FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS MATEMATIKA WAJIB KELAS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS MATEMATIKA WAJIB KELAS X

FUNGSI KOMPOSISI

DEFINISI � Fungsi komposisi yaitu penggabungan operasi pada dua jenis fungsi f (x) dan g (x) hingga menghasilkan fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa yaitu dilambangkan dengan “o” dan dibaca dengan komposisi atau bundaran. � Fungsi baru yang bisa terbentuk dari f (x) dan g (x) yaitu: (f o g)(x) = g dimasukkan ke f (g o f)(x) = f dimasukkan ke g

� Jika f : A → B ditentukan rumus y = f (x) Jika g : B → C ditentukan rumus y = g (x) � Jadi, hasil fungsi g dan f : � h (x) = (g o f)(x) = g( f(x)) Dari penjelasan tersebut bisa disimpulkan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan g bisa ditulis : (g o f)(x) = g (f(x)) (f o g)(x) = f (g(x))

A x B f y C g z x A dipetakan oleh f ke y B ditulis f : x → y atau y = f(x) y B dipetakan oleh g ke z C ditulis g : y → z atau z = g(y) atau z = g(f(x)) http: //meetabied. wordpress. com

A x B f y C g z gof maka fungsi yang memetakan x A ke z C adalah komposisi fungsi f dan g ditulis (g o f)(x) = g(f(x)) http: //meetabied. wordpress. com

contoh 1 f : A → B dan g: B → C didefinisikan seperti pada gambar A a b f B 1 2 3 g C p q Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b) http: //meetabied. wordpress. com

Jawab: (g o f)(a) = ? A a b f B 1 2 3 g C p q f(a) = 1 dan g(1) = q Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q http: //meetabied. wordpress. com

(g o f)(b) = ? A a b f B 1 2 3 g C p q f(b) = 3 dan g(3) = p Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p http: //meetabied. wordpress. com

contoh 1 f : R → R dan g : R → R f(x) = 3 x – 1 dan g(x) = 2 x 2 + 5 Tentukan: a. (g o f)(x) b. (f o g)(x) http: //meetabied. wordpress. com

Jawab: f(x) = 3 x – 1 dan g(x) = 2 x 2 + 5 a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3 x – 1) = 2(3 x – 1)2 + 5 = 2(9 x 2 – 6 x + 1) + 5 = 18 x 2 – 12 x + 2 + 5 = 18 x 2 – 12 x + 7 http: //meetabied. wordpress. com

f(x) = 3 x – 1 dan g(x) = 2 x 2 + 5 b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2 x 2 + 5) = 3(2 x 2 + 5) – 1 = 6 x 2 + 15 – 1 (f o g)(x) = 6 x 2 + 14 (g o f)(x) = 18 x 2 – 12 x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif http: //meetabied. wordpress. com

CONTOH � Diberikan dua buah fungsi yang masing-masing f (x) dan g (x) berturut-turut yaitu : f (x) = 3 x + 2 g (x) = 2 − x � Tentukanlah: a) (f o g) (x) b) (g o f) (x)

Jawaban � Data: f (x) = 3 x + 2 g (x) = 2 − x � a) (f o g)(x) � “Masukkanlah g (x) nya ke f (x)” � hingga menjadi: (f o g)(x) = f ( g(x) ) = f (2 − x) = 3 (2 − x) + 2 = 6 − 3 x + 2 = − 3 x + 8 � b) (g o f ) (x) � “Masukkanlah f (x) nya ke g (x)” � Hingga menjadi : (f o g) (x) = g (f (x) ) = g ( 3 x + 2) = 2 − 3 x − 2 = − 3 x

