Funcin Exponencial y Logartmica Prof M Alonso OBJETIVOS

Función Exponencial y Logarítmica Prof. M. Alonso

OBJETIVOS ¡ ¡ ¡ Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas. Trazar la gráfica de una función exponencial y de una función logarítmica. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplicar las propiedades de los logaritmos Aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas en diversas situaciones. Modelar un fenómeno natural mediante una función exponencial o logarítmica.

¿Qué es una función exponencial? Definición Una función exponencial es de la forma: f(x) = bx donde b es un número tal que b > 0 y además b 1. El dominio de la función son los números reales o sea que la variable x puede asumir cualquier valor real. La letra b se conoce como la base. ¡ Observe que la variable está en el exponente

EJEMPLOS ¡ Todas las siguientes exponenciales: F(x) = 2 x H(x) = 102 x+3 G(x) = (¼)x-1 Q(x) = (½)2 x P(x) = (3) –x M(x) = (¾)4 x son funciones

BASE NATURAL e Una base que se usa en las ciencias es la base e; e es un símbolo como que representa el número 2. 71828…, es decir, e = 2. 71828. ¡ Así podemos considerar la función exponencial cuya base es e: ¡ Esta base se utiliza mucho en fenómenos naturales

Gráfica de f(x) = 2 x Lo primero es hacer una tabla de valores. Como el dominio son los reales podemos seleccionar cualquier número para sustituir en la x. Se recomienda usar una calculadora X Y -3 0. 125 Recuerde! -2 0. 25 f(-3)= 2 -3=. 125 -1 0. 5 0 1 1 2 2 4 3 8

Propiedades de la gráfica anterior ¡ Buscaremos los interceptos con el eje de x y con el eje de y. Intercepto en y: f(0) = 20 = 1 Intercepto en x: 2 x = 0 Esta ecuación no tiene solución por consiguiente, no hay intercepto en x. Observaciones: • Gráfica creciente • Asíntota horizontal en y = 0 • Intercepto en y: (0, 1) • No hay intercepto en x

Gráfica de f(x)= x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 8 4 2 1. 5. 25. 125 ¿Qué propiedades observa en la gráfica?

Observaciones ¡ ¡ Vimos que las gráficas pueden ser crecientes o decrecientes. De mirar la función en su forma algebraica se puede determinar si la gráfica es creciente o decreciente. Si la base b es mayor de 1, es decir, b > 1 entonces la gráfica de f(x) = bx es creciente. Si 0 < b < 1, entonces f(x) = bx es decreciente. Puede ocurrir que la función aparezca en la forma f(x) = 4 -x, pero esta función es equivalente a f(x) = (¼)x y por lo tanto, es decreciente.

Ecuaciones Exponenciales Una ecuación exponencial es una ecuación donde la variable está en el exponente. Por ejemplo: 3 x = 9 52 x+1 = 125 x 6 x = 7 42 x-2 = 8 5 = 25 x-2 ¡

Método para resolver ecuaciones exponenciales ¡ ¡ Para resolver una ecuación exponencial necesitamos el siguiente teorema Teorema: Si bx = by entonces x = y. El teorema dice que si tenemos 2 potencias con bases iguales entonces sus respectivos exponentes son iguales. Este teorema nos da la clave para resolver ecuaciones exponenciales. Una analogía puede ser que si dos libros son iguales la tercera página de cada uno son también iguales.

Ejemplo: Resuelva 3 x = 9 ¡ Solución: Nuestro objetivo es hallar el valor de la variable x. El procedimiento a seguir es utilizando el teorema. O sea, tratamos de poner bases iguales 3 x = 9 3 x = 3 2 Recuerde. Si las Por lo tanto, x = 2 bases son iguales, los exponentes son iguales.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación 52 x+ 1 = 125 x 52 x+1 = (53)x Por lo tanto, 2 x+1 = 3 x -2 x 1 =x Escribimos 125 con la base 5.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación 42 x-2 = 8 (22)2 x-2 = 23 24 x-4 = 23 Por lo tanto: 4 x -4 = 3 4 x = 7/4

Ejemplo: resuelva la siguiente ecuación Note que las bases son iguales 51/2 = (52) x-2 51/2 = 5 2 x-4 Por lo tanto: ½ = 2 x - 4 ½ + 4 = 2 x 9/2 = 2 x 9/4 = x Se usa la ley distributiva en los exponentes

Ejemplo: Resuelva 6 x = 7 Con el procedimiento utilizado en los anteriores casos no se puede resolver esta ecuación ya que no hay forma de poner las bases iguales. Más adelante usaremos otra técnica para resolver esta ecuación.

Aplicaciones ¡ Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones, tanto en las Ciencias Naturales como en Administración de Empresas. Veremos algunas aplicaciones interesantes.

