Fungsi komposisi dan fungsi invers SEMESTER 2 KELAS

Fungsi komposisi dan fungsi invers SEMESTER 2 KELAS XI IPA Tujuan: 1. Siswa dapat menentukan aturan komposisi dari beberapa fungsi 2. siswa dapat menjelakan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pebentuknya. 3. menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi bila aturan komposisi dan komponen lainnya diketahui

A. Fungsi Real, Sifat dan Penggunaannya 1. Fungsi Real produk kartesis dan relasi ● produk kartesis dari himpunan S dan T adalah hi, punan semua pasangan terurut dengan komponen pertama unsur di S dan komponen kedua unsur di T, ditulis dengan lambang S x T = {(x, y) : x є S dan y є T} ● Himpunan semua pasangan bilangan real ditulis r 2, adalah produk kartesis r x r = {(x, y): x є r dan y є r}. Himpunan ini dikenal sebagai sistem koordinat kartesius bidang. ● Suatu himpunan pasangan terurut dari bilangan real dinamakan suatu relasi. Daerah asal relasi R adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurutnya. Daerah nilai relasi R adalah himpunan seua komponen kedua dari pasangan terurutnya. Relasi R juga ditentukan oleh aturan yang mengaitkan x dan y yang

r Daerah asal (5, 5) (0, 5) (1, 4) (2, 4) (3, 4) 4 (1, 2) (1, 3) 1● (1, 4) (2, 3) 2● (2, 4) (3, 4) 3● (1, 3) (2, 3) 3 (1, 2) 2 1 (0, 0) r Daerah nilai 2● 3● 4● r 1 2 3 4 5 Diagram kartesius relasi r Diagram panah suatu relasi digunakan untuk menggambarkan daerah asal dan daerah nilai relasinya. Dalam kasus relasinya mempunyai tak hingga unsur, diagram panah kurang dapat menunjukkan unsur-unsur di dalam relasinya.

Fungsi real ● Fungsi sebagai bagian dari suatu relasi. Fungsi adalah suatu relasi yang bersifat setiap dua unsur sama di daerah asalnya mengakibatkan dua unsur sama di daerah nilainya. Jika (x 1, y 1) dan (x 2, y 2) adalah unsur relasinya, maka kondisi untuk fungsi adalah x 1 = x 2 y 1= y 2 untuk setiap x 1 dan x 2 di daerah asal relasinya. Jika daerah asal dan daerah nilai dari relasinya himpunan bagian dari R, maka fungsinya dinamakan fungsi real. ● lambang fungsi. Fungsi diberi lambang f dan nilai fungsi dari unsur x diberi lambang f(x). Agar suatu relasi R berbentuk fungsi, kondisinya adalah x 1= x 2 f(x) ∀ x 1, x 2 di daerah asal relasi R. ● Fungsi sebagai pemetaan. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. setiap unsur di A mempunyai pasangan dan tidak boleh dikaitkan dengan lebih dari satu unsur di B. Kondisi ini setara dengan kondisi fungsi sebagai bagian darin suatu relasi. Jika A dan B himpunan bagian dari R, maka pemetaannya dinamakan fungsi real. Jika aturan fungsinya y = f(x), maka f(x) dinamakan peubah bebas dan y yang nilainya bergantung dari x dinamak peubah tak bebas.

● Daerah asal dan daerah nilai fungsi. Daerah asal fungsi f diberi lambang Df dan daerah nilainya Rf. Jika fungsi f dipandang sebagai pemetaan dari A ke B, maka Df = A. Jika aturan fungsi f diberikan lebih dulu, maka Df = himpunan semua x sehingga x 1 = x 2 f(x 1)=f(x 2). Untuk fungsi real, Df = himpunan semua x є r sehingga f(x)є r. pada setiap kasus, daerah niali fungsi f ditulis Rf adalah himpunan semua f(x) dengan x di Df. Daerah asal fdungsi yang aturannya dibeerikan lebih dahulu sering kali dinamakan daerah aasal alamiah. Dalam berbagai kasus, aturan beserta daerah asalnya tel; ah ditentukan lebih dahulu. ● diagram panah. Fungsi dapat digambarkan sebagai diagram panah pemetaan antar dua himpunan. ● Grafik fungsi real. Himpunan titik {(x, y): y = f(x), x є Df dan y є Rf} di bidang dinamakan grafik fungsi f.

