FUNCIONES TRIGONOMTRICAS RECPROCAS E INVERSAS 1 CONTENIDO 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS E INVERSAS 1

CONTENIDO 1. Función Recíproca. Función Cosecante csc x Función Secante sec x Función Cotangente cot x 2. Función inversa arc sen x arc cos x arc tan x Propiedades. Aplicaciones. 2

RECORDAR: Si a є R y a ≠ 0, el recíproco de a es 1/a FUNCIÓN RECÍPROCA g es la función recíproca de f si: 3

Función recíproca de sen x. f (x)=sen x cosecante x: Dom: (-∞, ∞) Rango: [-1, 1] f(x)≠ 0 csc x = 1/sen x Asíntotas verticales x={…, -2π, -π, 0, π, 2π, …} f (x)=1 g(x)=1 f (x)=-1 g(x)=-1 4

Dominio: R- {…-2π, -π, 0, π, 2π, …} Rango: (-∞, -1] U [1, ∞) x 0+ x x x De forma similar f (x) g(x) 0 ∞ 0 - f (x) - + g(x) 0 -∞ f (x) g(x) 0 -∞ g(x)=csc x 5

Análisis de la función f (x)=csc x en su ciclo fundamental (0, 2 ) Dominio= R-{…-2π, -π, 0, π, 2π…} Rango=(-∞, -1] U [1, ∞) Periodo=2π R-{kπ}, k є Z Cortes con eje x: No tiene Cortes con eje y: No tiene Crece: ( /2, ), ( , 3 /2) Decrece : (0, /2), ( 3 /2, 2 ) Desfase=0 Desplazamiento=0 Coeficiente de dilatación: 1 6

Función recíproca de cos x. secante x: sec x = 1/cos x f(x)=cos x Dom: (-∞, ∞) Rango: [-1, 1] f(x)≠ 0 Asíntotas verticales x={…-3π/2, -π/2, 3π/2…} f(x)=1 f(x)=-1 g(x)=-1 7

Dominio: R-{…-3π/2, -π/2, 3π/2…} Rango: (-∞, -1] U [1, ∞) /2+ f(x) g(x) 0 ∞ - /2+ f(x) 0 ∞ x x g(x) /2+ f(x) x g(x) x 3 /2 - f(x) g(x) De forma similar, g(x)= sec x 0 -∞ 8

Análisis de la función f(x)=sec x en su ciclo fundamental (- /2, 3 /2) Dominio=R-{…-3π/2, - π/2, 3π/2…} R-{π/2+kπ}, k є Z Rango=(-∞, -1] U [1, ∞) Cortes con eje x: No tiene Periodo=2 Cortes con eje y: y=1 Crece: : (0, /2), ( /2, ) Decrece : (- /2, 0), ( , 3 /2) Función par: f(x)=f(-x) Desfase=0 Desplazamiento=0 Coeficiente de dilatación: 1 9

Función recíproca de tan x. cotangente x: cot x =1/tan x f(x)=tan x Asíntotas verticales Dom: R-{π/2+kπ}Rango: (-∞, ∞) f(x)≠ 0 x={…-2π, -π, 0, π, 2π…} f(x) ∞ g(x) 0 f(x) -∞ g(x) 0 10

Dominio: R- {-2π, -π, 0, π, 2π} Rango: (-∞, ∞) x 0+ x De forma similar: x 0 - x - + f(x) g(x) 0 f(x) g(x) -0 -∞ ∞ f(x) g(x) 0 -∞ f(x) g(x) 0 ∞ g(x)=cot x 11

Análisis de la función f(x)=cot x en su ciclo fundamental (0, π) Dominio=R- {…-2π, -π, 0, π, 2π…} Rango=(-∞, ∞) Periodo= π R-{kπ}, k є Z Cortes con eje x: Cortes con eje y: /2 No tiene Crece: : No crece Decrece : Para todo el dominio Función impar: -f(x)=f(-x) Desfase = 0 Desplazamiento = 0 Coeficiente de dilatación: 1 12

RECORDEMOS… Una función f es inyectiva, biunívoca o uno a uno si f(a) es distinto de f(b), para a distinto de b. Si f(x) es una función biunívoca con dominio D y rango R. La función g(x) con dominio R y rango D es la función inversa ( ) de f Dominio de Rango de = Rango de f = Dominio de f 13

DEFINICIÓN f(x) = sen(x), no es función biunívoca ó uno a uno. Pero si el restringe… dominio se f(x) = sen(x) Para , la función f(x)=sen(x) es uno a uno 14

La función inversa de f(x)= sen x y=x f -1(x)=arcsen x Características f(x) = arcsen(x) f(x)=Sen x La función inversa de f(x)=sen x se representa con Dominio: [- 1, 1] Rango: 15

La función inversa de f(x)=sen x f(x) = arcsen(x) Observemos la gráfica… Gráficamente hallar sen ( π/4 sen ( )= Ahora, determinar 16 )

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DEFINICIÓN f(x) = cos(x), no es función biunívoca ó uno a uno. Para Pero si el restringe… f(x)=cos(x) es uno a uno dominio se ≤ , la función 19

La función inversa de f(x)=cos x Características f-1(x)=arccos x y=x f(x)=Cos x La función inversa de f(x)=cos x se representa como El dominio es El rango es 20

La función inversa de f(x)=cos x Gráficamente hallar cos ( ). f(x) = arccos(x) Ahora, determinar 21

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DEFINICIÓN f(x) = tan(x), no es función biunívoca. Pero si el restringe… dominio se Para , la función f(x)=tan(x) es uno a uno 24

La función inversa de f(x)=tan x Características y=x f(x)=Tan x f(x) = arctan(x) f-1(x)=tan x La función inversa de f(x)= tan x se representa como El dominio es El rango es f(x)=tan-1(x) 25

La función inversa de f(x)=tan x Gráficamente hallar tan( ). f(x) = arctan(x) Ahora determinar 26

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PROPIEDADES a. Función inversa b. Función inversa c. Función inversa 28

Ejemplo 5: Evaluar: 3 2 29

Ejemplo 6: Evaluar: 2 1 30

Ejemplo 7: Evaluar: 31

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