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CON ESTAS AYUDAS DIDACTICAS PODRAS REFORZAR TUS CONOCIMIENTOS SOBRE FUNCIONES MATEMATICAS TAMBIEN VER LAS CLASES , SUS GRAFICAS , EJEMPLOS Y ALGUNOS EJERCICIOS PARA AFIANZAR TUS CONOCIMIENTOS. • ! DIVIERTETE ¡ COMIENZA

MENU QUE SON LAS FUNCIONES TERMINOS BASICOS DE UNA FUNCION CLASES Y GRAFICAS DE FUNCIONES EJEMPLOS DOMINIO Y RANGO CODOMINIO Y RANGO EJERCICIOS PARA AFIANZAR TUS CONOCIMIENTOS

MENU ¿QUE SON LAS FUNCIONES? En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

TERMINOS BASICOS PARA DETERMINAR UNA FUNCIÓN DOMINIO: es el primer conjunto que intervienen en la función ( conjunto A o X) también se le llama conjunto de partida se denota por DOM(F). CODOMINIO: es el segundo conjunto que intervienen en la función (conjunto B o Y ) también se le llama conjunto de llegada se le denota por COD (f). RANGO : los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado rango o recorrido de la función. Se denota por Ran(f). IMAGEN: si x es un elemento del Dominio, la notación f (x) se utiliza para designar el elemento en el recorrido que corresponde a X en la función f , y se denomina imagen de X. NOTA: TODA FUNCION ES UNA RELACION , PERO NO TODA RELACION ES UN FUNCION.

NOTA : Básicamente, hay 4 formas para expresar una función: mediante una tabla de valores, mediante una expresión algebraica o, mediante una gráfica y un diagrama sagital.

CLASES DE FUNCIONES Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones: Función constante : Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

FUNCION LINEAL Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: f(x) = 2 x − 1 es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, − 1). Su gráfica es una recta ascendente. En general, una función lineal es de la forma

FUNCIÓN CUADRÁTICA Es una función de la forma f(x) = ax 2+ bx +c, donde a, b, c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba y si a es negativa la grafica abre hacia abajo. La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable. FUNCIÓN POLINOMICA Una función Polinómica es de la forma f(x) = anxn+an-1 xn-1+…+a donde an, an 1, …, a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que an≠ 0.

FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO : La función valor absoluto se define como: Es de la forma f(x) = Ix. I, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva en forma de v. FUNCIÒN RAIZ CUADRADA Es una función que asigna a un argumento su raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) = √x , donde el dominio de la función son los valores de x que hacen que el radicando sea positivo y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente que está por encima del eje x

FUNCiÓN RACIONAL : Es una función de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠ 0. La función racional no está definida para valores de x en el cual q(x) se hace diferente de cero, este valor al representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota. FUNCIÓN INYECTIVA: Una función f : A--->B es inyectiva si a elementos distintos del dominio corresponden imágenes distintas.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA: Una función f : A--->B es sobreyectiva cuando cada elemento del conjunto de llegada es imágen de algún elemento del conjunto de partida FUNCIÓN CUALQUIERA: Una función f : A--->B es cualquiera si no es ni inyectiva ni sobreyectiva ni biyectiva FUNCIÓN BIYECTIVA: Una función f : A--->B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente

EJEMPLOS 1 ----> 1 2 ----> 4 En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista? : 3 ----> 9 4 ----> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de la izquierda. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número". Usualmente se emplean dos notaciones: x 2 x ----> o f(x) = x 2. Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 ----> 1 2 ----> 4 3 ----> 9 4 ----> 16 x ----> x 2. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a 2, etc.

EJEMPLO 2 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. EJEMPLO 3 Sea X = {− 4, − 1, 0, 4, 9}, Y = {− 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y pero a los números − 4 y − 1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.

EJEMPLO 4 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2 x + 3 o bien f(x) = 2 x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

DOMINIO Y RANGO Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función: Lo que puede entrar en una función se llama el dominio Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen Entonces, en el diagrama el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.

PARTE DE LA FUNCION Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio. De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente. Ejemplo: una simple función como f(x) = x 2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1, 2, 3, . . . }, y el rango será entonces el conjunto {1, 4, 9, . . . } Y otra función g(x) = x 2 puede tener como dominio los enteros {. . . , -3, -2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . }, entonces el rango será el conjunto {0, 1, 4, 9, . . . }

CODOMINIO Y RANGO El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo. El codominio es el conjunto de valores que podrían salir. El rango es el conjunto de valores que realmente salen. Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2 x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así). Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares. Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares. Así que rango es un subconjunto del codominio. ¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.

VAMOS A VER UNOS EJERCICIOS PARA AFIANZAR TUS CONOCIMIENTOS DIVIERTETE

1) Calcular el dominio de las funciones polinómicas: a) R: D b) -∞ , ∞ c) D: R A) F : D B) D: R C) ∞ , R 2) Calcular el dominio de las funciones racionales: A) x-3=1 D=R -3 B) X+2=1 D =R –{2} C) X+2 =0 D =R- {-2} A) x²+1=0 D=R B) x²-3 +1 = 0 D=R C) X+2=0 D=R

3 ) este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a: a(edad) = edad × 20 Así que si la edad es 10 años La altura es A)20 B)10 C) 30 4) Marca falso (f) o si es verdadero (v) las siguientes preguntas Lo que puede entrar en una función se llama el dominio (V) O (f) es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, − 1). Su gráfica es una recta ascendente. (V) O (F) Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen (V) O (F)

5) A) Cual de estas graficas es cuadrática ? B) C) • MENU

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