Fundamentos de Mecnica 4300151 Primeiro semestre de 2020

Fundamentos de Mecânica 4300151 – Primeiro semestre de 2020 10 a Aula. Determinação da posição a partir da aceleração Nilberto Medina e Vito Vanin medina@if. usp. br, vanin@if. usp. br 06/04/2020

AVISOS Questionário C 5 sobre Conceitos de Matemática estará aberto até 5ª, 23: 59. Leiam o texto e façam as questões e exercícios antes de realizar o teste. Recesso a partir de 5ª, retornando 2ª, 13/4 Leitura para esta parte: cap. 2 HRK seções 2. 5 e 2. 6 cap. 3 HRK seções 3. 1 a 3. 5 Textos complementares 4 e 5 Leitura para próximas aulas: Texto Complementar 6 (revisão de vetores) Cap. 2 HRK seções 2. a 2. 3 Cap. 3 HRK seções 3. 6 a 3. 8 Questionarios F 3 e F 4. Retomaremos os Questionários de Teoria e problemas de Fundamentos de Mecânica nesta semana; prevemos um para esta e outro para a próxima 2

Revisão Das interações com um corpo, pode-se deduzir a aceleração: Para chegar na posição em função do tempo (conhecimento total do movimento) Infinitos pedaços 3

x MU x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 O t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t Gráfico de posição por tempo, identificando 5 pontos (ti, xi) Indica soma iterador Limite superior Limite inferior 4

Interpretação da derivada e da concavidade A derivada é a tangente A derivada é a inclinação da reta tangente A concavidade de curva de posição no tempo dá o sinal da aceleração (SI) inclinação = 10 m/s ou é reta tangente em t = 2 s 5

Objetivos Ø Ø Ø Relacionar a aceleração com a variação de velocidade Determinar a posição a partir da aceleração em casos específicos Discutir o papel das condições iniciais A integral como antiderivada Tabela de integrais Aplicar a antiderivada para achar a posição a partir da aceleração 6

Relacionando a área sob a curva com a integral Esse gráfico representa o movimento uniforme de uma pessoa com v = 2 m/s Entre os instantes s e s, a área compreendida entre o gráfico de v(t) e o eixo Ot são 6 quadrículas v (m/s) Deslocamento = 6 quadrículas × 1 m/quadrícula = 6 m 3 Já sabíamos: a pessoa andou 2 m/s × 3 s = 6 m 2 1 O 1 2 3 4 t (s) Esta área representa um deslocamento de 1 m/s em 1 s = 1 m/quadrícula 7

Relação área – deslocamento no MUA Esse gráfico representa o movimento de uma pessoa com a = 0, 5 m/s 2 e v 0=1 m/s v (m/s) Entre os instantes s e s, a área compreendida entre o gráfico de v(t) e o eixo Ot são 5 quadrículas Deslocamento = 5 quadrículas × 1 m/quadrícula = 5 m 3 Já sabíamos: a pessoa andou de 2 1 Portanto O 1 2 3 4 t (s) Esta área representa um deslocamento de 1 m/s em 1 s = 1 m/quadrícula 8

4 da Lista 5. Um ônibus move-se de acordo com o gráfico v(t) abaixo, em uma avenida em que faz retorno por duas vezes. Determine o deslocamento entre t =100 s e t = 0 s. Um retângulo pequeno representa 4 s × 2, 5 m/s = 10 m 9

A 1 + A 3 = 7 (100%) + 14 (pedaços) retângulos A 2 = 54 (100%)+24 (pedaços) retângulos A 2 = 780 m A 1 + A 3 = 210 m (negativo) Deslocamento total = 570 m A 2 A 1 A 3 10

Exemplo com aceleração variável, mas constante por pedaços Problema 1 da lista 5: gráfico dá a velocidade do automóvel em função do tempo. Determine: a) posição do automóvel nos instantes: t=0 s; t = 20 s; t = 40 s; t = 60 s e t = 70 s. b) o gráfico de x(t) no intervalo 0 t 70 s 11

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x(m) Posição do carro 400 200 13

Encontrando as mesmas grandezas nos gráficos de velocidade e aceleração a > 0 da inclinação x 0 nunca está em v(t) a < 0 a > 0 da concavidade a < 0 inclinação da tangente ponto do gráfico Velocidade = 20 m/s 14

exemplo Problema 3 lista 5. O gráfico representa o movimento de um veículo numa avenida. Em t = 55 s, contorna o canteiro central e retorna pela outra pista. a) Determine, em t =100 s, a distância do ponto que ocupava em t = 0 s. b) Esboce o gráfico da posição em função do tempo. 15

