FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Una aplicacin transforma
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Una aplicación transforma elementos de un conjunto (ORIGEN) en elementos de otro conjunto (IMAGEN), de manera que a cada elemento del conjunto origen no le corresponda más de un elemento del conjunto imagen, y que no queden elementos del conjunto origen si su correspondiente transformado en el conjunto imagen. ORIGEN IMAGEN Cuando los conjutos que se contemplan son conjuntos numéricos, la aplicación se denomina FUNCIÓN. Si ambos conjuntos son partes del conjunto de los números reales, entonces la función se dice que es real (conjunto imagen de números reales) de variable real (conjunto origen de números reales)
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Tres elementos esenciales de las funciones: DOMINIO, RECORRIDO y GRÁFICA. DOMINIO de una función es el conjunto de números reales para los que se puede calcular su transformado. Los elementos del dominio se representarán con la letra ‘x’ y constituyen la VARIABLE INDEPENDIENTE. D f = {x / f(x) } RECORRIDO de una función es el conjunto de números reales que resultan como transformados de los elementos del dominio. Los elementos del recorrido se representarán con la letra ‘y’ y constituyen la VARIABLE DEPENDIENTE: y = f(x) R f = {y / x D f , y = f(x)} GRÁFICA de una función es el conjunto de puntos (x, y) del plano tales que y = f(x).
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Ejemplos: Df= y = x 2 – 2 x – 3 Todas las funciones polinómicas tienen dominio R f = [– 4, + ) y = log x D f = (0, + ) Rf=
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES SUMA: (f+g)(x) = f(x) + g(x) D (f+g) = D f D g f(x) = x + 5 g(x) = logx (f + g)(x) = x + 5 + logx Df= D g = (0, + ) D (f+g) = (0, + ) D (f-g) = D f D g DIFERENCIA: (f-g)(x) = f(x) - g(x) f(x) = senx Df= PRODUCTO: (f·g)(x) = f(x) · g(x) = Df= (f/g)(x) = f(x)/g(x) = x Dg= D (f – g) = [0, + ) D (f·g) = D f D g (f·g)(x) = 2 x D g = [0, + ) f(x) = cosx Df= (f – g)(x) = senx – D g = [0, + ) f(x) = 2 x COCIENTE: g(x) = D (f ·g) = [0, + ) D (f/g) = D f D g – { x D g / g(x)=0} (f/g)(x) = D (f / g) = – {0}
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES D (f ◦ g) = D g { x D f / f(x) D g } COMPOSICIÓN: (f◦g)(x) = f(g(x)) f(x) = logx g(x) = (f◦g)(x) = f(g(x)) = log( D f = (0, + ) D g = [0, + ) D (f ◦ g) = (0, + ) f(x) = logx g(x) = (g◦f)(x) = g(f(x)) = Df D g = [0, + ) D (g ◦ f) = [1, + ) = (0, + ) Observamos que la composición de funciones, en general, no es conmutativa. )
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES FUNCIÓN INVERSA Una función f es inyectiva en D f, si para a, b D f tal que f(a) = f(b) a = b Si f es inyectiva, la función inversa de f, [se indica f – 1], satisface y = f – 1(x) x = f(y) f(x) = x + 5 es inyectiva, porque: f(a) = a + 5 f(b) = b + 5 f(a) = f(b) a + 5 = b + 5 a = b Por tanto tiene sentido plantearse el cálculo de f– 1 El procedimiento para calcular f – 1 puede resumirse en las siguientes pautas: 1. En la expresión y = f(x) cambiamos la ‘x’ por la ‘y’ 2. Despejamos ‘y’. Así obtendremos y = f – 1(x) y = f(x) = x + 5 Ejemplo: 1. Cambiamos ‘x’ por ‘y’: x=y+5 2. Despejamos y: y=x– 5 f(7) = 7 + 5 = 12 f– 1(12) = 12 – 5 = 7 f– 1(x) = x – 5
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: OPERACIONES FUNCIÓN INVERSA La transformación realizada por una función es cancelada por su inversa. Por eso, la composición de una función con su inversa deja inalterada la variable independiente: (f ◦ f– 1)(x) = (f– 1 ◦ f)(x) = x y=x Calculamos la inversa de f(x) = 3 x + 2 1. y = 3 x + 2 x = 3 y + 2 2. x = 3 y + 2 y = (x – 2)/3 Por tanto: f– 1(x) = (f ◦ f– 1)(x) = f[f– 1(x)] = 3· (f– 1 ◦ f)(x) = f– 1[f(x)] = +2=x =x y = 3 x + 2 Por definición, la gráfica de y = f(x) y la de su función inversa y = f simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. – 1(x), son
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: TRASLACIONES Tenemos una función y = f(x) cuya gráfica conocemos: y = x 2 + 2 y = x 2 a y = f(x) + a 2 -1 2 a -1 y = x 2 – 1 -1 EJEMPLO Sumar una cantidad a la función, produce una traslación vertical de su gráfica. y = f(x) + a Naturalmente, si la cantidad ‘a’ que se suma es positiva, la traslación se produce en el sentido positivo del eje OY (hacia arriba) y si es negativa, en el sentido contrario (hacia abajo).
