Funes de Vrias Variveis Professor Dani Prestini 1

Funções de Várias Variáveis Professor Dani Prestini 1

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTRODUÇÃO As grandezas físicas, geralmente, dependem de mais de uma variável independente. Exemplos: A área de um retângulo de lados x e y, depende, tanto de x, quanto de y, pois O volume de um paralelepípedo de lados x, y e z O volume V de um gás ideal depende da temperatura T, do número de moles n, da pressão P e da constante universal dos gases perfeitos R. 2

Definições Função de duas variáveis. Se a cada par ordenado (x, y) de valores das variáveis x e y, tomados dentro de um domínio de definição D, corresponde um valor bem definido da variável z, diz-se que z é uma função de duas variáveis independentes x e y, definidas no domínio D. Designa-se essa função como 3

Domínio: Chama-se domínio de definição da função z=f(x, y) ao conjunto de pares (x, y) para os quais a função está definida. Exemplo: Para cada uma das seguintes funções, calcule f(3, 2), encontre o domínio e esboce sua região. Graficamente, teríamos: a região R² do domínio. 4

Graficamente, teríamos: a região R² do domínio. Pela definição ln é um conjunto dos números reais positivos. 5

Exemplo: Calcule f(2, 1, 4) e encontre o domínio de cada função. 6

b) Temos duas condições para analisar 7

Representação Gráfica de Funções de duas Variáveis Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R³ tal que z =f (x, y) e (x, y) pertença a D. 8

Exemplos Gráfico de funções de 2 variáveis: Ex. 1– A função é z = f(x, y) = 5 A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z=5 9

Esboce o gráfico da função f(x, y) = 6 – 3 x – 2 y. O gráfico de f tem a equação z =6 – 3 x – 2 y ou 3 x +2 y +z =6 �Que representa um plano. Para desenhar o plano, primeiro achamos as intersecções com os eixos Fazendo x = z =0 na equação, obtemos: 3. 0+2 y+0=6 2 y=6 y=3 Fazendo x = y =0 na equação, obtemos: 3. 0+2. 0+z=6 Fazendo y = z =0 na equação, obtemos: 3. x+2. 0+0=6 x=2 10

Isso nos ajuda a esboçar a parte do gráfico que se encontra no primeiro octante. 11

Esboce o gráfico da função Determinar o domínio da função: O gráfico do domínio tem a equação: Substituindo valores para x, temos: 12

Gráfico do domínio da função O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio r ≤ 3. 3 3 -3 -3 13

Esboçando o gráfico da função �O gráfico tem a equação Elevando ao quadrado ambos os lados da equação obtemos: 14

Uma esfera inteira não pode ser representada por uma única função de x e y. * O hemisfério superior da esfera x²+y²+z²=9 é representado pela função * �O hemisfério inferior é representado pela função Mas, como z ≥ 0, o gráfico de g(x, y) é somente a metade superior da esfera. 15

CURVAS DE NÍVEL Vimos que uma função de duas variáveis z=f(x, y) representa uma superfície no espaço. A curva que se obtém para um mesmo valor de z, ou cota, desta superfície é chamada curva de nível. Os mapas de contorno se a função z=f(x, y) for cortada pelo plano horizontal z=k, então todos os pontos de intersecção tem f(x, y)=k. A projeção dessa intersecção sobre o plano xy é chamada de curva de nível de altura k. As curvas de nível são usadas em mapas para dar informação sobre a topografia (relevo) da região. 16

Exemplo: Esboce o gráfico das curvas de nível da função para os valores de k = 0, 1, 2 e 3. As curvas de nível dessa função são dadas por: 17

Essa é uma família de circunferências concêntricas com centro em (0, 0) e raio Os casos k =0, 1, 2, 3 são mostrados a seguir: Então, compare com o gráfico de g (um hemisfério), como na figura. 18

Exemplos de Curvas de Níveis Através da figura podemos ver a relação entre as curvas de nível e os cortes horizontais. As curvas de nível f(x, y) = k são apenas cortes do gráfico de f no plano horizontal z =k projetados sobre o plano xy. 19

