FUNCIONES U D 6 Angel Prieto Benito Matemticas

FUNCIONES U. D. 6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

PROPIEDADES GLOBALES U. D. 6. 2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

CONTINUIDAD • Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. • Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 y=ex 1 y=x+1 -1 y=x – x 3 0 -1 0 Función continua en R @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

DISCONTINUIDAD 1 0 x + 1 , si x≤ 0 • Ejemplo 1 • • • Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 la función existe y vale 1. Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0). Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito. • y= –x • , si x>0 Ejemplo 2 -2 • • • Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo. x=0 no forma parte del dominio. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I -1 0 1 2 x 2 – 2 , si x<0 y= log x , si x>0 4

PUNTOS DE CORTE • • • • CORTE CON EL EJE, OY, DE ORDENADAS Sea la función y = f(x). Cortará al eje OY cuando se cumpla x = 0 y = f(0) Pc(0, f(0)) CORTE CON EL EJE, OX, DE ABSCISAS Sea la función y = f(x). Cortará al eje OX cuando se cumpla y = 0 f(x) = 0 Pc(x 1, 0), Pc(x 2, 0), … EJEMPLO 1 Sea la función Corta al eje OY Corta al eje OX EJEMPLO 2 Sea la función Corta al eje OY Corta al eje OX @ Angel Prieto Benito y = x 2 – x – 6. en x = 0 y = – 6 Pc(0, – 6) en y = 0 x 2 – x – 6 = 0 Pc( – 2 , 0) y Pc(3, 0) y = (2. x – 4) / (1 – x). en x = 0 y = – 4 / 1 = – 4 Pc(0, – 4) en y = 0 2. x – 4 = 0 x = 2 Pc( 2 , 0) Matemáticas Aplicadas CS I 5

SIGNO DE UNA FUNCIÓN • • Sea la función y = f(x). Cortará al eje OX cuando se cumpla y = 0 f(x) = 0 Pc(x 1, 0), Pc(x 2, 0), … Los puntos de corte x 1, x 2, etc determinarán intervalos donde el signo de la función (positivo o negativo) será el mismo. Dichos intervalos serán: (-oo, x 1), (x 1, x 2), …(xk, +oo) EJEMPLO • Estudiar el signo de la función: • • • Corta al eje OX en y = 0 x 2 – x – 6 = 0 Pc( – 2 , 0) y Pc(3, 0) Estudiemos los intervalos: En (-oo, -2) f(-3) = 9+3 -6 = 6 > 0 Signo POSITIVO En (-2, 3) f(0) = 0 – 6 = - 6 < 0 Signo NEGATIVO En (3, +oo) f(5) = 25 – 6 = 14 > 0 Signo POSITIVO @ Angel Prieto Benito f(x) = x 2 – x – 6. Matemáticas Aplicadas CS I 6

• • EJEMPLO 2 Hallar los puntos de corte de la función y = (4 – x) / (3. x – 2) Con OY x = 0 y = 4 /(– 2) = – 2 Pc (0 , – 2) Con OX y = 0 4 – x = 0 x = 4 Pc (4 , 0) • • • EJEMPLO 3 Hallar los puntos de corte de la función y = (x 2 – 3. x + 2) / (x – 3) Con OY x = 0 y = 2 /(– 3) = – 2/3 Pc (0 , – 2/3) Con OX y = 0 x 2 – 3. x + 2 = 0 Resolviendo la ecuación x = 1 , x = 2 Pc (1 , 0) y Pc (2 , 0) • • • EJEMPLO 4 Hallar los puntos de corte de la función y = 8 – x 3 Con eje OY x=0 y=8 Pc (0 , 8) Con eje OX y = 0 8 – x 3 = 0 Resolviendo la ecuación tendremos los tres puntos de corte; al menos uno. Por el Teorema del Resto: P(2) = 8 – 8 = 0 Pc (2, 0) Aplicando Ruffini al tener ya una raíz: -1 0 0 8 2 – 4 – 8 – 1 – 2 – 4 0 C(x) = – x 2 – 2. x – 4 Resolviendo la ecuación de segundo grado: No hay raíces reales Luego sólo hay un punto de corte con el eje X: Pc (2, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

CRECIMIENTO • FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO • • Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) < f (x+h) • O sea, si la variación es positiva: Al aumentar x aumenta f(x). • FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO • • Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) > f (x+h) • O sea, si la variación es negativa: Al aumentar x disminuye f(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

• Ejemplo mixto • La función f(x) = x 2 es creciente y decreciente. • Eso es verdad, pero no al mismo tiempo. • • • Sean los valores x = - 3, h = 1 - 3 < - 3+1 f (- 3) > f (- 2) (- 3)2 > ( - 2)2 9 > 4 Vemos que en un entorno de x = - 3 la función es decreciente. • • • Sean los valores x = 3, h = 1 3 < 3+1 f ( 3) < f (4) 32 < 42 9 < 16 Vemos que en un entorno de x = 3 la función es creciente. @ Angel Prieto Benito TABLA x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 16 9 4 1 1 4 9 0 y = f(x) x Aumenta el valor de x Matemáticas Aplicadas CS I 9

MÁXIMOS Y MÍNIMOS • MAXIMOS RELATIVOS. • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando, en un entorno reducido de a, se cumple: • f (a - h) < f (a) > f (a + h) f (a) • MINIMOS RELATIVOS. • Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando, en un entorno reducido de b, se cumple: • f (b - h) > f (b) < f (b + h) • y=f (x) f (b) Nota: h es un incremento de x muy pequeño y siempre positivo (Δx>0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I x a b 10

• CONCAVIDAD. - CÓNCAVA • Una función es cóncava en un determinado punto si la tangente en él está por debajo de la gráfica de la función en ese punto. • También decimos que es cóncava cuando, en un intervalo de valores de x, presenta la forma de un “valle”. • CONVEXIDAD. • Una función es convexa en un determinado punto si la tangente en él está por encima de la gráfica de la función en ese punto. • También decimos que es convexa cuando , en un intervalo de valores de x, presenta la forma de una “montaña”. CONVEXA @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11

• PUNTOS DE INFLEXIÓN. • Llamamos puntos de inflexión aquellos en que cambia la curvatura de una función de cóncava a convexa o viceversa. • Ejemplo 1 La función f(x) = x 3 – 3. x presenta un PI en el O(0, 0) • Ejemplo 2 La función f(x) = – x 3 + 3. x – 2 presenta un PI en el (0, - 2) y Ejemplo 1 y x O PI Ejemplo 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12

FUNCIONES PERIÓDICAS • • • PERIODICIDAD • • • La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, k. • Ejemplos de funciones periódicas, con periodo t = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años. Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma y valores se repiten a intervalos iguales. Si se cumple que f(x) = f(x + n. k), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … ) , entonces la función es periódica y de periodo k. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13

• Ejemplo 1 La noria. 5 mn 10 mn 5 mn P = 25 mn • • • 10 mn 5 mn P = 25 mn En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros. Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando. Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse. Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. El periodo es t = 25 mn @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14

• EJEMPLO_2 • La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. • Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º. En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0, 020 segundos. En América, el periodo es de 1 / 60 = 0, 016 segundos, razón por la que no conviene adquirir electrodomésticos americanos que no estén modificados. • La electricidad P = 0, 02 s @ Angel Prieto Benito P = 0, 02 s Matemáticas Aplicadas CS I 15