FUERZAS Y MOVIMIENTO Descripcin del movimiento Fsica y

FUERZAS Y MOVIMIENTO Descripción del movimiento Física y Química 4º ESO: guía interactiva para la resolución de ejercicios I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

âPosición, desplazamiento y distancia recorrida èVelocidad media y aceleración media ä Gráficas x-t y v-t çMovimiento rectilíneo uniforme áMovimiento rectilíneo uniformemente acelerado å Caída libre y lanzamiento hacia arriba Índice â â â è è è ä ä ä ç ç ç Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ç ç ç á á á å å å Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Ayuda En un movimiento rectilíneo, la posición (x) de un cuerpo se determina mediante su distancia a otro cuerpo tomado arbitrariamente como sistema de referencia. En general, se utilizan los signos + y – para diferenciar las posiciones situadas a la derecha y a la izquierda, respectivamente, del sistema de referencia. El desplazamiento (Dx) se determina restando a la posición final (x f) la posición inicial (xi): (Dx) = xf – xi El desplazamiento será positivo o negativo según el sentido del movimiento; en el primer caso el móvil avanza de posiciones negativas a posiciones positivas; en el segundo caso, el móvil se desplaza del lado positivo al lado negativo. Esto significa que el desplazamiento es una magnitud vectorial, pues para su determinación se requiere un número, una dirección y un sentido. En el lenguaje ordinario, desplazamiento (Dx) es sinónimo de distancia recorrida (s), pero en Física no siempre coinciden y esta es una de las dificultades añadidas que presenta el aprendizaje de las ciencias. Así, un ciclista que sale de su casa y que, al cabo de cierto tiempo, vuelve al mismo sitio, tiene un desplazamiento cero, aunque su cansancio le indica que ha recorrido unos cuantos kilómetros. El desplazamiento puede ser positivo, negativo o cero, pero la distancia recorrida siempre es positiva y nunca cero si ha habido movimiento. La distancia recorrida se obtiene sumando todos los desplazamientos tomados en valor absoluto. Sólo en los movimientos sin cambio de sentido coinciden el módulo del desplazamiento y la distancia recorrida. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

Ayuda La velocidad media de un móvil es el desplazamiento realizado en la unidad de tiempo. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Dx) por el tiempo invertido (t): En el S. I. , la velocidad se mide en metros por segundo (m/s). La aceleración media es la variación de la velocidad por unidad de tiempo. Se calcula dividiendo la variación de la velocidad (Dv) por el tiempo invertido (t): En el S. I. , la aceleración se mide en metros por segundo cada segundo, esto es, en metros por segundo al cuadrado (m/s²). En una gráfica posición-tiempo (x-t) podemos analizar los cambios de velocidad por medio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos. En una gráfica velocidad-tiempo (v-t) podemos analizar los cambios de aceleración por medio de los cambios de pendiente de la recta tangente a la curva en cada uno de sus puntos. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

Ayuda Ø Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU) Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme. La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la velocidad del móvil. La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal. Ø Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA) Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama uniformemente acelerado. La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más concretamente, dicha curva es una rama de parábola. La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la aceleración del móvil. La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal. Ø Ecuaciones del movimiento Posición Desplazamiento Velocidad Aceleración MRUA x = xo + vt x = xo + vot + ½ at 2 Dx = vt Dx = vot + ½ at 2 Constante v = vo + at Nula Constante I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

Ayuda Para resolver los ejercicios de caída libre y, en general, cualquier ejercicio de Física, es conveniente disponer de algún procedimiento o algoritmo de resolución. El que se presenta a continuación no debe entenderse como un conjunto de pasos que hay que seguir de manera estricta y rutinaria, sino como una serie de reglas orientativas: þ Dibujar un esquema detallado de la situación descrita en el enunciado del ejercicio. þ Elegir un sistema de referencia y establecer, de acuerdo con el mismo, las condiciones iniciales. Esta elección es arbitraria: sólo depende del que está haciendo el ejercicio. þ Escribir las ecuaciones del MRUA para el caso particular que estamos estudiando. þ Hacer los cálculos pertinentes. þ Analizar los resultados obtenidos. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