Interés Compuesto ¡ Si uno invierte cierta cantidad de dinero P en una cuenta de ahorro que paga una tasa de interés r y se calculan los intereses en ciertos períodos entonces al cabo de t años la persona obtiene la siguiente cantidad A de dinero : A = P( 1 + r/n)nt

s Interés Compuesto Las letras en la fórmula A = P( 1 +r/n)nt significan: ¡ P es el principal, el dinero que uno invierte ¡ r es la tasa porcentual ¡ n , entonces n = 12; si el cálculo es trimestral entonces n = 4, etc. ¡ t el tiempo , en años, que el dinero estará en la cuenta A la cantidad de dinero al cabo de t años

Observaciones A = P( 1 +r/n)nt La fórmula es una función exponencial porque la variable t está en el exponente. Es decir, la cantidad de dinero A que uno tendrá en el futuro depende del tiempo que tuvo el principal en la cuenta.

Ejemplo ¡ Si se invierten $2000 en una cuenta IRA al 6. 5% calculado mensualmente, ¿al cabo de 5 años cuánto dinero tiene la persona = 2000 (1 +. 00541)60 = 2000 (1. 0054)60 = 2000 (1. 38) = 2765. 63 Use la calculadora para realizar loa cálculos

Función logarítmica Definición: Una función logarítmica tiene la forma: f(x) = logbx donde b > 0, b 1. El dominio de las funciones logarítmicas es el intervalo (0, ), o sea los números reales positivos.

Ejemplos ¡ Las siguientes son funciones logarítmicas. f(x) = log 3 (x + 1) g(x) = log x 2 h(x) = log 2( x -3 ) p(x) = log½ (3 x 3 + 2 x - 4)

Observaciones ¡ ¡ Hay dos bases que se utilizan mucho al trabajar con logaritmos: la base 10 y la base e. Cuando nos referimos a la base 10 sólo escribimos log x, es decir, no indicamos la base pues se sobreentiende que la base es 10. Cuando nos referimos a la base e, llamada base natural, escribimos ln x; es decir, ln x significa logex. Tanto log x como ln x son teclas que aparecen en las calculadoras científicas.

Observaciones ¡ . Si queremos hallar log 100 sólo tenemos que marcar la tecla log y después 100 o primero entrar el número 100 y después la tecla log, esto depende de la calculadora que esté usando. La respuesta es 2. Asimismo, si se desea hallar ln 3, debe marcar la tecla ln y después el número 3 o el 3 y después la tecla de ln. Debe verificar como funciona su calculadora. La respuesta que obtiene es ln 3 = 1. 098612289.

Logaritmos Calcule estos logaritmos en la calculadora ¡ Log 1000 ¡ Log 10 ¡ Log 1 ¡ Log. 001 ¡

Solución Logaritmo base 10 valor observación Log 1000 3 103=1000 Log 100 2 102=100 Log 10 1 101=10 Log 1 0 100=1 Log. 01 -2 10 -2=. 01 Log. 001 -3 10 -3=. 001

Observación ¡ De lo anterior se desprende que un logaritmo es un exponente. O sea, un logaritmo es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. ¡ Por consiguiente, la forma equivalente es

Resumiendo Escribir y = log 2 x es equivalente a escribir 2 y = x. ¡ EXPONENTE y = log 2 x 2 y = x BASE NúMERO

Gráfica de g(x) = log 2 x Solución: Construir una tabla de valores. Como sabemos que el dominio son los reales positivos, podemos elegir cualquier valor positivo. Como la base es dos debemos seleccionar potencias de dos para sustituir. ¡

Gráfica de g(x) = log 2 x x y ¼ Log 2(¼)=-2 ½ Log 2 (½)=-1 1 Log 21 = 0 2 Log 22= 1 4 Log 24= 2 8 Log 28 = Recuerde que la respuesta es el exponente al que hay que elevar el 2 para obtener el número que me dan.

Gráfica de g(x) = log 2 x Escribimos 2 y = x y construimos una tabla de valores x y ½ -1 1 0 2 1 4 2 8 3 Los valores de y se encontraron resolviendo las siguientes ecuaciones: 2 y = ½ 2 y = 1 2 y = 2 2 y = 4 2 y = 8 Recuerde que son ecuaciones exponenciales. Use el método que se explicó al principio.

Gráfica de g(x) = log 2 x Note que el dominio es el intervalo ( 0, ) y que es una gráfica creciente

Comparación ¡ Compare estas dos gráficas y sus tablas de valores ¿ qué observa? F(x) = 2 x g(x) = log 2 x

Cálculo de logaritmos Halle log 2 (1/64) Recuerde que como la base es 2 , no se puede usar la calculadora. Pero si podemos pasar esa expresión a su forma equivalente exponencial. Sabemos que ese logaritmo nos da un número N. Escriba log 2 (1/64) = N y cambie a su forma equivalente: 2 N = 1/64 ¡

Cálculo de logaritmos ¡ 2 N = 1/64 Observe que tenemos una ecuación exponencial ¿Cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales? Poniendo las bases iguales ! ¡ Por lo tanto, N = -6. Esto implica que ¡

Cálculo de logaritmos Halle log 381 ¡ Por lo tanto, N = 4 lo cual implica que log 381 = 4

Propiedades de los logaritmos ¡ ¡ ¡ Sean A y C números reales positivos y N cualquier número real 1. logb 1 = 0 2. logbb = 1 3. logb (AC) = logb A + logb C 4. logb (A/C) = logb A - logb C 5. log b AN = N logb A

Propiedades de los logaritmos Las propiedades nos ayudarán a simplificar logaritmos así como también, resolver ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo: Simplifique log 3 x + log 3 x 2 ¡ log 3 x + log 3 x 2 = log 3 (x)(x 2 ) = log 3 x 3 Se utilizó la propiedad 3 de los logaritmos.

