Fundamentos Matemticos del Mtodo de los Elementos Finitos

Fundamentos Matemáticos del Método de los Elementos Finitos Francisco Periago Esparza Dpto. Matemática Aplicada y Estadística Universidad Politécnica de Cartagena

Esquema de la Presentación Modelización Matemática • Mecánica de Fluidos • Difusión de Calor • Electromagnetismo • Elasticidad, etc. Análisis Matemático: El Método Variacional • Existencia de Solución • Unicidad • Dependencia continua respecto de los datos Análisis Numérico: El Método de los Elementos Finitos • Descripción del Método • Control del Error • Simulación Numérica de Elementos Finitos con Matlab

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Mecánica de Fluidos

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Difusión de Calor

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Ecuación del Calor Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 -1830)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Electrostática

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío James Clerk Maxwell (1862)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Membrana Elástica Sujeta en el Borde Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Elasticidad Lineal. Caso Estático Robert Hooke (1678)

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Más modelos…. . y ecuaciones en derivadas parciales Etc, etc….

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA El Laplaciano Pierre-Simon Laplace (1749 -1827) Sir Isaac Newton (1643 -1727)

CONCLUSIONES I La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos. Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto. Galileo Galilei (1564 -1642) Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sóla de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

CONCLUSIONES II 1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología. 2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente. 3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.

SIGLO XX: AÑO 1946 Teoría de las Distribuciones (1946). Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales Laurent Schwartz (1915 -2002) John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Richard Courant (1943)

SIGLO XXI: Método Científico 1. Modelización Matemática 2. Análisis Matemático 3. Análisis y Simulación Numérica 4. Control, Diseño, etc…

ANÁLISIS MATEMÁTICO Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos ( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!

¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES? ( PM ) ( PV ) Trabajo virtual interno de deformación Trabajo virtual de las fuerzas exteriores

ANÁLISIS MATEMÁTICO Paul Dirac (1902 -1984)

ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

ANÁLISIS MATEMÁTICO Teoría de Distribuciones

ANÁLISIS MATEMÁTICO Ejemplos de Distribuciones

ANÁLISIS MATEMÁTICO La derivación es una operación válida para cualquier distribución !!!

ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) ( PV )

ANÁLISIS MATEMÁTICO ( PM ) ( PV ) a(u, v) < f, v >

ANÁLISIS MATEMÁTICO

ANÁLISIS MATEMÁTICO Formulación en Mínima Energía Principio de los Trabajos Virtuales Ecuación de Euler-Lagrange

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Idea General del MEF

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Construcción de los Espacios de Aproximación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Construcción de los Espacios de Aproximación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS A modo de Resumen MEF Sistema de ecuaciones algebraico

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Estructura de la Matriz de Rigidez

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Simulación Numérica con Matlab

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Ensamblado de la Matriz de Rigidez Ah 1 Ah 2 Ah 3

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Control del Error en el MEF • Regularidad de la malla • Regularidad de la solución débil • Grado de los polinomios de interpolación ( PV )

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS El caso de las dimensiones 2 y 3 a(u, v) < f, v >

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Función de forma en dimensión 2

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor Concepto de solución débil. Se ha de cumplir: Solución del problema discretizado con elementos finitos:

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: incógnita matriz de masa matriz de rigidez término independiente