1 Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura: a) al pasar del punto A al B; b) al pasar del punto B al D; c) al pasar del punto B al C; d) al pasar del punto D al A. A D -50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm # Recuerda la definición de desplazamiento. a) b) c) B 0 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm C 50 cm # Analiza los resultados obtenidos. Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -) está relacionado con el sentido del movimiento (hacia la derecha o hacia la izquierda). Esto nos indica que el desplazamiento es una magnitud vectorial. d) I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

2 Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir del aula de 6º G, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor. # Dibuja un esquema con el movimiento del profesor. ‚ ‚ ‚ -10 m -5 m 6º G ‚ 5 m # Calcula el desplazamiento total. # Calcula la distancia recorrida. s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química 10 m

3 a) Oímos por la radio que el AVE se ha detenido en el km 300 de su trazado ferroviario cerca de una dolina aparecida recientemente. ¿Nos están informando de la distancia recorrida por el AVE antes de pararse o del lugar exacto donde ha ocurrido el suceso? b) El cuentakilómetros del autobús urbano Almozara-Cementerio aumenta en 8 km en el recorrido de ida y 10 km en el recorrido de vuelta. Halla el desplazamiento del autobús y la distancia recorrida en un trayecto completo. # Antes de contestar al apartado a), ¿distingues entre posición, desplazamiento y distancia recorrida? Nos están informando de la posición en la que se encuentra el AVE, independientemente de la distancia que haya podido recorrer. # Contesta al apartado b). El desplazamiento del autobús es cero, ya que vuelve al punto de partida. La distancia recorrida es de 18 km (8 km a la ida más 10 km a la vuelta). I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

4 En algunos experimentos escolares, para estudiar el movimiento de un cuerpo se une al mismo una cinta de papel que pasa por un cronovibrador. El cronovibrador deja una marca en el papel a intervalos de tiempo iguales; como la cinta de papel está unida al móvil, el conjunto de marcas nos indica las posiciones sucesivas del móvil. Más abajo se muestra una de esas cintas, en la que sabemos que el tiempo transcurrido entre marca y marca es de 0, 02 s y que la escala graduada puede estimar hasta 1 mm. Determina las posiciones del móvil y calcula su velocidad media en intervalos de 0, 02 s. t=0 s x = 0 cm 1 cm Desplazamiento: Dx (m) Velocidad media: vm (m/s) Tiempo: t (s) Posición: x (m) 0, 000 0, 02 0, 012 0, 6 0, 04 0, 032 0, 020 1, 0 0, 060 0, 028 1, 4 0, 082 0, 022 1, 1 1, 00 0, 118 0, 036 1, 8 I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

5 En los Campeonatos Mundiales de Atletismo de Tokio, celebrados en el verano de 1991, el atleta Carl Lewis ganó la prueba de 100 m. La tabla siguiente muestra los tiempos de Lewis cada 10 m. Completa la tabla y calcula la velocidad media cada 10 m de carrera. ¿En qué intervalo corrió más rápidamente? Se movió más deprisa en el intervalo 70 -80 m. Posición: x (m) Tiempo: t (s) Variación temporal: Dt (s) Velocidad media: vm (m/s) 10 1, 88 5, 32 20 2, 96 1, 08 9, 26 30 3, 88 0, 92 10, 87 40 4, 77 0, 89 11, 24 50 5, 61 0, 84 11, 90 60 6, 46 0, 85 11, 76 70 7, 30 0, 84 11, 90 80 8, 13 0, 83 12, 05 90 9, 00 0, 87 11, 49 100 9, 86 0, 86 11, 63 I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

6 Durante un viaje a Teruel por una carretera rectilínea el cuentakilómetros de un coche marca las velocidades indicadas más abajo. Calcula el valor de la aceleración media en intervalos de 0, 2 h. ¿En qué intervalo temporal la aceleración media es negativa? ¿Qué significa? Tiempo: t (h) Velocidad: v (km/h) 0, 0 0 0, 2 40 0, 4 72 0, 6 120 0, 8 100 1, 0 125 1, 2 125 # Recuerda, antes de contestar, cómo se calcula la aceleración media. Significa que en dicho intervalo el valor de la velocidad ha disminuido. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