A 1 = (45+30)x 20/2 = 750 m A 2= 10(-20)/2= -100 m A 3= (-10 -20)x 20/2= -300 A 4= 5(-10)/2= -25 m Atotal= A 1 + A 2 + A 3 + A 4= 325 m A 1 A 4 A 2 A 3 16

Posição em função do tempo 1000 900 800 700 x(m) 600 500 400 300 200 100 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 tempo(s) 17

1 minuto para você encontrar no gráfico de x(t) as grandezas cinemáticas descritas pelo gráfico de v(t) 18

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a) Velocidade da bola b) Altura máxima que a bola atinge após a janela para v = 0 m/s 20

Gráfico do movimento da bola 21

A velocidade a partir da aceleração A velocidade e posição em t = 0 s são v(0) = 10 m/s e x(0) = 100 m. Determine os gráficos de v(t) e x(t) 5 4 3 a (m/s 2) Problema 7 da lista 6. Gráfico da aceleração de um objeto ao lado – em t = 10, 30 e 40 s a aceleração mude de valor tão rápido que seu valor exato nesses instantes não importa. 2 1 0 -1 0 20 40 -2 -3 t(s) Aceleração a em função do tempo t do objeto do problema 7 da lista 6. 22

Gráfico da velocidade do problema 7 5 4 a (m/s 2) 3 2 1 0 -1 0 20 40 -2 -3 t(s) t (s) v (m/s) 0 10 10 -10 20 -10 30 -10 40 +30 Como a = constante por pedaços, o movimento terá vários trechos uniformes. Assim: i. Fazer a tabela ii. Plotar os pontos iii. Traçar as retas Condições iniciais – dados! 23

Gráfico da posição do problema 7 Calcule os extremos de x(t), que acontecem quando v=0 Note: x(35) = x(30) t (s) x (m) 0 10 100 20 0 30 -100 32, 5 -112, 5 35 -100 37, 5 -62, 5 40 0 50 300 5 125 24

Conferindo a compatibilidade das grandezas cinemáticas nos gráficos de aceleração, velocidade e posição As forças definem a aceleração no tempo A aceleração define a mudança de velocidade; junto com v 0, dá v(t) A velocidade define a mudança de posição; junto com x 0, dá x(t). Confira que você identifica os dois trechos uniformemente acelerados e os dois trechos de movimento uniforme nos 3 gráficos e que os valores das grandezas cinemáticas são compatíveis. 25

Para você exercitar agora – problema 10 Em um carro que está se movendo a 72 km/h, o motorista começa a frear, aumentando lentamente a pressão sobre os freios, de maneira que o módulo da aceleração aumenta com o tempo de acordo com o gráfico. Determine o tempo que o carro demora a parar. O gráfico está desenhado em linha pontilhada porque a aceleração cai a zero quando o carro para, o que acontece antes de t = 10 s. O problema não define a orientação do eixo, as grandezas estão em módulo; a aceleração tem que ser oposta à velocidade inicial para frear o veículo (o problema foi enunciado dessa maneira para simplificar os cálculos). 26

Para você exercitar agora – problema 10 |v 0| =72 km/h, aceleração oposta a v 0; determine o tempo que o carro demora a parar. Esse é um péssimo jeito de frear um veículo! que, em (1), dá 27

A integral dos polinômios – a antiderivada de uma função Tabela de derivadas para polinômios e potências reais posição velocidade condição C é independente de t 28

Três jeitos diferentes de definir x(t)=potência de t Cálculo da integral de uma potência Tabela de derivada Tabela de integral Estas formas não são práticas Coluna esquerda Coluna direita 29

A tabela de integral dos polinômios velocidade posição condição C é independente de t 30

Exercício 13 – lista 6 A aceleração de uma partícula é a(t)= -0, 2 t + 1 em m/s 2 para t em s, sendo que em t 0=0 s a posição x é x(0) = 10 m e a velocidade é v(0) = 10 m/s. Determine x(t) no intervalo [0 s; 10 s]. Começamos por encontrar a expressão analítica da velocidade, que tem uma constante que deve ser ajustada à velocidade inicial em m/ para t em s Usando a expressão analítica da velocidade, determinamos a fórmula da posição, que tem uma constante que deve ser ajustada à posição inicial 31

Exercício 13 – lista 6 – completando A aceleração de uma partícula é a(t)= -0, 2 t + 1 em m/s 2 para t em s, sendo que em t 0=0 s a posição x é x(0) = 10 m e a velocidade é v(0) = 10 m/s. Determine x(t) no intervalo [0 s; 10 s]. No slide anterior, a partir de a(t) e o valor de v(0), achamos Integramos v(t) e ajustamos a constante de integração à posição inicial 32 Para chegar na posição em função do tempo (conhecimento total do movimento)

Até 2ª-feira próxima! 33