FUNGSI Matematika Diskrit Definisi Fungsi adalah jenis khusus

FUNGSI Matematika Diskrit

Definisi • Fungsi adalah : jenis khusus dari relasi • Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat : 1. Domain dari f adalah X 2. Jika (x, y), (x, y)’ f, maka y = y’ • Notasi : f: X Y Matematika Diskrit 1

Definisi (lanjutan) • Domain dari f adalah X ÄTiap komponen domain mempunyai pasangan (relasi) • Jika (x, y), (x, y)’ f, maka y = y’ ÄTiap komponen tidak boleh mempunyai 2 pasangan Matematika Diskrit 2

Fungsi Matematika Diskrit 3

Bukan Fungsi Matematika Diskrit 4

Contoh • f = {(1, a), (2, b), (3, a)} X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} f: X Y fungsi • f = {(1, a), (2, b), (3, a)} X = {1, 2, 3, 4} Y = {a, b, c} f: X Y bukan fungsi • f = {(1, a), (2, b), (3, c), (1, b)} X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} f: X Y bukan fungsi Matematika Diskrit 5

• Manakah yang fungsi: – Setiap mahasiswa memetakan NIM – Setiap mahasiswa memetakan nomor HP nya – Setiap mahasiswa memetakan dosen walinya Matematika Diskrit 6

Spesifikasi Fungsi 1. Himpunan pasangan terurut Fungsi adalah relasi sedangkan relasi dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut 2. Formula pengisian nilai (assignment) Asumsi daerah asal fungsi (domain) dan daerah hasil fungsi (range) fungsi : R maka himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai f = { (x 1, x 2) | x R } 3. Kata-kata Fungsi secara eksplisit dapat dinyatakan dalam rangkaian kata-kata 4. Kode program Fungsi dispesifikasikan dalam bentuk kode program. Matematika Diskrit 7

Jenis Fungsi • Fungsi satu-satu (one-to-one) • Fungsi pada (onto) Matematika Diskrit 8

Koresponden Satu-satu atau Injektif • Fungsi f dari X ke Y dikatakan berkoresponden satu-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika untuk setiap y Y, terdapat paling banyak satu x X dengan f(x) = y • Contoh : X Fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, a)} dari X = {1, 2, 3} ke Y = {a, b, c, d} koresponden bukan satu-satu Y 1 2 3 a b c d Matematika Diskrit 9

Dipetakan pada (Onto/Surjective) • Jika f adalah fungsi dari X ke Y dan daerah hasil dari f adalah Y, f dikatakan dipetakan pada (onto) Y (atau suatu fungsi pada atau suatu fungsi surjektif) X Y • Contoh : a 1 2 3 b c 4 Fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)} dari X = {1, 2, 3, 4} ke Y = {a, b, c} koresponden satu-satu dan dipetakan pada Y Matematika Diskrit 10

• Manakah yang fungsi injektif/surjektif/bijektif – f(x)= x 2+1 – f(x)= x-1 Matematika Diskrit 11

Bijeksi (Bijection) • Sebuah fungsi yang baik satu-satu maupun pada disebut bijeksi (bijection) • Contoh : Fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)} dari X = {1, 2, 3} ke Y = {a, b, c} bijeksi X 1 2 3 Matematika Diskrit Y a b c 12

Fungsi Inversi • Notasi : f-1 • Jika f adalah berkoresponden satu-satu dari A ke B maka dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f • Fungsi yang berkoresponden satu-satu sering dinamakan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan) karena dapat mendefinsikan fungsi balikkannya • Fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu karena fungsi balikkannya tidak ada f(a) b a f-1(b) Matematika Diskrit 13

Contoh • Tentukan invers fungsi f(x) = x – 1 Jawaban : f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu jadi balikkan fungsinya ada f(x) = y y = x -1 Sehingga : x=y+1 Invers fungsi balikkannya adalah : f-1(y) = y + 1 • Tentukan invers fungsi f(x) = x 2 + 1 Jawaban : f(x) = x 2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu sehingga fungsi inversinya tidak ada Sehingga f(x) = x 2 + 1 adalah fungsi yang not invertible Matematika Diskrit 14

