/8 x = 3 {GGG} P(X=3) = 1/8

Distribusi Probabilitas Diskrit

◊ Fungsi Peluang Kontinu

Jika X adalah variabel random dengan peluang pada setiap titik tunggal x sama dengan nol, yakni P (X = x) = 0, maka X dinamakan variabel random kontinyu. Jika X variabel random kontinyu, maka ada fungsi f (x) sehingga peluang variabel random X berada di antara a dan b sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f (x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. Selanjutnya peluang X berada di antara a dan b ditulis P (a < X < b). Fungsi f (x) tersebut dinamakan

Fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinyu X , ditulis F (x), didefinisikan sebagai peluang variabel random X bernilai lebih kecil atau sama dengan x atau f(x) = P (X < x)

Distribusi Probabilitas Kontinu Contoh. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yg memiliki fungsi rapat probabilitas sbb: a. Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas b. Berapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1? Jawab. a. b.

Contoh 1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam. a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X. b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

◊ Peluang Fungsi Bersama Misalkan X dan Y ada peubah acak diskrit yang terdenisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama (joint pmf ) dari X dan Y adalah P X, Y (x, y) = P (X = x; Y = y)

1. 2. Catatan. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama {X = x; Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y

Contoh Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i, j)=P{X=i, Y=j)

Semua kemungkinan pasangan nilai (x, y) yang mungkin adalah (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), dan (3, 0) f(0, 0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220 Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10 f(0, 0) adalah 10/220

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1 x p(x, y) y 1 2 3 0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220 1 40/220 60/220 12/220 112/220 2 30/220 18/220 48/220 3 4/220 84/220 108/220 27/220 1 Total Kolom Total Baris 0 Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut Untuk X=0, 1, 2, 3; Y=0, 1, 2, 3; 0≤ X+Y ≤ 3

Distribusi Probabilitas Bersama (Joint) Contoh. Sebuah perusahaan permen mendistribusikan kotak-kotak cokelat yang berisi isian jenis: krim, tofi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamanya: a. Periksalah apakah integral f(x, y) di seluruh daerah = 1 b. Carilah probabilitas mendapati 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2

Surface plot f(x, Y)

Distribusi Probabilitas Bersama (Joint) Jawab. a. Integral di seluruh wilayan x, y: b. P(0<X<1/2, 1/4<Y<1/2)

TERIMA KASIH