FUNCIONES ELEMENTALES U D 6 1 BCT Angel
FUNCIONES ELEMENTALES U. D. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1
FUNCIÓN EXPONENCIAL U. D. 6. 8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2
FUNCIÓN EXPONENCIAL • Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: • f (x) = ex • Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2, 718281 • Funciones exponenciales son también: • • f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. • f (x) = k. [g (x)] h(x) se llaman funciones polinómico-exponenciales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3
La función exponencial • Sea • Tabla de valores • x • • -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y= y ex y 0, 018 0, 050 0, 135 0, 368 1 2, 718 7, 389 20, 085 @ Angel Prieto Benito Gráfica -4 -3 -2 -1 Apuntes 1º Bachillerato CT 0 1 2 3 x 4
Características de y = ax • • • Sea la función: f(x) = ax Donde siempre a > 0 El eje X es siempre una asíntota horizontal. Corta al eje Y en el punto (0, 1). Dom f(x) = R , , Img f(x) = R+ La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. Si 0 < a < 1 La función es DECRECIENTE. Si a = 1 f(x) = 1 Si a > 1 La función es CRECIENTE. @ Angel Prieto Benito y f(x) = ax Para (0<a<1) -4 -3 -2 Apuntes 1º Bachillerato CT Para a>1 -1 0 1 2 3 x 5
La función exponencial y=2 x @ • • • Sea y = 2 x Donde la base, a, vale 2. Muy importante: Siempre a > 0 • Tabla de valores • x 8 y • -4 1 / 16 • -3 1/8 • -2 1/4 • -1 1/2 • 0 1 • 1 2 • 2 4 • 3 Prieto 8 Benito Angel y 4 Gráfica 2 -4 -3 -2 -1 Apuntes 1º Bachillerato CT 0 1 2 3 x 6
La función exponencial y=2 x 2 y la función cuadrática y=x • • Sea la función exponencial f (x) = 2 x • Está representada en color NEGRO La base es un número y el exponente es la variable independiente. • • • y 9 8 f (x) = x 2 f (x) = 2 x Sea la función polinómica f (x) = x 2 Está representada en color ROJO La base es la variable independiente y el exponente es un número. @ Angel Prieto Benito 4 2 1 Apuntes 1º Bachillerato CT -3 -2 -1 7 0 1 2 3
La función y = 8 y 4 Gráfica -4 -3 -2 2 -1 @ Angel Prieto Benito 0 1 2 -x 2 x =(1/2) • • • Sea y = (1/2)x Donde la base, a, vale ½. Muy importante: Siempre a > 0 • • Tabla de valores • • 3 • x Apuntes 1º Bachillerato CT x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 8
Ejercicios de funciones • • EJERCICIO 1 Determinar a y b sabiendo que la gráfica de la función y = a·bx pasa por los puntos A(0, 5) y B(2/3 , 5/4). Calcular x para y=10 y calcular y para x=3/2. Representar gráficamente la función y enunciar sus propiedades. • • RESOLUCIÓN Por pasar por los puntos A y B cumple el sistema: 5 = a·b 0 5/4 = a·b 2/3 De la primera: 5 = a· 1 a = 5 Sustituyendo en la otra: 5/4 = 5. b 2/3 = 1/4 b 2/3 = 2 – 2 = [ (8)1/3 ] – 2 = (8) – 2 / 3 = (8 – 1 ) 2 / 3 b = 8 – 1 = 1 / 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9
• • • RESOLUCIÓN La función es y = 5·(1/8)x Para y = 10 10 = 5·(1/8)x 2 = (1/8)x • • • RESOLUCIÓN La función es y = 5·(1/8)x La base es 1/8 < 1 Exponencial Decreciente. Para x = 0 y = 5 Corta al eje Y en el punto Pc(0, 5). El eje X es asíntota horizontal. 2 = 2 – 3 x 1 = – 3. x x = – 1/3 Para x = 3/2 y = 5·(1/8)3/2 y = 5. (1/83) 1/2 y = 5. (1/512) 1/2 y = 5. (1/29) 1/2 y = 5. (2 – 9/2) y = 5 / 29/2 y = 5 / 2 4+1/2 y = 5 / 2 4. 2 1/2 Y racionalizando el denominador: y = 5. 2 1/2 / 2 4. 2 y = (5 / 32). √ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10
y= • Sea • x 2 y=2 x y=2 (x – 1) y = 2 x • La función y = 2 x - 3 será idéntica a y = 2 x, aunque trasladada 3 unidades abajo. y=2 x - 3 • La función y = – 2(x - 1) será idéntica a y = 2 x, aunque trasladada 1 unidad a la derecha e invertidos sus valores. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT y= – 2 (x – 1) 11
• Sea la función: • Partimos de la función elemental y = 3 x En el dibujo, en color rojo. • f(x) = 3 x-2 y = 3 x y • • Como x es ahora (x – 2) ello significa simplemente que la función es idéntica a la elemental, pero trasladada 2 unidades a la derecha. El corte con el eje Y será (0, 3 -2) Al ser la base a=3 > 1 La función es CRECIENTE. -4 @ Angel Prieto Benito -3 -2 y = 3 x f(x) = 3 x- 2 1 -1 Apuntes 1º Bachillerato CT 0 1 2 3 x 12
y = 3 – 2–x f(x) = 2 - x • • • Partimos de la función y=2–x , que es equivalente a y=(1/2)x Al ser la base 0<1/2<1 la función es decreciente (en rojo). Pero al estar precedida por el -3 signo “–” se vuelve creciente como se aprecia en la gráfica (en azul). Finalmente el 3 sumando hace que tenga un desplazamiento vertical (en negro). @ Angel Prieto Benito y f(x) = 3 – 2 - x 2 1 -2 -1 0 1 2 3 x -1 f(x) = – 2 - x Apuntes 1º Bachillerato CT 13
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