7 En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo. a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor. b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa? III IV I II # Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico x-t y contesta al apartado a). Si trazamos las tangentes a la curva en los cuatro tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene menos inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo I; por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velocidad es menor. # Contesta al apartado b). La tangente del tramo III es la que tiene la mayor pendiente; por consiguiente, de 8, 4 a 9 s es cuando la estudiante se mueve más rápidamente. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

8 Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación. Hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 1, 2 y 3 s. Vemos que sus pendientes son cada vez mayores; por lo tanto, la velocidad está aumentando. En este caso, hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 0’ 1, 0’ 5 y 1 s. Vemos que sus pendientes son cada vez menores; por lo tanto, la velocidad está disminuyendo. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química Ahora la tangente a la “curva” coincide con la propia recta. Como su pendiente es constante, la velocidad también es constante.

La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior. a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima? b) ¿Cuándo la aceleración es negativa? c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál? 9 III # Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico v-t y contesta al apartado a). V VI II IV I Si trazamos las tangentes a la curva en los seis tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene más inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo III; por tanto, en ese tramo, de 0, 4 a 0, 6 h, la aceleración es máxima. # Contesta al apartado b). La aceleración será negativa cuando lo sea la pendiente de la tangente; eso ocurre en el tramo IV: de 0, 6 a 0, 8 h, aproximadamente. # Contesta al apartado c). La aceleración es nula en el tramo VI: de 1, 2 a 1, 4 h, ya que entonces la tangente es horizontal y su pendiente nula. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

10 Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están inicialmente separados una distancia de 60 km. a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles. b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t. c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta? # Elige un sistema de referencia y contesta al apartado a). # Contesta al apartado b). Si tomamos como referencia la posición inicial del coche, las ecuaciones son: Coche: Motocicleta: x. C = 80 t x. M = 60 + 40 t # Contesta al apartado c). Del análisis de las gráficas x-t se deduce que el coche alcanza a la motocicleta en la posición 120 km, 1, 5 h después de que el coche inicie su movimiento. A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: x. C = 80 t ; x. M = 60 + 40 t. Cuando el coche alcanza a la motocicleta se cumple que x. C = x. M, es decir, 80 t = 60 + 40 t; 40 t = 60; t = 60/40 = 1, 5 h. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: x C = x. M = 120 km. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

11 La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente gráfica. a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda? b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está moviendo en dichos instantes? # Para contestar al apartado a) analiza los cinco tramos de la gráfica x-t. De 0 a 1 s: el valor de la posición está aumentando; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha. De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la posición x = 10 m. De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m a x = -5 m; el cuerpo se mueve de derecha a izquierda. De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en la posición x = -5 m. De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha. # Contesta al apartado b). El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s (de izquierda a derecha) I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta: 12 Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis. Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta. Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s. # Analiza cada uno de los tramos y realiza los cálculos pertinentes. Durante los primeros 50 s la posición pasa de x = 0 a x = 300 m. Permanece 60 s, hasta el instante t = 110 s, en x = 300 m. Recorre 400 m de “vuelta” a 10 m/s, por lo que invierte 40 s más, hasta la posición x = -100 m. Permanece 40 s, hasta el instante t = 190 s, en x = -100 m. Recorre los últimos 100 m, hasta la posición x = 0, a 8 m/s, por lo que invierte 12, 5 s. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

13 a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación. La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa. b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos. # Contesta al apartado b). a). El móvil se encuentra inicialmente en la posición x = 0 y, durante 2, 5 s, se mueve a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m. Después, durante 1 s, permanece en dicha posición. Finalmente, durante 1 s más, vuelve al punto de partida con una velocidad de -25 m/s. El móvil se encuentra inicialmente en la posición x = 10 m y, durante 2 s, se mueve a 5 m/s hasta llegar a la posición x = 20 m. Cambia bruscamente su velocidad a 15 m/s, velocidad que mantiene durante 1 s, hasta la posición x = 35 m. Finalmente, permanece en reposo en dicha posición. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