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f(x, y) = 4 x² + y² 21

Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas. 22

Aqui as curvas de nível são chamadas curvas Isotérmicas. � Elas ligam localidades que têm a mesma temperatura. A figura mostra um mapa de clima indicando as temperaturas médias do mês de janeiro. 23

DERIVADA PARCIAL Definição Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis reais, a derivada parcial de f(x, y) em relação a x no ponto (x 0, y 0), designada por (x 0, y 0), é a derivada dessa função em relação a x aplicada no ponto (x 0, y 0), mantendo-se y constante, Analogamente, em relação a y aplicada no ponto (x 0, y 0) temos, (x 0, y 0) mantendo-se x constante. 24

Notação – A notação indica a derivada f(x, y) em relação a x, onde y é olhado como constante (independente de x). – Já a notação indica a derivada de f(x, y) em relação a y, onde x é olhado como constante. Exemplo: 1) Calcule a derivadas parciais da função f(x, y)=yx 3 + xy 2. 25

Exemplo: 2) Calcule as derivadas parciais da função no ponto (1, 2). 26

DERIVADA PARCIAL Interpretação geométrica Sob a ótica geométrica, a obtenção das derivadas parciais nos dá a intersecção da curva com o plano de y (ou de x), já uma das variáveis se mantém constante enquanto calcula-se a derivada da outra. Manter x (ou y) constante significa interceptar a superfície definida pelo gráfico de f com o plano x = x 0 (ou y = y 0). 27

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Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores – Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando as derivadas parciais das funções já derivadas. Essas derivadas são derivadas obtidas parcialmente e de uma ordem a menos. Exemplo – – Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = 2 x 3. e 5 y. Temos que: 33

Funções de várias variáveis – Portanto, a segunda derivada, em relação a x é: – E a segunda derivada, em relação a y é: 34

Funções de várias variáveis – Ainda podemos calcular a segunda derivada parcial em relação a y, calculada agora em relação a x: – E a segunda derivada parcial em relação a x, calculada agora em relação a y: 35

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores – As duas primeiras derivadas parciais apresentadas acima são chamadas de puras ; – As duas últimas são chamadas de mistas. 36

Funções de várias variáveis Notação – Se z=f(x, y), podem-se computar quatro derivadas parciais de segunda ordem com suas respectivas notações de acordo com as expressões abaixo: 37

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores – Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas. 38

Funções de várias variáveis Derivadas Parciais de ordens superiores – Em nosso exemplo as duas últimas derivadas (as mistas) deram o mesmo resultado. Isto não é coincidência. A igualdade ocorre desde certas condições sejam satisfeitas. Proposição – Se f(x, y) está definida numa certa vizinhança de (x 0, y 0) e é tal que as derivadas vizinhança, então existem e são contínuas nessa. 39

Funções de várias variáveis Regra da Cadeia – A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de funções compostas de várias variáveis. – Suponha que a função P=p(x, y) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas x e y, que por sua vez, variam com o tempo, ou seja, x = x(t) e y = y(t). 40

Funções de várias variáveis – – A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte expressão: P = p(x(t) , y(t)) = P(t) A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por: 41

Funções de várias variáveis Exemplo – Considere uma firma cuja receita expressa-se através da função R(x, y) = xy 2, onde x e y representam as quantidades de dois bens produzidos. Suponha que estas quantidades dependam do capital k e do trabalho l, de acordo com as funções x = 4 k + 3 l e y = 3 k + l. Calcule as derivadas parciais da receita em relação ao capital e ao trabalho, como funções de tais variáveis. – Antes de aplicar a Regra da Cadeia, precisamos calcular as seguintes derivadas parciais: . 42

Funções de várias variáveis Exemplo 43

Funções de várias variáveis Exemplo – Aplicando a Regra da Cadeia, temos: 44

Funções de várias variáveis Aplicação – A temperatura no ponto (x, y) de uma placa de metal situada no plano XOY é dada por: T = 10. (x 2 + y 2)2. § § Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto (-1, 2) e na direção de OU; Partindo-se do ponto (-1, 2) e deslocando-se na direção do eixo OX a temperatura aumenta ou diminui? 45

Funções de várias variáveis Solução 46

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