Fungsi komposisi dan fungsi invers SEMESTER 2 KELAS

Fungsi komposisi dan fungsi invers SEMESTER 2 KELAS XI IPA 4. menyebutkan sifat-sifat komposisi fungsi 5. menjelaskan kondisi agar suatu fungsi mempunyai invers 6. menentukan aturan fungsi invers dari suatu fungsi 7. menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya 8. menyebutkan sifat fungsi invers dikaitkan dengan fungsi komposisi

B. Fungsi komposisi dan fungsi invers 1. Fungsi komposisi mesin fungsi y = f(x) dapat dipandang sebagai seguah mesin dengan masukan bahan baku x єDf dan setelah diproses menghasilkan keluaran y єRf. Komposisi fungsi ● untuk Rf ⋂Dg himpunan yang tak kosong, fungsi komposisi dari g dan f, ditulis g◦f(f dilanjutkan g) adalah suatu fungsi yang aturannya ditentukan oleh y = (g◦f)(x)=g(f(x)) ●untuk Rg ⋂Df himpunan yang tak kosong, fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f◦g(g dilanjutkan f) adalah suatu fungsi yang aturannya ditentukan oleh y = (f◦g)(x)=f(g(x))

Sifat fungsi komposisi ● jika f: Df → Rf, y=f(x) dan g: Dg → Rg, y = g(x) memenuhi Rf Dg, maka terdapat fungsi komposisi g ◦ f: Df→Rf dengan aturan (g◦f)(x)= g(f(x)), daerah asalnya Dg◦f = Df, dan daerah nilainya Rg◦f = {y єRg : y= g(t), t єRf} ● jika f: A→B, y= f(x)dan g: B C, y = g(x), maka terdapat fungsi komposisi g◦f: A→C dengan aturan (g◦f)(x)= g(f(x)), daerah asalnya Dg◦f →A dan daerah nilainya R g◦f = {y є C : y=g(t), t є Rf} h B sifat operasi komposisi A asosiatif Jika h: A→B, g: B→C, dan f: C → D, g◦f maka f◦(g◦h))(x)=((f◦g)◦h)(x) xє dengan f◦(g◦h)= g (f◦g)◦h g◦h: →C dan f◦g: B→D f◦g D f C

sifat unsur identitas operasi komposisi • fungsi i. A: A→A, i. A(x): x xє dinamakan f B A fungsi identitas pada himpunan A f◦i. A=f • fungsi i. B: B→B, i. B(x): x xєB dinamakan fungsi identitas pada himpunan B i. A i. B • jika f: A→B, f◦i. A=f dan i. B◦f=f Dalam i. B◦f=f bentuk nilai fungsinya, A B (f◦i. A)(x) =f(x) x єA f (i. B◦f)(x) =f(x) x єA contoh: Jika f(x)= x 2 – 1, g(x)= 1 - 2 x, dan h(x)= √x, periksa sifat asosiatif komposisi f◦(g◦h)=(f◦g)◦h, kemudian tentukan daerah asal dan daerah nilainya! Jawab: perhatikan bahwa h : {x: x ≥ 0} r, g: r r , dan f: r r , sehinggakondisi untuk dapat dirancangkan fungsi f◦(g◦h) dan (f◦g)◦h terpenuhi.

Untuk fungsi f, g dan h kita akan memeriksa apakah (f◦(g◦h)(x)=((f◦g)◦h)(x) xє{x: x≥ 0} ● karena (g ◦h)(x) = g(h(x))= g(√x)=1 - 2√x, maka (f◦(g◦h))(x)= f((g◦h)(x))= f(1 - 2√x)=(1 -2√x)2 - 1 =4(x-√x) ● karena (f ◦g)(x) = f(g(x))= f(1 -2 x)=(1 - 2 x)2 - 1=4(x 2 x), maka ((f◦g)◦h)(x)=(f◦g)(h(x))=(f◦g)(√x) =4((√x)2 -√x)=4(x-√x) dari kedua hasil ini diperoleh (f◦(g◦h))(x)=((f◦g)◦h(x) xє{x: x≥ 0} • daerah asal fungsi f◦g◦h adalah {x: x≥ 0}. Untuk menentukan daerah nilainya, dari aturan y = (f◦g◦h)(x)=(1 -2√x)2 – 1 dengan (1 -2√x)2≥ 0 diperoleh y ≥ -1 x є{x: x≥ 0}. Jadi daerah nilai fungsi f◦g◦h adalah {y: ≥-1}

2. Fungsi invers • kondisi agar f : Df Rf, y=f(x) mempunyai invers adalah fungsi f satu ke satu • jika f-1: Rf Df adalah invers dari fungsi f, maka kaitan antara f dan f-1 adalah f(f-1(y))=y y є Rf dan f-1(f(x))=x x є Df yang setara dengan y= f(x) x=f-1(y) xє Df dan y єRf • aturan fungsi f-1: Rf Df dapat ditentukan dengan cara menyatakan x dalam y kemudian buatlah x dan y saling bertukar peran, atau sebaliknya. • grafik fungsi f dan inversnya f-1 simetri terhadap garis y=x

Contoh: tentukan invers dari fungsi f(x)= x 3! Jawab: nyatakan x dalam y, diperoleh x = y 1/3. agar fungsi f dan f-1 mempunyai peubah bebas yang sama, buatlah x dan y saling bertukar peran. Jadi, invers fungsi f adalah y = f-1(x) = x 1/3 = 3√x atau pada aturan fungsi y=x 3 buatlah x dan y saling bertukar peran, dipeeroleh x = y 3, akibatnya y = x 1/3. jadi invers f adalah y = f-1(x)= x 1/3 = 3√x