14 Un móvil, que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, ocupa las posiciones x 1 = 5 m y x 2 = 17 m en los instantes t 1 = 4 s y t 2 = 10 s, respectivamente. Determina: a) la velocidad del móvil; b) la ecuación de la posición; c) la posición en el instante t = 5 s. # Contesta al apartado a). # Contesta al apartado b). Teniendo en cuenta que, en este movimiento, la velocidad media coincide con la velocidad instantánea, La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que determinar los valores de xo y de v. Como v = 2 m/s, sólo hemos de calcular el valor de la posición inicial; para ello, se dispone de dos parejas de datos. De la primera de ellas: 5 = xo + 2· 4, xo = -3 m. Puedes comprobar que se obtiene el mismo resultado con la otra pareja de datos. Por lo tanto, la ecuación de la posición es: # Contesta al apartado c). x = -3 + 2 t Al sustituir en la ecuación de la posición el valor del tiempo se obtiene: x = -3+2· 5= 7 m. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

15 La gráfica x-t de un móvil es la que se muestra más abajo. a) Determina las posiciones del móvil en los instantes t 1 = 1 s y t 2 = 4 s. b) Calcula su velocidad. c) Determina la ecuación de la posición. # Contesta al apartado a). En la gráfica x-t observamos que, en los instantes 1 y 4 s, las posiciones son -4 m y 14 m, respectivamente. # Contesta al apartado b). La velocidad coincide con pendiente de la recta en la gráfica x-t. Para su cálculo podemos utilizar los puntos citados en el apartado anterior: # Contesta al apartado c). La ecuación de la posición tiene la forma: x = xo + vt, en la que hay que determinar los valores de xo y de v. Como v = 6 m/s y el valor de la posición inicial es: xo = -10 m, la ecuación de la posición es: x = -10 + 6 t. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

16 El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de 9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del pueblo lo logrará? # Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”. Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya 18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a las 10 h, las ecuaciones de la posición son: Tío Juan: x. J = 18 + 9 t Cuñado: x. C = 11 t # Realiza ahora los cálculos pertinentes. Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: x J = x. C; por lo tanto, 18 + 9 t = 11 t; 18 = 2 t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde. Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la posición: x. J = x. C = 99 km. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

17 La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos rectilíneos. a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los movimientos. b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos: algebraico y gráfico. # Contesta al apartado a). El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la posición -25 m, se está moviendo con una velocidad de 12, 5 m/s (pendiente de la recta azul). El cuerpo B, inicialmente situado en la posición 40 m, lleva una velocidad de -3, 75 m/s (pendiente de la recta magenta). # Contesta al apartado b). Se cumple que: x. A = -25 + 12, 5 t y x B = 40 – 3, 75 t. Coinciden en la misma posición cuando x. A = x. B, es decir, -25 + 12, 5 t = 40 – 3, 75 t; 16, 25 t = 65; t = 4 s. Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones de la posición, se obtiene que x = 25 m. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

18 En la figura observamos la gráfica posición-tiempo de un ciclista que se mueve en línea recta. a) Describe cómo varía la velocidad del ciclista a medida que transcurre el tiempo. b) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es uniforme? c) Halla la velocidad máxima alcanzada por el ciclista. # Contesta al apartado a). Durante el cuarto de hora inicial, al ser la gráfica x-t una curva, vemos que la velocidad está aumentando. En el siguiente cuarto de hora, al ser la gráfica x-t una recta, la velocidad permanece constante. En la siguiente media hora el ciclista está en reposo. En el último cuarto hora el ciclista vuelve al punto de partida: durante 0, 1 h con una velocidad constante y durante 0, 15 h con otra velocidad también constante. # Contesta al apartado c). # Contesta al apartado b). El movimiento es uniforme en los intervalos: de 0, 25 h a 0, 5 h, de 1 h a 1, 1 h y de 1, 1 h a 1, 25 h. La velocidad será máxima en los instantes en los que la pendiente de la tangente a la gráfica también lo sea. Eso ocurre en el intervalo de 1, 1 h a 1, 25 h, donde la pendiente vale: I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