CONTOH � Diketahui fungsi f (x) = 3 x − 1 dan g (x) = 2× 2 + 3. Nilai dari komposisi fungsi ( g o f )(1) =…. � Jawaban Diketahui: f (x) = 3 x − 1 dan g (x) = 2× 2 + 3 ( g o f )(1) =…? � Masukkanlah f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1 (g o f) (x) = 2 (3 x − 1) 2 + 3 (g o f) (x) = 2 (9 x 2 − 6 x + 1) + 3 (g o f) (x) = 18 x 2 − 12 x + 2 + 3 (g o f) (x) = 18× 2 − 12 x + 5 (g o f) (1) = 18 (1) 2 − 12(1) + 5 = 11

Menentukan Suatu Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Yang Lain Diketahui http: //meetabied. wordpress. com

Contoh 1 Diketahui f(x) = 3 x – 1 dan (f o g)(x) = x 2 + 5 Tentukan g(x). http: //meetabied. wordpress. com

Jawab f(x) = 3 x – 1 dan (f o g)(x) = x 2 + 5 f g(x)] = x 2 + 5 3. g(x) – 1 = x 2 + 5 3. g(x) = x 2 + 5 + 1 = x 2 + 6 Jadi g(x) = ⅓(x 2 + 6) http: //meetabied. wordpress. com

Contoh 2 Diketahui f(x) = 2 x + 5 dan (f o g)(x) = 3 x 2 - 1 Tentukan g(x). http: //meetabied. wordpress. com

Jawab f(x) = 2 x + 5 dan (fog)(x) = 3 x 2 - 1 f g(x)] = 3 x 2 - 1 2. g(x) + 5 = 3 x 2 - 1 2. g(x) = 3 x 2 - 1 - 5 = 3 x 2 - 6 Jadi g(x) = (3 x 2 - 6) http: //meetabied. wordpress. com

Contoh 3 Diketahui f(x) = dan (f o g)(x) = 2 x + 3 Tentukan g(x). http: //meetabied. wordpress. com

Jawab f(x) = (fog)(x) = 2 x + 3 f g(x)] = 2 x + 3 http: //meetabied. wordpress. com

Jawab g(x)+1 = (2 x + 3)(g(x) – 5) g(x)+1 = 2 xg(x) – 10 x + 3 g(x) - 15 g(x)-2 xg(x)-3 g(x) = -10 x -15 - 1 -2 g(x)-2 xg(x) = -10 x - 16 g(x)[-2 -2 x] = -10 x - 16 Jadi g(x) = http: //meetabied. wordpress. com

Contoh 4 Diketahui f(x) = dan (f o g)(x) = 3 x - 4 Tentukan g(x). http: //meetabied. wordpress. com

Jawab f(x) = (fog)(x) = 3 x - 4 f g(x)] = 3 x - 4 http: //meetabied. wordpress. com

Jawab 2 g(x)+3 = (3 x - 4)(3 g(x) – 1) 2 g(x)+3 = 9 xg(x) – 3 x - 12 g(x) + 4 2 g(x)-9 xg(x)+12 g(x) = -3 x - 3 - 4 -9 xg(x)+14 g(x) = -3 x - 7 g(x)[-9 x+14] = -3 x - 7 Jadi g(x) = http: //meetabied. wordpress. com

Contoh 5 Diketahui f(x) = dan (f o g)(x) = Tentukan g(x). http: //meetabied. wordpress. com

Jawab f(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = http: //meetabied. wordpress. com

Jawab (g(x)+3)(x-2) = (x+1)(4 g(x)-5) xg(x)-2 g(x)+3 x-6 = 4 xg(x)-5 x+4 g(x)-5 xg(x)-4 xg(x)-2 g(x)-4 g(x) = -5 x-3 x-6 -5 -3 xg(x)-6 g(x) = -8 x-11 http: //meetabied. wordpress. com

Jawab -3 xg(x)-6 g(x) = -8 x-11 g(x)[-3 x-6] = -8 x-11 g(x) = http: //meetabied. wordpress. com

contoh 2 Diketahui g(x) = x + 9 dan (f o g)(x) = ⅓x 2 – 6 maka f(x) = …. http: //meetabied. wordpress. com

