FUNCIONES ELEMENTALES U D 6 1 BCT Angel

FUNCIONES ELEMENTALES U. D. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA U. D. 6. 5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

DEFINICIÓN • La Función de Proporcionalidad Inversa • • Viene dada por f(x) = k / x A veces también viene en forma implícita como x. y = k • Se llama así porque a doble, triple, etc valor de x le corresponde la mitad, tercera parte, etc al valor de y. Es decir: La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. • También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: • • • P(x) k f(x) = ------ = b + ----- , siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. Q(x) x–a @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

Ejemplo_1 f (x) = 4 / x 4 y @ Angel Prieto Benito 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 -1 - 4/3 -2 -4 NO EXISTE 4 2 4/3 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 • • • -3 y -4 • x 2 3 • Tabla de valores Apuntes 1º Bachillerato CT 4

Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x 4 y @ Angel Prieto Benito 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -1 1 4/3 2 4 NO EXISTE -4 -2 - 4/3 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 • • • -3 y -4 • x 2 3 • Tabla de valores Apuntes 1º Bachillerato CT 5

CARACTERÍSTICAS • • • DOMINIO Será Dom f(x) =R – {0} , pues si x=0 la función no existe. RECORRIDO Será Img f(x) =R – {0} , pues y = f(x) nunca puede ser 0. CRECIMIENTO Si k > 0 La función es DECRECIENTE en todo su dominio. Si k < 0 La función es CRECIENTE en todo su dominio. CONTINUIDAD Es continua en todo su dominio. En x = 0 no existe, por lo que no podemos hablar de que sea continua o no. SIMETRÍA Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que es simétrica respecto del origen O(0, 0), pues se cumple: • f (x) = - f (- x) • ASÍNTOTAS • Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que los ejes de abscisas y de ordenadas son siempre dos rectas asíntotas. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

ASÍNTOTAS • • • ASÍNTOTA VERTICAL En x=0 la función no existe. Sin embargo cuando y toma valores muy grandes, x tiende a cero, x 0, la gráfica tiende a pegarse con el eje de ordenadas. Decimos entonces que x=0 es una asíntota vertical. Tabla de valores x y • • • 0 100000 oo • • ASÍNTOTA HORIZONTAL Para valores muy grandes de x el valor de f (x) tiende a cero. • @ Angel Prieto Benito NO EXISTE 0, 04 0, 0004 0, 00004 0 Apuntes 1º Bachillerato CT y=0 x=0 7

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS • TRASLACIÓN HORIZONTAL • Sea una función de la forma y = k / x • • Si deseamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en: k y = -----x–a • • Si a > 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la DERECHA. La asíntota vertical será x = a y el centro el punto (a , 0) • • • Si a < 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la IZQUIERDA. La asíntota vertical será x = - a y el centro el punto (- a, 0) Nota importante: No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

Ejemplo_1 y • Sea f(x) = 4 /( x + 2) • Partimos de la función: f(x) = 4 / x • • Al convertirse x en x+4 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. • Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2 Pues a=2 El centro es (- 2, 0) • • @ Angel Prieto Benito -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x (-2, 0) Apuntes 1º Bachillerato CT 9

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS • TRASLACIÓN VERTICAL • Sea una función de la forma y = k / x • • Si deseamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: k k + b. x y = ----- + b = -----x x • • Si b > 0 La hipérbola se desplaza b unidades ARRIBA. La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b) • • Si b < 0 La hipérbola se desplaza b unidades ABAJO. La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

Ejemplo_2 • • • 4 – 2. x Sea f(x) = -----x O sea: 4 f(x) = – 2 + ----x Partimos de la función: f(x) = 4 / x y x -3 A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b=-2) Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. -2 -1 0 1 2 3 (0, -2) Vemos que la asíntota horizontal es ahora y=-2 El centro es (- 2, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11

TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS • TRASLACIÓN OBLICUA • Sea una función de la forma y = k / x • • Si deseamos trasladar su gráfica de forma oblicua, o sea horizontalmente a unidades y verticalmente b unidades, la función se convertirá en: k k + b. x – b. a m. x + n y = ----- + b = --------- y = -------x–a m´. x + n´ • Que es la expresión general de estas hipérbolas. • • • La asíntota horizontal será y = b La asíntota vertical será x = a El centro el punto (a, b) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 12

Ejemplo_3 • • Partimos de la función: f(x) = 4 / x • Si h = 2 y k = - 3 y • • • 4 f(x) = ---- – 3 = x+2 4 – 3. x - 6 - 3. x - 2 = -------- = -----x+2 • Vemos que la asíntota horizontal es ahora y = -3 y la vertical es x = - 2 • • x -3 -2 -1 0 1 (-2, -3) El centro es (- 2, - 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 13

REGLA GENERAL PARA REPRESENTAR FUNCIONES DEL TIPO: • • • m. x + n y = ------p. x + q • • Se efectúa la división de polinomios, quedando: k y = ----- + b x–a • • Se representa gráficamente y = k / x Y finalmente se traslada la gráfica cuyo centro será el punto P (a , b) Si p<>1 se divide todo entre p: @ Angel Prieto Benito (m/p). x + n/p y = ---------x + q/p Apuntes 1º Bachillerato CT 14

Ejemplo • • Representar la función: 8. x - 4 f(x) = -----2. x + 4 • • Se divide todo entre 2 4. x – 2 f(x)= -----x+2 • y (-2, 4) x • • • Se efectúa la división, quedando: - 10 f(x) = 4 + ----x+2 • • Se representa y = - 10 / x El centro es (- 2, 4) @ Angel Prieto Benito -3 -2 Apuntes 1º Bachillerato CT -1 0 1 15

Otro ejemplo • • Representar la función: x f(x) = -----x+2 • Se efectúa la división, quedando: -2 f(x) = 1 + ----x+2 • • • y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Se representa y = - 2 / x El centro debe pasar del (0, 0) al punto (- 2, 4), pues ha habido una traslación oblicua con a=2 y b=1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 16