Ejemplo: Sea Halle: 1. Logb 10 2. Logb 8 3. Logb ½ 4. Logb 25 b Usa las propiedades!!!!

Soluciones al Ejemplo 1 Anterior Logb 10 = Logb(2)(5) El 10 se escribe como un producto = Logb 2 +Logb 5 =. 23 +. 42 Se usa la tercera propiedad Sustituir los valores del logaritmo =. 65 Sumar

Soluciones al Ejemplo 2 Anterior Logb 8 = Logb 23 = 3 Logb 2 = 3(. 23) =. 69 El 8 se escribe como una potencia de 2 Se usa la quinta propiedad Sustituir el valor del logaritmo Multiplique

Soluciones al Ejemplo 3 Anterior Logb(1/2) = Logb 1 - Logb 2 Se usa la cuarta propiedad = 0 -. 23 = -. 23 Sustituir los valores del logaritmo Sumar

Soluciones al Ejemplo 4 Anterior Logb 25 b = Logb 25 + logbb = Logb 52 Se usa la quinta y segunda propiedad + 1 = 2 Logb 5 + 1 Se usa la tercera propiedad Sustituir el valor del logaritmo = 2(. 42) + 1 = 1. 84 Sumar

Otro uso de las propiedades de los logaritmos: resolver ecuaciones logarítmicas Resuelva log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2

Solución log 3 (x - 2) + log Ecuación cuadrática Igualar a cero log 3 (x - 4) = 2 3 (x - 2)(x - 4) = 2 3 (x 2 – 6 x + 8) = 2 Usar propiedad 3 Multiplicar los dos binomios (x 2 – 6 x + 8) = 32 x 2 – 6 x + 8 – 9 = 0 x 2 – 6 x – 1 = 0 Usar fórmula cuadrática para resolver la ecuación Cambiar a la forma exponencial

Continuación del ejemplo Obtenemos dos soluciones pero para este problema la única respuesta posible es la respuesta positiva ¿por qué?

De nuevo las ecuaciones exponenciales ¡ Dijimos que 2 x = 5 es una ecuación exponencial pero la técnica que habíamos estudiado para resolver la ecuación era poner las bases iguales. Sin embargo, en este ejemplo no lo podemos lograr. Por consiguiente, tenemos que estudiar otra técnica para resolver dichas ecuaciones.

Ecuaciones exponenciales ¡ La técnica consiste en hallar el logaritmo (puede ser base 10 o base natural e) de esos números en ambos lados de la ecuación: ¡ 2 x = 5 ecuación dada log 2 x = log 5 Hallar el log a ambos lados

Ecuaciones Exponenciales Resuelva 2 x = 5 Hallar el log a log 2 x = log 5 ambos lados x log 2 = log 5 Usar propiedad 5 Despejar para x, dividiendo entre log 2 Usar la calculadora para hallar los logaritmos

Ejemplo ¡ Resuelva Hallar el log a ambos lados Usar propiedad 5 Propiedad distributiva Reunir todas las x en un solo lado de la ecuación Factorizar la x Despejar para x dividiendo Usar calculadora

Aplicaciones Para estimar la edad de los huesos, los arqueólogos usan el isótopo 14 C, el cual es radioactivo. La media vida de un isótopo es el tiempo que le toma a la mitad de la muestra dada desintegrarse. En el caso de 14 C su media vida es 5730 años. Así que si en cierto momento una madera petrificada contiene 10 gramos de 14 C le tomará 5730 años para que la madera sólo contenga 5 gramos. Cuando un organismo muere, la cantidad de 14 C presente t años después de la muerte del organismo está dada por la fórmula. constante A = A 0 ekt Cantidad al cabo de t años tiempo Cantidad original ¡

Ejemplo ¿Qué por ciento de 14 C permanece 4000 años después de muerto el organismo? ¡ Solución: Hagamos una tabla de valores con los datos dados. Recuerde que la variable independiente es t. ¡ tiempo A (cantidad C) ¡ 14 0 A 0 5730 ½ A 0 4000 ? Desconocemos la cantidad No sabemos la cantidad original La mitad del material al cabo de 5730 años (media vida)

Solución Sustituir valores de la tabla Despejar para la base e Hallar logaritmo a ambos lados Propiedad de los logaritmos Despejar para k K = -. 00012

Solución (continuación) ¡ Una vez que conocemos el valor de k se regresa a la fórmula original para sustituir el valor de k y el valor de t, es decir: al cabo de 4000 años hay aproximadamente. 618 de A 0 o lo que es lo mismo hay 61. 8% de A 0.