Contoh: tentukan daerah asal dan daerah nilai dari fungsi a. f(x) =4 x – x 2 dan b. g(x) = 4 x – x 2, 1 ≤ x ≤ 5 jawab: a. daerah asal fungsi f adalah Df = r karena setiap bilangan real dapat digantikan pada aturan fungsinya. Untuk menentukan daerah nilainya, gunakan kesamaan 4 x – x 2 = 4 – (x - 2)2 karena –(x - 2)2 ≤ 0∀x≤Df =r sehingga daerah nilai fungsi f adalah Rf = {y: y ≤ 4} b. daerah asal fungsi g telah ditentukan soal, yaitu Dg = {x : 1 ≤ x ≤ 5}. Ini berarti aturan fungsi g hanya berlaku untuk x yang memenuhi 1 ≤ x ≤ 5. untuk menentukan daerah nilainya, dari 1 ≤ x ≤ 5 diperoleh -1 ≤ x - 2 ≤ 3, sehingga 0 ≤ (x-2)2 ≤ 9. akibatnya -9 ≤ -(x 2)2≤ 0, sehingga -5 ≤ 4 x-x 2 = 4 – (x-2)2 ≤ 4. Karena itu -5 ≤ g(x) ≤ 4, sehingga daerah nilai fungsi g adalah Rg = {y : -5 ≤ y ≤ 4}

2. Sifat dan penggunaan fungsi real operasi aljabar pada fungsi jika fungsi f dan g mempunyai daerah asal yang sama, maka terhadap kedua fungsi itu dapat dilakukan operasi aljabar berikut: ● penjumlahan. Jumlah fungsi f dan g, ditulis f + g, adalah suatu fungsin yang aturannya di setiap x є D = Df ⋂ Dg ditentukan oleh (f + g)(x) = f(x) + g(x) ● pengurangan. Selisih fungsi f dan g, ditulis f – g adalah suatu fungsi yang aturannya di setiap x є D = Df ⋂ Dg ditentukan ole (f - g)(x) = f(x) - g(x) ● perkalian. Hasil kali fungsi f dan g , ditulis fg adalah suatu fungsi yang aturannya di sertiap x є D= Df ⋂ Dg ditentukan oleh (fg)(x) = f(x)g(x) dalam kasus g fungsi konstan diperoleh perkalian fungsi f dengan suatu konstanta

● pembagian. Hasilbagi fungsi f dan g ditulis f/g, adalah suatu fungsi yang aturannya di setiap x є D = Df ⋂ Dg- {x: g(x)= 0}ditentukan oleh (f/g)(x)= f(x)/g(x), g(x)≠ 0. contoh: jika f(x)= (1 -x)/(1+x) dan g(x) = 1/x, tentukan aturan dari jumlah, selisih, kali, hasilbagi f/g dan hasilbagi g/f beserta daerah asalnya! Jawab: daerah asal fungsi f dan g adalah Df = {x: x ≠ -1}dan Dg ={x: x ≠ 0} ◦jumlah dari fungsi f dan g adalah (f+g)(x)= ((1 -x)/(1+x))+(1/x)= (x-x 2+1+x)/x(x+1)= (-x 2+2 x+1)/x(x+1) Df+g = {x: x ≠ -1, x ≠ 0}

◦ selisih dari fungsi f dan g adalah (f-g)(x)= ((1 -x)/(1+x))-(1/x)= (x-x 2 -1 -x)/x(x+1)= -(x 2+1)/x(x+1) Df-g = {x: x ≠ -1, x ≠ 0} ◦hasil kali dari fungsi f dan g adalah (fg)(x)=((1 -x)/(1+x)). (1/x)= (-x+1)/x(x+1), Dfg = {x: x ≠ -1, x ≠ 0} ◦hasilbagi dari fungsi f dan g adalah (f/g)(x)=((1 -x)/(1+x))/(1/x)=-x(x-1)/(x+1), Df/g={x: x ≠ -1, x≠ 0} ◦hasil bagi dari fungsi f dan g adalah (g/f)(x)=(1/x)/((1 -x)/(1+x))=(-x+1)/x(x-1), Dg/f ={x: x ≠ -1, x≠ 1}

Fungsi implisit dan fungsi eksplisit secara umum, pengertian fungsi y a eksplisit dan implisit adalah sebagi (x, y) berikut: y ● fungsi dengan aturan y = f(x) yang L memasangkan setiap unsur di daerah x x a 0 asal-a dengan tepat satu unsur di daerah nilai dinamakan fungsi eksplisit y terhadap x. ● persamaan f(x, y)= 0 secara implisit -a X 2+y 2=a 2 memuat informasi y adalah fungsi dari x dan x adalah fungsi dari y, yang dinamakan fungsi implisit dari y terhadap x atau x terhadap y.

Fungsi genap dan fungsi ganjil ● fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap jika f(-x)= f(x) untuk setiap x є Df ● fungsi y = f(x) dikatakan fungsi ganjil jika f(-x)=-f(x) untuk setiap x єDf pergeseran kurva y = f(x-a)+b untuk sebarang konstanta a dan b yang tak nol adalah sebagai berikut ● a>0 dan b>0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kanan dan b satuan ke atas. ● a<0 dan b>0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kiri dan b satuan ke atas. ● a>0 dan b<0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kanan dan b satuan ke bawah. ● a<0 dan b<0: kurva y = f(x) digeser a satuan ke kiri dan b satuan ke bawah.