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: TRASLACIONES Tenemos una función y = f(x) cuya gráfica conocemos: y = x 2 y = f(x + a) a y = (x + 3)2 y = f(x) y = (x – 2)2 y = x 2 – 4 x + 4 y = x 2 + 6 x + 9 a a 3 -2 EJEMPLO Sumar una cantidad a la variable independiente, produce una traslación horizontal de su gráfica. y = f(x + a) Si la cantidad ‘a’ que se suma es positiva, la traslación se produce en el sentido negativo del eje OX (hacia la izquierda) y si es negativa, en el sentido contrario (hacia la derecha).
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: SIMETRÍAS Existen simetrías entre las gráficas de la función y = f(x) y las de las funciones: y = –f(x) y = f(–x) y = f(x) y = –f(x) y = e–x y = ex EJEMPLO y = –ex y = f(–x)
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: COMPRENSIÓN - EXPANSIÓN Si multiplicamos por una constante k una función, su gráfica sufre una deformación en el sentido de ‘comprimirse’ si k < 1, o de ‘expandirse’ si k > 1: y = 3 senx y = senx
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: CLASIFICACIÓN Función afín (lineal): y = mx + n Enteras o Polinómicas ALGEBRAIC AS Función cuadrática: y = ax 2 + bx + c Funciones polinómicas de P grado n(x) Racionales (fraccionarias: cociente de dos Qm(x) superior polinomios) Irracionales o radicales: x forma parte del argumento de una raíz Exponencial TRASCENDENTES Logarítmica Trigonométricas ··· ···
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. Todas las funciones polinómicas tienen D f = FUNCIÓN AFIN: y = mx + n n = ordenada en el origen y=x+3 y = x –– 2 2
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. Todas las funciones polinómicas tienen D f = FUNCIÓN AFIN: y = mx + n n = ordenada en el origen m = pendiente A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal. La ordenada en el origen no cambia. y = 2 x + 1 y = 5 x + 1
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. Todas las funciones polinómicas tienen D f = FUNCIÓN AFIN: y = mx + n n = ordenada en el origen m = pendiente y = – 3 x + 5 y = – 3 x + 1 Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen y = – 3 x + 2
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. Df= RESUMEN FUNCIÓN AFIN: y = mx + n Gráfica: RECTA Rf= R ¡Ojo! f = {-2} Si m = 0, R f = {n}
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIÓN AFIN: y = mx + n Ejemplos de aplicaciones de la función afín: A) Movimiento uniforme: e = e 0 + v·t B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L 0(1 + kt) D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura E) Ley de Ohm: V = I·R F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax 2 + bx + c Como todas las funciones polinómicas D f = Apreciamos Ahora observamos un aspecto la gráfica de la con gráfica todaque su no significación es significativo y. Las queclaves puedeestán llamar confusiones enalos siguientes elementos: Cortes con el eje OX Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Vértice
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax 2 + bx + c Df= Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax 2 + bx + c = 0 Soluciones: x 1 y x 2 Puntos de corte: (x 1, 0) y (x 2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv) 3. Completar, si es necesario, una tabla con uno o dos valores más Es interesante el punto de corte con el eje OY
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax 2 + bx + c Ejemplo: y = x 2 – 8 x – 9 Df= 1. Cortes con el eje OX: x 2 – 8 x – 9 = 0 x 1 = – 1; x 2 = 9 2. Vértice: x. V = 3. Corte con OY: Término independiente = – 9 (0, – 9) R f = [-25, + ) Vértice (4, -25)
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. Df= FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax 2 + bx + c Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x 2: Son mayores conforme más ‘pronunciada’ es la curvatura V(2, -9) R f = [-9, + ) V(2, -5) R f = [-5, + ) V(2, -20) R f = [-20, + )
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax 2 + bx + c Df= Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = – 3 x 2 – x + 2 ¡Ojo! En este caso: R f = (– , yv] y = – 3 x 2 + x – 2 y = – x 2 + 7 x – 10
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES CUADRÁTICAS: y = ax 2 + bx + c Ejemplos de aplicaciones de la función cuadrática: A) Movimiento uniformemente acelerado s = s 0 + v 0 t + ½·at 2 B) Teorema de Torricelli v 2 = 2 gh Df=