• Manakah yang mempunyai inversi: – f(x)= x 4+1 – f(x)= 2 x+1 – f(x)= x 3 Matematika Diskrit 15

Komposisi (Composition) • Misalkan g adalah sebuah fungsi dari X ke Y dan f fungsi dari Y ke Z. Jika diberikan x X Äg untuk menentukan anggota unik y = g(x) Y Äf untuk menentukan anggota unik z = f(y) = f(g(x)) Z • Notasi : (f o g)(a) = f(g(a)) fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f A g(a) a Matematika Diskrit (f o g)(a) B g(a) f(g(a)) C f(g(a)) 16

Contoh • Fungsi g = {(1, a), (2, a), (3, c)} memetakan X = {1, 2, 3} ke Y = {a, b, c} dan fungsi f = {(a, y), (b, x), (c, z)} memetakan Y = { a, b, c} ke Z = { x, y, z} maka komposisi dari X ke Z adalah : f o g = {(1, y), (2, y), (3, z)} Matematika Diskrit 17

Fungsi Khusus • • Fungsi Floor dan Ceiling Fungsi Modulo Fungsi Faktorial Fungsi Eksponen dan Logaritmik Matematika Diskrit 18

Fungsi Floor (Batas bawah) • Batas bawah dari x adalah bilangan bulat terbesar yang kecil dari atau sama dengan x • Notasi : • Contoh : 8. 3 = 8 -8. 7 = -8 Matematika Diskrit 19

Fungsi Ceiling (Batas Atas) • Batas dari x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x • Notasi : • Contoh : 6 = 6 -11. 3 = -11 9. 1 = 10 -8 = -8 Matematika Diskrit 20

Fungsi Modulo • Jika x adalah bilangan bulat tak negatif dan y adalah bilangan bulat positif, didefinisikan x mod y sebagai sisa jika x dibagi y • Contoh : F 6 mod 2 = 0 F 5 mod 1 = 0 F 8 mod 12 = 8 F 199673 mod 2 = 1 Matematika Diskrit 21

Fungsi Faktorial • Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n Dilambangkan dengan : n! Didefinisikan sebagai : • Contoh : • • 0! = 1 1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 x 1 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 3 x 2 x 1 = 6 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Matematika Diskrit 22

Fungsi Eksponensial • Fungsi eksponensial berbentuk : 1 , n=0 an = a x … x a, n > 0 n • Untuk kasus perpangkatan negatif : • Contoh : • 43 = 4 x 4 = 64 • 4 -3 = 1/64 Matematika Diskrit 23

Fungsi Logaritmik • Fungsi logaritmik berbentuk : • Contoh : • 4 log 64 = 3 karena 64 = 43 • 2 log 1000 = 9 karena 29 = 512 tetapi 210 = 1024 Matematika Diskrit 24

Latihan 1. g = {(1, b), (2, c), (3, a), (4, b)} adalah fungsi dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c, d} dan fungsi f = {(a, x), (b, y), (c, w), (d, z)} adalah fungsi dari B = {a, b, c, d} ke C = {w, x, y, z} maka komposisi dari X ke Z adalah : a. Tuliskan f o g sebagai pasangan terurut b. Apakah f o g merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif? x-1 2. Tentukan invers dari fungsi f(x) = 1 3 x+2 Matematika Diskrit 25

Tipe data dasar Tipe data Nilai Operasi Int Bil bulat + - Aritmatika dan relasional Float Bil pch + - Aritmatika dan relasional Bool/logika True dan false Char Alfanumerik dan karakter khusus String Alfanumerik dan ( deretan char) karakter khusus • Tipe data terstruktur: array dan struct Matematika Diskrit 26

Operasi dasar komputer Operasi Operator Operand hasil Aritmatika +-*/% Int dan float int Relasional/ perbandingan < <= > >= == != Int dan float bool Bool/logika ! || && (not, or, and) String (deretan char) Strcpy, strcmp, strchr, strlen, dll Matematika Diskrit 27