FUNCIONES ELEMENTALES U D 6 1 BCT Angel
FUNCIONES ELEMENTALES U. D. 6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1
CORTES CON LOS EJES, SIGNO Y SIMETRÍA U. D. 6. 2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2
CORTES CON LOS EJES • • Los puntos de corte de la función f con el eje X se calculan resolviendo la ecuación f(x)=0 Si f(x) es una expresión polinómica de grado impar, habrá al menos un punto de corte con el eje X. • • El punto de corte de la función f con el eje Y es el punto (0, f(0)). Como máximo hay un punto de corte con el eje Y, ya que si no, f no sería función. • • Ejemplo 1 Ejemplo 2 f(x) = x 3 – 3 x + 2 f(0) = 2 Pc(0, 2) 0 = x 3 – 3 x + 2 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x + 2)(x – 1) Pc(– 2, 0), Pc(1, 0) f(x) = - x 3 + 4 x f(0) = 0 Pc(0, 0) 0 = - x 3 + 4 x Factorizando por Ruffini: f(x) = - x (x + 2)(x – 2) Pc(0, 0) , Pc(– 2, 0), Pc(2, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3
CORTES CON LOS EJES • Ejemplo 3 Ejemplo 4 • • • x– 3 f(x) = -------x+1 1 – x 2 f(x) = ----x • Cortes con eje Y: • f(0) = – 3 f(0) = 1/0 =oo NO HAY • Cortes con eje X: • • 0 = (x – 3) / (x +1) (x + 1). 0 = (x – 3) 3 = x Pc(3, 0) 0 = (1 – x 2 ) / x x. 0 = (1 – x 2 ) x 2 = 1 Pc(– 1, 0) , Pc(1, 0) Pc(0, – 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4
Gráficas de los ejemplos (0, 2) (-2, 0) (3, 0) (1, 0) (2, 0) (0, 0) (-1, 0) (0, -3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5
SIGNO DE UNA FUNCIÓN • • • Para representar gráficamente una función nos interesa saber en qué zonas o intervalos la función va por encima o por debajo del eje X. Los puntos de corte de la función f con el eje X, así como los puntos que no forman parte del dominio de la función, nos limitan las zonas a estudio. Si en un punto c del intervalo (a, b) la ordenada o valor de f (c) es positivo ( o negativo) , es también positivo ) o negativo) en todos los puntos del intervalo. • Ejemplo 1 Ejemplo 2 • • f(x) = x 3 – 3 x + 2 Intervalos a estudio: (-oo, -2), (-2, 1) y (1, oo) f(-3) =– 27 + 9 + 2 = – en (-oo, -2) f(0) = 0 – 0 + 2 = + en (-2, 1) f(2) = 8 – 6 + 2 = + en (1, oo) f(x) = - x 3 + 4 x Intervalos a estudio: (-oo, -2), (-2, 0), (0, 2) y (2, oo) f(-3) = 27 - 12 = + en (-oo, -2) f(-1) = 1 – 4 = – en (-2, 0) f(1) = – 1 + 4 = + en (0, 2) f(3) = – 27 + 12 = – en (-oo, -2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6
SIGNO DE UNA FUNCIÓN • Ejemplo 3 Ejemplo 4 • • • x– 3 f(x) = -------x+1 1 – x 2 f(x) = ----x • • Intervalos a estudio: (-oo, -1), (-1, 3) y (3, oo) Intervalos a estudio: (-oo, -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, oo) • • f(-3) = – 6 / - 2 = + en (-oo, -1) f(0) = – 3 / 1 = – en (-1, 3) f(4) = 1 / 5 = + en (3, oo) f(-3) = -8 / - 3 = + en (-oo, -1) f(-0, 5) = 0, 75 / – 0, 5 = – en (-1, 0) f(0, 5) = 0, 75 / 0, 5 = + en (0, 1) f(2) = – 3 / 2 = – en (1 , oo) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7
Gráficas de los ejemplos (0, 2) (-2, 0) (3, 0) (1, 0) (2, 0) (0, 0) (-1, 0) (0, -3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8
SIMETRÍAS • SIMETRÍAS • • • Sea la función y = f(x). • • Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. El eje Y es eje de simetría de la función. • Si se cumple que f(x) = - f(-x) Hay SIMETRÍA IMPAR • • • Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas. Lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante. (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO) Si se cumple que f(x) = f(-x) Hay SIMETRÍA PAR @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9
Ejemplo 1 • SIMETRÍA PAR • • f(x) = x 2 TABLA y @ Angel Prieto Benito x y -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 • • f(x) = x 2 f(-x) = (-x)2 = x 2 • Hay SIMETRÍA PAR • • • Lo mismo sucedería con: f(x) = x 2 – 3 f(x) = x 2 + 5 • • • Pero no con: f(x) = x 2 – 3. x f(x) = 2. x – 5 Apuntes 1º Bachillerato CT Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) 10
Ejemplo 2 • SIMETRÍA PAR • • f(x) = x 4 – x 2 y TABLA x y -2 12 -1 0 -0, 5 -0, 19 0 0 0, 5 -0, 19 @ Angel Prieto Benito 1 0 2 12 • • f(x) = x 4 – x 2 • • • f(x) = x 4 – x 2 f(-x) = (-x)4 – (-x)2 f(-x) = x 4 – x 2 • Hay SIMETRÍA PAR • • • Lo mismo sucedería con: f(x) = x 4 + 3 x 2 f(x) = 2 x 6 + 5 x 2 – 3 • • • Pero no con: f(x) = x 4 – 3. x f(x) = 4 x 3 – 5 x 2 + 4 Veamos si se cumple que; f(x) = f(-x) Apuntes 1º Bachillerato CT 11
Ejemplo 3 • SIMETRÍA IMPAR • • • f(x) = x 3 f(-x) = (-x)3 = - x 3 - f(-x) = - (- x 3 )= x 3 TABLA x y • Hay SIMETRÍA IMPAR -2 -8 • • • Lo mismo sucedería con: f(x) = x 3 – 3. x f(x) = x 3 + 5. x Pero no con: f(x) = x 3 + 2. x 2 f(x) = x 3 – 5 -1 -1 0 0 1 1 2 8 Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) @ Angel Prieto Benito • f(x) = x 3 Apuntes 1º Bachillerato CT O 12
Ejemplo 4 • • f(x) = 4 / x • SIMETRÍA IMPAR Veamos si se cumple que; f(x) = - f(-x) • • • f(x) = 4 / x f(-x) = 4 / (- x) = - 4 / x - f(-x) = - (- 4 / x)= 4 / x • • • 4 f(x) = ----x • Hay SIMETRÍA IMPAR • • • Lo mismo sucedería con: f(x) = – 6 / x f(x) = 12 / x Pero no con: f(x) = 4 ( x + 2) f(x) = – 6 / (x – 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT TABLA 0 x y -2 -2 -1 -4 0 --- 1 4 2 2 13
Ejemplo 3 Ejemplo 4 • • • SIMETRÍA x = y 2 NO ES UNA FUNCIÓN • NO ES UNA FUNCIÓN y y x @ Angel Prieto Benito x Apuntes 1º Bachillerato CT 14
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