Funciones reales de variable real x x fx

Funciones reales de variable real x x f(x) y = f(x) José Manuel Reyes Brito I. E. S. ‘Albert Einstein’ Sevilla

Elementos básicos en el estudio de una función. DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o IMAGEN GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA Df = {x / f(x) } Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)

RECORRIDO o IMAGEN Rf = {y / y = f(x), x Df} Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.

GRÁFICA o GRAFO {(x, y) 2/ x Df, y Rf} Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.

Clasificación de las funciones de variable real F. Lineal: y = mx + n Enteras o F. Cuadrática: y = Polinómicas ax 2+bx+c Otras ALGEBRAICA Racionales Pn(x)funciones polinómicas S Qm(x fraccionarias ) Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz TRASCENDEN TES Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ···

Funciones Lineales: y = mx + n Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio 2ª) y = x + 3 1ª) y = x 3ª) y = x - 2

Df = 1ª) y = 2 x +1 2ª) y = 5 x +1 3ª) y = (1/3)x +1 A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal Ordenada en el origen no cambia

Df = 1ª) y = -3 x + 1 2ª) y = -3 x + 5 3ª) y = -3 x + 2 Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

Df = RESUMEN: Funciones lineales: y = mx + n Gráfica: RECTA Rf = Df = R f = {-2} ¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal: A) Movimiento uniforme: e = e 0 + vt B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L 0(1 + kt) D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura E) Ley de Ohm: V = IR F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

Funciones cuadráticas y = ax 2 + bx + c Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas Df = Ahora Las claves observamos están en la gráfica los siguientes con toda su significación elementos: Cortes con el eje OX Apreciamos el unrango aspecto Cambiamos de de representación la gráfica que no y es significativo y quelas puede observamos llamar a confusiones variaciones que se producen Vértice

Funciones cuadráticas Df = y = ax 2 + bx + c Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax 2 + bx + c = 0 x 1 y x 2 (x 1, 0) y (x 2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv) 3. Completar, si es necesario, con una tabla Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas Df = 1) y = x 2 -8 x - 9 R f = [-25, + ) Vértice (4, -25)

Ejemplos de funciones cuadráticas Df = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x 2 V(2, -9) R f = [-9, + ) V(2, -5) R f = [-5, + ) V(2, -20) R f = [-20,

Ejemplos de funciones cuadráticas y = x 2 - 3 x + 2 y = 3 x 2 + 2 x +1 y = 20 x 2 - 20 x + 5 Df =

Ejemplos de funciones cuadráticas Df = Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = - 3 x 2 – x + 2 ¡Ojo! En este caso: Rf = (-∞, yv] y = - x 2 + 7 x - 10 y = - 3 x 2 + x - 2

Ejemplos de aplicaciones de la función cuadrática: A) Movimiento uniformemente acelerado s = s 0 + v 0 t + ½·at 2 B) Teorema de Torricelli v 2 = 2 gh

Funciones polinómicas Grado >2 Df =

y= 2 x 3 y = x 3 Df = Rf = y = 5 x 3 Obsérvese el efecto y = c·f(x) Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y = x 3 + 1 y = x 3 - 2 y = x 3 + 3 Df = Rf = Obsérvese el efecto y = f(x) + c Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x 3 - 4 x 2 + x +6 Df = Rf = Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y = (x + 1)2(x - 2) = x 3 - 3 x - 2 Solución doble Df = Rf = Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y = (x 2 + 1)(x - 2) = x 3 - 2 x 2 + x - 2 Raíces complejas Df = Rf = Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

Df = Rf = y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x 3 + 6 x 2 -11 x + 6 Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x 4 - 2 x 3 - x 2 + 2 x Df = Funciones cuárticas: y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e

Funciones fraccionarias y= Df = Pn(x) Qm(x) - {x/ Qm(x) = 0}

Funciones fraccionarias Asíntota horizontal y = 0 x=3 Rf = - {0} x = -3/4 Gráfica: HIPÉRBOLA Asíntotas verticales

Funciones fraccionarias Asíntota vertical Gráfica: HIPÉRBOLA 5 x + 10 = 0 x = -2 Asíntota horizontal Df = - {-2} Rf = - {3/5}

Funciones fraccionarias Asíntotas verticales Asíntota horizontal y = 1 Df = - {-1, 4} x = -1 =4 x

Ejemplos de aplicaciones de funciones fraccionarias: A. Principio de continuidad hidrodinámica S 1 V 1 = S 2 V 2 = G (Gasto) S = G/V B. Ley de Boyle: PV = k V = k/P C. Ley de Gravitación Universal: D. Ley de Coulomb:

Funciones trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ···

Función exponencial y = ax a>0

Función exponencial y = 10 x y = ex y = 2 x Df = R f = (0, + ) Asíntota horizontal y =0 e 2’ 71828459045235360. . . Función monótona creciente

Función exponencial y = 0’ 5 x y = (1/e)x y = 0’ 1 x Df = R f = (0, + ) Asíntota horizontal y =0 Función monótona decreciente

Función exponencial y = ax RESUMEN a>0 Df = R f = (0, + ) f(0) = 1 Monótona creciente si a> 1 Monótona decreciente si 0 < a < 1

Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P 0·akt B. Crecimiento logístico: C. Presión atmosférica: a = 8 Km; p(0) = presión a nivel del mar; h en Km

Función logarítmica y = loga(x) a>0

Función logarítmica como función inversa de la función exponencial Función exponencial y =Daxf = R f = (0, + ) Bisectriz y =x a 0 = 1 Loga(1) = 0 Función logarítmica y = log D fa(x) = (0, + ) Rf =

Función logarítmica y = log 2(x) y = ln(x) y = log(x)

Función logarítmica y = log 0’ 1(x) y = log 1/e(x) y = log 0’ 5(x)

Ejemplos de aplicación de la función logarítmica A. Ley de Fechner: log. I 2 - log. I 1 = 2(log. P 2 - log. P 1) FON) Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL) Pi = Potencia sonora; Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: B. Escala de Richter: M = Log. A + C A = Amplitud de las ondas superficiales C = 3’ 3 + 1’ 66·Log. D - Log. T T = Período de las ondas registradas en el sismógrafo D = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al

Funciones trigonométricas

y = cos(x) y = sen(x) Df = R f = [-1, 1]

La función y = sen(x) es periódica: Período = 2 sen(x + 2 ) = sen(x)

La función y = cos(x) es periódica: Período = 2 cos(x + 2 ) = cos(x)

y = tg(x) : función periódica Asíntotas verticales Df = - {(2 k+1) /2; k Z} Período = tg(x + ) = tg(x) Rf =

RAMA PRINCIPAL Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas RAMA PRINCIPA PRINCIP L AL y = arc sen(x) y = arc cos(x) y = arc tg (x)

Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas A. Intensidad de corriente alterna: i = im·sen(ωt + φ) B. Movimiento vibratorio armónico simple: x = a·sen(ωt + φ) C. Desarrollos de Fourier

FIN DEL ESTUDIO GENERAL SOBRE FUNCIONES REALES