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = 2 x 3 y = 5 x 3 Df= Rf= Obsérvese el efecto y = c·f(x)
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Df= Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d Rf= y = (x + 1)(x – 2)(x – 3) = x 3 – 4 x 2 + x +6
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Df= Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d Rf= y = (x + 1)2(x – 2) = x 3 – 3 x – 2 Solución doble
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Df= Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d Rf= y = (x 2 + 1)(x – 2) = x 3 – 2 x 2 + x – 2 Raíces complejas
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Df= Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d Rf= y = (x – 1)(x – 2)(3 – x) = – x 3 + 6 x 2 – 11 x + 6 Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES ENTERAS. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2 Funciones cuárticas: y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e y = (x +1)x(x – 1)(x – 2) = x 4 – 2 x 3 – x 2 + 2 x Df=
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y= Qm(x) Asíntota horizontal y = 0 x=3 Rf= – {0} x = -3/4 Gráfica: HIPÉRBOLA Asíntotas verticales
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y= Qm(x) Asíntota vertical 5 x + 10 y= = 0 x = – 2 Asíntota horizontal Gráfica: HIPÉRBOLA Df= – {– 2} Rf= – {3/5}
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y= Qm(x) Asíntotas verticales Asíntota horizontal y = 1 Df= – {– 1, 4} x = -1 =4 x
F. R. V. R. FUNCIONES ALGEBRAICAS. FUNCIONES RACIONALES. Pn(x) D f = – {x/ Qm(x) = 0} y= Qm(x) Ejemplos de aplicaciones de funciones racionales: A. Principio de continuidad hidrodinámica S 1 V 1 = S 2 V 2 = G (Gasto) S = G/V B. Ley de Boyle: PV = k V = k/P C. Ley de Gravitación Universal: D. Ley de Coulomb:
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN EXPONENCIAL. y = 10 x y = ex y = 2 x Df= R f = (0, + ) Asíntota horizontal y = 0 e 2’ 71828459045235360. . . Función monótona creciente
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN EXPONENCIAL. y = 0’ 5 x y = (1/e)x y = 0’ 1 x Df= R f = (0, + ) Asíntota horizontal y = 0 Función monótona decreciente
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN EXPONENCIAL. y = ax a>0 RESUMEN Df= R f = (0, + ) Ejemplos de aplicaciones A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P 0·akt B. Crecimiento logístico: f(0) = 1 Monótona creciente si a > 1 Monótona decreciente si 0 < a < 1 C. Presión atmosférica: a = 8 km; p(0) = presión a nivel del mar h en km
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Función logarítmica como función inversa de la función exponencial Función exponencial y = ax Df= R f = (0, + ) simetría a 0 = 1 Loga(1) = 0 Función logarítmica y = loga(x) D f = (0, + ) Rf= Bisectriz y = x
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Ejemplos: y = log 2(x) y = ln(x) y = log(x)
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Ejemplos: y = log 2(x) y = ln(x) y = log 0’ 1(x) y = log 1/e(x) y = log 0’ 5(x)
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Ejemplos de aplicación de la función logarítmica A. Ley de Fechner: log. I 2 - log. I 1 = 2(log. P 2 - log. P 1) Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL) Pi = Potencia sonora; Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON) B. Escala de Richter: M = Log. A + C A = Amplitud de las ondas superficiales C = 3’ 3 + 1’ 66·Log. D - Log. T T = Período de las ondas registradas en el sismógrafo D = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. y = cos(x) y = sen(x) Df= R f = [-1, 1]
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función y = sen(x) es periódica: Período = 2 sen(x + 2 ) = sen(x)
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función y = cos(x) es periódica: Período = 2 cos(x + 2 ) = cos(x)
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. y = tan(x) : función periódica Asíntotas verticales Df= – {(2 k+1) Período = tan(x + ) = tan(x) ; k Rf= }
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. RAMA PRINCIPAL Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas RAMA PRINCIPAL y = arc sen(x) y = arc cos(x) y = arc tg (x)
F. R. V. R. FUNCIONES TRASCENDENTES. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas A. Intensidad de corriente alterna: i = im·sen(ωt + φ) B. Movimiento vibratorio armónico simple: x = a·sen(ωt + φ) C. Desarrollos de Fourier
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