19 En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados. a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué? b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s de iniciado el movimiento. t (s) v (m/s) 0 -12 2 -2 4 8 6 18 8 28 10 38 # Contesta al apartado a). Se trata de un movimiento uniformemente acelerado ya que la velocidad es directamente proporcional al tiempo y la gráfica v-t es una recta. Vemos que vo = -12 m/s y que la aceleración (pendiente de la recta) es: a = 50/10 = 5 m/s²; # Contesta al apartado b). La ecuación del desplazamiento es: Dx = vot + ½ at². Para t = 7 s, Dx = -12· 7 + ½ 5· 49 = 38, 5 m. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

20 La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el desplazamiento del cuerpo en esos 10 s. # Analiza cuántos movimientos podemos distinguir en la gráfica v-t. De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con v = 15 m/s. De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con v o = 15 m/s y a = -15 m/s². De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con v o = 0 y a = 2 m/s². # Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t. El desplazamiento también puede calcularse como el “área bajo la curva” en una gráfica v-t. En este caso, el valor del desplazamiento coincide con la suma de las áreas de un trapecio (67, 5 m) y de un triángulo (25 m). Dx 1 = vt = 15· 4 = 60 m Dx 2 = vot +1/2 at² = 15· 1 + ½ (-15)· 1 = 7, 5 m Dx 3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2· 5² = 25 m El desplazamiento total es la suma de estos tres desplazamientos parciales: 92, 5 m. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

21 La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista. Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h. # Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU) y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA). II I III IV V MRU de 0, 5 h a 1, 5 h: v = 10 km/h de 3 h a 5, 5 h: v = -5 km/h MRUA de 0 a 0, 5 h: v o= 0 y a = 20 km/h² de 1, 5 h a 3 h: v o = 10 km/h y a = -10 km/h² (en el instante t = 2, 5 h, el ciclista invierte el sentido del movimiento) de 5, 5 h s 6 h: v o = -5 km/h y a = 10 km/h² # Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t. # Determina la distancia recorrida. El ciclista se mueve hacia la derecha durante 2, 5 h y hacia la izquierda durante las 3, 5 h restantes. En dichos intervalos de tiempo recorre 17, 5 km y 15 km, respectivamente; en total, 32, 5 km. Dx. I = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)· 0, 5² = 2, 5 km Dx. II = vt = 10· 1 = 10 km Dx. III = vot +1/2 at² = 10· 1, 5 + ½ (-10)· 1, 5² = 3, 75 km Dx. IV = vt = -5· 2, 5 = -12, 5 km Dx. V = vot +1/2 at² = -5· 0, 5 + ½ (10)· 0, 5² = -1, 25 km El desplazamiento total es la suma de estos cinco desplazamientos parciales: 2, 5 km. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

22 Un motorista de tráfico circula con una velocidad de 20 m/s y observa que un conductor comete una infracción. Sale en su persecución, para lo cual acelera con un ritmo constante de 0, 5 m/s². a) ¿Cuánto tiempo empleará el motorista en alcanzar una velocidad de 30 m/s? b) Halla el desplazamiento del motorista en ese tiempo. # Recuerda las ecuaciones de este movimiento y contesta al apartado a). A partir de la ecuación de la velocidad podemos escribir: # Contesta al apartado b). I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire. a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s. b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla? c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total empleado. 23 # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: yo = 20 m vo = 40 m/s v = 40 – 9, 8 t y = 20 + 40 t - 4, 9 t 2 a = -9, 8 m/s 2 # Contesta al apartado a). Sustituyendo en las ecuaciones del movimiento t por 6, v(6) = 40 -9, 8· 6 = -18, 8 m/s y(6) = 20 + 40· 6 - 4, 9· 36 = 83, 6 m El signo – del primer resultado indica que el objeto está bajando y el valor de la posición significa que se encuentra por encima del punto de lanzamiento. # Contesta al apartado b). X # Contesta al apartado c). El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que: 20 = 20 + 40 t – 4, 9 t 2; 0 = t(40 -4, 9 t), ecuación que tiene dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4, 9 = 8, 16 s. La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9, 8· 8, 16 = -40 m/s. Se concluye que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velocidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química Cuando se alcanza la altura máxima se cumple que la velocidad es nula, cosa que sucede en un instante tal que: 0 = 40 – 9, 8 t; t = 40/9, 8 = 4, 08 s; por lo tanto, ymax = 20 + 40· 4, 08 – 4, 9· 4, 082 = 101, 6 m

Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de 14, 7 m/s de intensidad. a) ¿Cuál es la profundidad del pozo? b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo? 24 # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: yo = ? vo = 0 a = -9, 8 m/s 2 v = -9, 8 t y = yo - 4, 9 t 2 X v = -14, 7 m/s # De acuerdo con la información disponible, analiza qué apartado debes contestar primero. De la ecuación de la velocidad deducimos que: -14, 7 = -9, 8 t; t = 14, 7/9, 8 = 1, 5 s, que es el tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del pozo. En ese instante la posición de la piedra es y = 0; por lo tanto, en la ecuación de la posición podemos escribir: 0 = yo – 4, 9· 1, 52 = yo – 11, por lo que la profundidad del pozo es: y o = 11 m. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo invertirá en dicho recorrido? b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 15 m/s. 25 # Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado a). # Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado b). Y Y De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: yo = 45 m vo = 0 a = -9, 8 m/s 2 v=? t=? X v = -9, 8 t y = 45 - 4, 9 t 2 yo = 45 m vo = -15 m/s a = -9, 8 m/s 2 v=? t=? Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir, 0 = 45 – 4, 9 t 2; La velocidad del libro en ese instante es: v = -9, 8· 3 = -29, 4 m/s X De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: v = -15 - 9, 8 t y = 45 -15 t - 4, 9 t 2 Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir, 0 = 45 – 15 t - 4, 9 t 2, ecuación de 2º grado completa, cuyas soluciones son: La velocidad del libro en el instante válido es: v = -15 - 9, 8· 1, 87 = -33, 3 m/s ¡Comenta los resultados! I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

26 Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de 5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que alcanzará el cuerpo. # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y yo = h = ? vo = -5 m/s v = -5 - 9, 8 t y = h - 5 t - 4, 9 t 2 a = -9, 8 m/s 2 v=? t=6 s De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: Debes perder el miedo a las expresiones algebraicas y trabajar con “letricas” como si fuesen números. Fíjate en las condiciones que cumple la posición del cuerpo cuando t = 6 s. X Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación de la posición, tenemos: 0 = h – 5· 6 – 4, 9· 36; h = 206, 4 m. La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto, la velocidad es: v = -5 -9, 8· 6 = -63, 8 m/s. La rapidez vale: 63, 8 m/s. I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química

27 a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29, 4 m/s ¿Qué altura alcanzará (la piedra)? b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que en el último segundo? ¿Por qué? # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y v=0 y=h=? a = -9, 8 m/s 2 yo = 0 vo = 29, 4 m/s X # Contesta al apartado a). De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: Calculamos, en primer lugar, el tiempo invertido por la piedra en subir. En el punto más alto se cumple que v = 0; por lo tanto, 0 = 29, 4 - 9, 8 t; t = 29, 4/9, 8 = 3 s. v = 29, 4 - 9, 8 t y = 29, 4 t - 4, 9 t 2 Sustituyendo este valor en la ecuación de la posición, tenemos: h = 29, 4· 3 – 4, 9· 9 = 44, 1 m # Contesta al apartado b). Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente, el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados. • En el primer segundo: Dy(de 0 a 1 s) = y(1) = 29, 4· 1 – 4, 9· 1 = 24, 5 m • En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la piedra en los instantes 3 s y 2 s: Dy(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44, 1 – (29, 4· 2 – 4, 9· 4) = 44, 1 – 39, 2 = 4, 9 m I. E. S. Élaios Departamento de Física y Química