FUNCIONES TRIGONOMTRICAS 1 CONTENIDO 1 2 3 Funciones

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1

CONTENIDO 1. 2. 3. Funciones trigonométricas de números reales Arcos de referencia sobre el circulo unitario. Función sen( ). 4. Análisis de la función sen( ). 5. Función cos( ). 6. Análisis de la función cos( ). 7. Representación grafica de la función tan( ). 8. 9. Análisis de la función tan( ). Transformaciones de las funciones trigonométricas. 2

Funciones trigonométricas de números reales Una función es una regla que asigna a cada número real otro número real. Las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos son: h co θ ca sen θ= csc θ= cos θ= sec θ= tan θ= cot θ= 3

Funciones trigonométricas de números reales Para una longitud de arco s en radianes sobre el círculo unitario con punto inicial (1, 0) y punto final P(x, y), se define: P(x, y) y 1 x s x = cos s y = sen s s longitud del arco del círculo en radianes Trabajaremos inicialmente sobre longitudes de arcos subtendidos por ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° 90°, 180°. 4

ARCOS DE REFERENCIA SOBRE EL CÍRCULO UNITARIO En el primer cuadrante del círculo, están los arcos de referencia para 0, /6 , /4 , /3 y /2, con sus posiciones (x, y) sobre el círculo así: 1 (0, 1) /2 /3, /4, /6 (1, 0) 0 1 x 5

A partir de la asociación de ángulos de referencia con las coordenadas sobre la circunferencia de radio uno podemos asignar nombres especiales a cada una de las coordenadas del punto dado. Así, para cada uno de estos ángulos ( ) que tiene asociado el punto con coordenadas ( x, y ) definimos las siguientes relaciones: seno de , que se representa por sen ( ) coseno de que se representa por cos ( ) tangente de que se representa por tan ( ) siempre que x 0 Así mismo, teniendo en cuenta que la circunferencia es de radio uno y que la ecuación asociada a ella está dada por podemos afirmar que 6

Ejemplo Si = 7 /4 Los valores de las relaciones trigonométricas serán: sen( ) = cos( ) = 7 /4 tan( ) = 7

Función f( ) = sen( ) 1 /2 /3, Por definición y=sen( ), siendo y la ordenada del /6 punto terminal de los arcos en el plano cartesiano. /4 0 1 8

Representación gráfica de la función f ( )=sen( ) 0 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 1 0 9

Representación gráfica de la función f ( )=sen( ) 0 0 -π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π – 1 0 10

Análisis de la función f ( ) = sen( ) Dominio: R Rango o recorrido: Cortes con los ejes Valores máximo y valor mínimo Intervalos en los que crece la función: Intervalos en los que decrece la función: Tipo de paridad: es una función impar 11

Período de la función f( ) = sen( ) PERÍODO Menor longitud del intervalo en el cual la función repite su comportamiento. Para f( ) = sen( ), P=2 12

Amplitud de la función f( )=sen( ) valor máximo valor mínimo AMPLITUD La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo Para f( ) = sen( ), A=1 13

Función f( )=cos( ) 1 (0, 1) /2 Recordemos que, por /3, definición: x= cos( ), siendo /4 x la abscisa del punto /6 terminal de los arcos en el plano cartesiano. (1, 0) 0 14

Representación gráfica de la función f ( )=cos( ) 0 1 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 0 -1 15

Representación gráfica de la función f ( )=cos( ) 0 1 -π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π 0 0 16

Análisis de la función f ( ) = cos( ) Dominio: R Rango o recorrido: Cortes con los ejes Valor máximo y valor mínimo Intervalos en los que crece la función: Intervalos en los que decrece la función: Tipo de paridad: es una función par 17

Período de la función f( ) = cos( ) PERÍODO Longitud menor del intervalo en la cual la función repite su comportamiento. Para f( ) = cos( ), P=2 18

Amplitud de la función f( )=cos( ) valor máximo valor mínimo AMPLITUD La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo Para f( ) = cos( ), A=1 19

Representación gráfica de la función f(α)=tan (α) Si en el círculo unitario, al ser racional, tiene asíntotas verticales en x=0. En términos de las funciones esto es en 20

Análisis de la función f(α)=tan (α), en (- /2, /2) Dominio: R Rango: R P= Crece para todo el dominio. Corte eje y y eje x (0, 0) Asíntota vertical: x= /2 x= - /2 21

Transformación de funciones trigonométricas Contracciones y dilataciones horizontales f(α)=Cos α g(α)=f(4 α) g(α)=Cos(4 α); g(α)=f(α /4) f(α)=Tan α g(α)=Tan(α /4); g(α) f(α) Periodo de g(α)= /2 Periodo de g(α)= 4 22

Transformación de funciones trigonométricas Reflexiones sobre los ejes f (α)=Sen(α) g(α)=f (- α) g(α)=Sen(- α): g(α) f (α)=Tan (α) g(α)=- Tan(α); f(α) g(α) Reflexión sobre eje y g(α)=-f (α) f(α) Reflexión sobre el eje x 23

Transformación de funciones trigonométricas Desplazamientos horizontales Trazar g(α)=Sen(α + /4) a partir de f (α)=Sen α g(α)=f (α+ /4) g(α) f(α) Desfase de /4 a la izquierda. 24

Transformación de funciones trigonométricas Dilatación y contracción vertical g(t)=3 Sen(t); f (t)=Sen(t) g(t)=1/3 Cos(t); f (t)=Cos(t) g(t)=3 f (t) g(t)=1/3 f(t) g(t) f(t) Amplitud g(t)=3 g(t) Amplitud g(t)=1/3 25

Transformación de funciones trigonométricas Desplazamientos verticales Trazar g(t)=1+Cos(t) a partir de f (t)=Cos(t) g(t)=f (t)+1 g(t) 1 f(t) 26

Transformación de funciones trigonométricas Generalidades: Si se tiene una función trigonométrica: La función: Expresada como transformación de f(t): Se tiene: Desplazamiento vertical: Amplitud= Período: Para seno y coseno: Para tangente: d Desplazamiento horizontal: 27

Transformación de funciones trigonométricas Representar gráficamente la función g(t)= -1/2 Cos( 2 t-3 )+1 Si f (t)=Cos (t) g(t)= -1/2 f(2(t-3 /2)) +1 ATENCIÓN: El orden de las transformaciones es: a. g(t)=f (2 t) b. g(t)=f (2(t-3 /2) ) c. g(t)=-1/2 f (2(t-3 /2)) d. g(t)=-1/2 f (2(t-3 /2)) +1 28

Transformación de funciones trigonométricas g(t)=-1/2 f (2(t-3 /2))+1 a. g(t)=f (2 t) Contracción horizontal Periodo: g(t) 29

Transformación de funciones trigonométricas b. g(t)=f (2(t-3 /2)) Desplazamiento horizontal de 3 /2 a la derecha Desface: 3 /2 30

Transformación de funciones trigonométricas c. g(t)=-1/2 f (2(t-3 /2)) Contracción vertical ½ Reflexión sobre el eje x Crece(3 /2 ) A=1/2 Decrece(2 , 7 ) 31

Transformación de funciones trigonométricas d. g(t)=-1/2 f (2(t-3 /2)) +1 Desplazamiento: 1 unidad arriba 32

Análisis de la función trazada: P= D: R R: [1/2, 3/2] g(t)=-1/2 Cos(2 t-3 )+1 Crece(3 /2, 2 ) Decrece(2 , 5 /2) A=1/2 Desfase 3 /2 derecha No corta eje x No corta con eje y Desplazamiento 1 arriba Ciclo fundamental=(3 /2, 5 /2) 33