FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES INTEGRANTES LOANA EMMANUEL

FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES INTEGRANTES: LOANA EMMANUEL BRENDA

NOCION DE UNA FUNCION � � � PARA COMENZAR CON LAS FUNCIONES POLINOMICAS, RACIONALES, RADICALES, TRIGONOMETRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS DEBEMOS ENTENDER ¿QUÉ ES UNA FUNCION? Una función es una relación (regla de correspondencia) en la que NO hay dos parejas ordenadas que tengan el mismo primer elemento. Por ejemplo: DOMINIO O CONTRA DOMINIO X Y 1 2 3 4 5 A B C D E IMAGEN AMBITO O CONTRADOMINIO

� � � DEFINICION: Una fusión f desde un conjunto X hacia un conjunto y es una regla que asigna a cada elemento x en X un elemento único y en Y El conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas se llama DOMINIO O CONJUNTO DE PARTIDA. El conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas se llama IMAGEN, AMBITO O CONTRADOMINIO. Una función es una relación donde a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contracominio. La REGLA DE CORRESPONDENCIA es una expresión algebraica que expresa la condición que debe cumplir un elemento del contra dominio para ser “imagen” de un elemento del dominio.

� NUESTRO ESTUDIO COMPRENDE DOS CLASES DE FUNCIONES ( ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES) Y CADA CLASE COMPRENDE EN SU CONJUNTO FUNCIONES CON DISTINTAS CARACTERISTICAS Y METODOS DE DESARRLLO Y ACONTINUACION ESPECIFAREMOS CADA UNA DE ELLAS

POLINOMICAS DEFINICION: � � Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a 0 + a 1 x² + a 1 x³ +··· + an xn Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen. CARACTERISTICAS: � � Todos los coeficientes A deben de ser reales Todos los exponentes deben de ser enteros y positivos DE LOS DOS TIPOS DE CLASES COMENZAREMOS CON LAS ALGEBRAICAS

� � 1. CONSTANTES: El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. DE PRIMER GRADO: f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, queda definida por dos puntos de la función. CUADRATICAS: f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

� � � 1. Traslación vertical y = x² + k Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0. y = x² +2 y = x² -2

� � � 2. Traslación horizontal y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (-h, 0). El eje de simetría es x = -h. y = (x + 2)²y = (x - 2)² 3. Traslación oblicua y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (-h, k). El eje de simetría es x = -h.

� 3. Traslación oblicua y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (-h, k). El eje de simetría es x = -h.

� � Dilataciones y contracciones de funciones Contracción de una función Una función f(k·x) se contrae si K > 1.

� � Dilatación de una función Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.

RACIONALES � � � Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

� � Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas gráficas de las funciones. Traslaciones de hipérbolas son las más sencillas de representar. Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

� � 1. Traslación vertical El centro de la hipérbola es: (0, a). Si a>0, a unidades. El centro de la hipérbola es: (0, 3) se desplaza hacia arriba

� Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades. � El centro de la hipérbola es: (0, -3)

� � � 2. Traslación horizontal El centro de la hipérbola es: (-b, 0). Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.

� El centro de la hipérbola es: (-3, 0) Si b<0, derecha b unidades. La translación oblicua es la combinación de la translación vertical y la translación horizontal se desplaza a la

FUNCIONES RADICALES � � El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. Función radical de índice impar

� � Función radical de índice par El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

� CONTINUACION:

TRIGONOMETRICAS � � � Las funciones tricgonometricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectangulo y observar que las razones (cosientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triangulo Las razones trigonometricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio de 1 Y cuyo centro esta cituado en el origen. En estas funciones encontraremos una forma de esta manera Y=a sen(bx +/- c) +/- d � � � Donde a= amplitud b= periodo c= desplazamiento horizontal d= desplazamiento vertical CON LAS DOS CLASES DE FUNCIONES COMENZAREMOS CON LAS TRASCENDENTES

� � � Un ciclo: es el tiempo en que tarda en regresar a la misma posición la función en la grafica. Un periodo: es el tiempo que tarda en recorrer un ciclo Para calcular el periodo debemos emplear la siguiente formula: 2π/b � Donde 2π es el perímetro de una circunferencia

� � � � f(x) = sen x Función seno Dominio: Amplitud: [-1, 1] Período: Continuidad: Continua en Impar: sen(-x) = -sen x Como podemos notar comienza en -1 y finaliza en 1

� � � � f(x) = cos x Funcion coseno Dominio: Recorrido: [-1, 1] Período: Continuidad: Continua en Par: cos(-x) = cos x Como podemos notar aquí no tiene ninguna amplitud

� � � � f(x) = tg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período: Impar: tg(-x) = tg x Función tangente

EXPONENCIALES � � � � Propiedades de la función exponencial Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las curvas y=ax e y= (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.

LOGARITMICAS Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. � �

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARITMICAS � � � De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno.

� � � � � El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. Las características de la función logarítmica �� =������ �� �� son: Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1 er y 3 er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

� EJEMPLOS:

ELABORADO POR: INTEGRANTES DEL CCH VALLEJO � Loana � Emmanuel � Brenda � Esperemos y esto les sea del todo util y sobre todo para su apoyo en el aprendizaje de las matemáticas de 4 semestre.