Jawab: g(x) = x + 9 (f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x 2 – 6 f(x + 9) = ⅓x 2 – 6 Misal: x + 9 = y x = y – 9 f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6 http: //meetabied. wordpress. com

f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6 = ⅓(y 2 – 18 y + 81) – 6 = ⅓y 2 – 6 y + 27 – 6 Jadi f(x) = ⅓x 2 – 6 x + 21 http: //meetabied. wordpress. com

CONTOH � Jika f(x) = 2 x + 3 dan (f o g) = 2 x² + 6 x – 7, maka berapakah hasil dari g(x) ? � Jawab: � (f o g)(x) = 2 x² + 6 x – 7 � f(g(x)) = 2 x² + 6 x – 7 � 2 (g(x)) + 3 = 2 x² + 6 x – 7 � 2 (g(x)) = 2 x² + 6 x -10 � Jadi, g(x) = x² + 3 x - 5

contoh 3 Diketahui f(x) = x – 3 dan (g of)(x) = x 2 + 6 x + 9 maka g(x – 1) = …. http: //meetabied. wordpress. com

Jawab: f(x) = x – 3; (g o f)(x) = g (f(x)) = x 2 + 6 x + 9 g(x – 3) = x 2 + 6 x + 9 Misal: x – 3 = y x = y + 3 g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9 = y 2 + 6 y + 9 + 6 y + 18 + 9 http: //meetabied. wordpress. com

g(y) = y 2 + 6 y + 9 + 6 y + 18 + 9 = y 2 + 12 y + 36 g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36 = x 2 – 2 x + 12 x – 12 + 36 = x 2 + 10 x + 25 Jadi g(x – 1) = x 2 + 10 x + 25 http: //meetabied. wordpress. com

Contoh 4 Diketahui f(x) = 2 x + 1 dan (f o g)(x + 1)= -2 x 2 – 4 x + 1 Nilai g(-2) =…. http: //meetabied. wordpress. com

Jawaban: f(g(x + 1))= -2 x 2 – 4 x + 1 f(x) = 2 x + 1 → f(g(x))= 2 g(x) + 1 f(g(x + 1)) = 2 g (x + 1) + 1 2 g(x + 1) + 1 = -2 x 2 – 4 x – 1 2 g(x + 1) = -2 x 2 – 4 x – 2 g(x + 1) = -x 2 – 2 x – 1 http: //meetabied. wordpress. com

g(x + 1) = -x 2 – 2 x – 1 g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1 g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1 = -1 – 2 – 1 = -4 Jadi g(2) = - 4 http: //meetabied. wordpress. com

FUNGSI INVERS

DEFINISI � Misalkan f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga dapat ditulis y = f(x), maka f-1 adalah fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y). � Ada 3 langkah untuk menentukan fungsi invers, yaitu: 1. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y). 2. Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y). 3. Ubahlah variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f-1(x).

Dalam fungsi invers terdapat rumus khusus seperti berikut:

CONTOH � Tentukan � Jawab: rumus fungsi invers dari fungsi f(x) = 2 x + 6.

CONTOH � Tentukan � Jawab: rumus fungsi invers dari fungsi

INVERS FUNGSI KOMPOSISI � Terdapat 2 cara untuk mencari invers fungsi komposisi: 1. Menentukan fungsi komposisinya kemudian di inverskan 2. Mula menentukan invers masing fungsi kemudian di komposisikan (g o f)-1(z) = (f -1 o g-1)(z) (g o f)-1 = f -1 o g-1

CONTOH � Fungsi f : R → R dan g : R → R dengan f(x) = 3 x + 2 dan g(x) = 2 x +4 Tentukanlah (g o f) -1 (x) � Jawab: (g o f) (x) = g[f(x)] = g (3 x+2) = 2(3 x+2) + 4 = 6 x +4+4 = 6 x +8 (g o f)-1 (x) = x-8 6