FUNCIONES LINEALES Y CUADRTICAS U D 13 3

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS U. D. 13 * 3º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

FUNCIONES CUADRÁTICAS U. D. 13. 6 * 3º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

FUNCIONES CUADRÁTICAS • • • Si tenemos una ecuación de la forma y = a. x 2 , y = a. x 2 + b. x + c Podemos decir que es una función cuadrática. En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Las letras a, b y c son los llamados parámetros. • • • La señalaremos así: f(x) = a. x 2 , f(x) = a. x 2 + c , f(x) = a. x 2 + b. x + c • Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes 3

Vértice y eje de la parábola • • Toda función cuadrática hemos visto que da lugar a una parábola siempre. Para construir una parábola necesitamos cuatro elementos: • • VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas, xv e yv , abscisa y ordenada: V(xv , yv) Siempre se cumple: xv = - b / 2. a yv=a. xv 2 +b. xv+ c • • Ejemplo Sea f(x) = x 2 + 4. x + 2 Hallar el vértice. Como b = 4 y a = 1 xv = - 4 / 2 = - 2 yv= (-2)2 + 4(-2) + 2 = - 2 V(-2 , -2) • • EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = xv = -b/2. a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes 4

Cortes de la parábola con ejes • • • PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0 y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0 La solución de la ecuación a. x 2 +b. x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. • Ejemplo • • • Sea f(x) = x 2 + 4. x + 2 Hallar los cortes con los ejes. Hacemos x=0 f(0) = 02 + 4. 0 + 2 = 2 Pc(0, 2) Hacemos f(x)=0 x 2 + 4. x + 2 = 0 , ecuación que resolvemos: x = [- 4+/- √(16 – 8)]/2 = - 2 +/- √ 2 x 1 = - 2 + √ 2 y x 2 = - 2 - √ 2 Pc(- 2 + √ 2, 0) y Pc (- 2 - √ 2, 0) Para operar con ellos: Pc(- 0, 69, 0) y Pc (- 3, 41, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes 5

Tabla de valores de la parábola • TABLA DE VALORES • Además de los ya calculados, vértice y cortes, dos o cuatro más de valor simétrico respecto al valor del vértice. • • • Ejemplo Sea f(x) = x 2 + 4. x + 2 Hallar la Tabla de Valores Como valores de la variable independiente, x, utilizamos los del vértice y cortes: • • x y • Los puntos – 4 y 0, así como - 3 y -1 son de valor simétrico a – 2, lo que facilita mucho los cálculos y la gráfica. @ Angel Prieto Benito -4 2 - 3, 41 0 -3 -1 -2 -2 Matemáticas 3º ESO Apuntes -1 -1 - 0, 69 0 0 2 6

Gráfica del ejemplo • Sea y = x 2 + 4. x + 2 y • Vértice: • V(-2 , -2) 2 • Eje: • x= - 2 • Cortes con ejes; • • Pc(0, 2) Pc(- 0, 69, 0) y Pc (- 3, 41, 0) -4 -3 • Tabla de valores: • • x y -4 2 @ Angel Prieto Benito -3 -1 -1 -1 Matemáticas 3º ESO Apuntes -2 -1 0 1 -1 -2 7

Otro ejemplo de parábola • Sea • • • Calculamos el vértice: xv = - b / 2. a = 0 / 2 = 0 yv= 02 - 4 = - 4 • El corte con el eje de ordenadas coincide con el vértice al ser x=0 Como x 2 - 4 = (x +2). (x – 2) x=2 y x= -2 son los puntos de corte con el eje de abscisas , soluciones de la ecuación x 2 - 4 = 0 • • y = x 2 - 4 y 5 -3 -2 Damos valores a x simétricos respecto a xv - 3 y 3, al igual que -1 y 1 son simétricos respecto a x = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes -1 0 1 2 3 x -3 -4 8

PROPIEDADES • • DOMINIO Sea la función f(x) = a. x 2 + b. x + c Como en cualquier función polinómica, para cualquier valor de x habrá un valor o imagen de y. El dominio de f(x) será R. Dom f(x) = R • • RECORRIDO Recorrido o imagen son todos los posibles valores que puede tomar f(x), o sea la ordenada, y. La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del vértice a –oo, según sea cóncava o convexa. • • Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. • • • SIMETRÍA Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: f(x) = f(-x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO Apuntes 9

Ejemplos: Dominio e imagen • • EJEMPLO 1 Sea f (x) = x 2 - 3 Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2. a = -0/2. 1 = 0 yv= 02 - 3 = - 3 V(0, - 3) Img f(x) = [ - 3, +oo) • • EJEMPLO 2 Sea f (x) = - x 2 + x Dom f(x) = R Vértice: xv = - b / 2. a = - 1 / 2. (-1) = 1 / 2 yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0, 25 + 0, 5 = 0, 25 V(0’ 5 , 0´ 25) Img f(x) = (- oo, 0, 25] V NO es una función PAR V -3 @ Angel Prieto Benito 0, 25 Función PAR Matemáticas 3º ESO Apuntes 10